大学电路分析基础－课件-PPT文稿资料课件PPT
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第 4 章 正弦稳电路分析 4.3 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳4.2 正弦量的相量表示法4.1 正 弦 量 的 基 本 概 念4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率4.6 正弦稳态电路中的中 的 最 大 功 率 传 输返回学 习 目 标 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。 正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。 深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。 正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。能进行对称三相电路的计算。 4.1 正弦量的基本概念4.1.1 正弦量的三要素 若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。 以电流为例，正弦量的一般解析式为： 波形如图4-1所示图 4-1 正弦量的波形 图中Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当t=0时的相位 叫初相位，简称初相； 叫正弦量的角频率。 因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加2，则角频率、周期T和频率之间关系为： 、T、反映的都是正弦量变化的快慢，越大，即越大或T越小，正弦量变化越快；越小，即越小或T越大，正弦量变化越慢。 把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。 用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起点在原点左侧 ；反之 。 如图4-2 所示，初相分别为0、 由图可见，初相为正值的正弦量，在t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。 图 4-24.1.2、同频率正弦量的相位差 设有两个同频率的正弦量为 叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。 初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不同时达到最大值，步调不一致， 如果 ，则表示i1超前i2 ;如果 ，则表示i1滞后i2 ，如果 ，则两个正弦量正交；如果 ，则两个正弦量反相。 同频率正弦量的相位差，不随时间变化，与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较，即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个为参考正弦量。如图4-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表示两个正弦量同相、超前、正交、反相。图 4 -3 i1与i2同相、超前、正较、反相4.1.3 正弦电流、电压的有效值 1、有效值 周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效值用大写字母I、U表示。根据有效值的定义，则有 则周期电流的有效值为2、正弦量的有效值对于正弦电流，设同理 4.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法 4.2.1 复数的运算规律 复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。如：相加、减的结果为：A1A2=（a1+jb1）(a2+jb2)=(a1a2)+j(b1b2) 复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。如：因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量。 特别地，复数 的模为1，辐角为 。把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角。4.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 设有一复数它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为由于 可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。式中同理 把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。 例 已知 u1=141sin(t+60o)V ，u 2 =70.7sin(t-45o)V 。求： 求相量 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t) （3） 画出相量图 解（1）（2）（3） 相量图如图4-4所示图 4-44.3 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式4.3.1 基本元件VAR的相量形式在交流电路中，电压和电流是变动的，是时间的函数。电路元件不仅有耗能元件的电阻，而且有储能元件电感和电容。下面分别讨论它们的伏安关系式（即VAR）的相量形式。1 、 电阻元件根据欧姆定律得到 上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的，相量、波形图如图4-5所示。其相量关系为：图 4-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图2、 电容元件电容元件上电压、电流之间的相量关系式为： 将上式改写为： 通常把 XC= 定义为电容的容抗。电容元件上，电流振幅为电压振幅的C倍 。图 4-6 电容元件的波形、相量图 以上表明电容电流超前电容电压90，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图4-6所示。3、电感元件电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：由上式可得U= LI =XLI 上式表明电感上电流滞后电压为90。 通常把XL=L定义为电感元件的感抗，它是电压有效值与电流有效值的比值即 XL=L。对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的抗感越大，反之越小。在直流情况下，频率为零，XL=0，电感相当于短路。图 4-7 电感元件的波形、相量图电感元件的波形、相量图如图4-7所示。可以看出，电感上电流滞后电压为90。4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳4.4.1 复阻抗 设由R、L、C串联组成无源二端电路。如图4-8所示，流过各元件的电流都为I， 各元件上电压分别为uR(t)、uL(t)、uC(t)，端口电压为 u (t)。 图 4-8因为 u (t)= uR(t)+u L(t)+ uC(t)即所以上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律。Z为该无源二端电路的复阻抗（或阻抗），它等于端口电压相量与端口电流相量之比，当频率一定时，阻抗Z是一个复常数，可表示为指数型或代数型，即：式中Z称为阻抗的模，其中X=XL-XC称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即 4.4.2 复导纳 对于如图4-9所示R、L、C并联电路，根据相量形式得KCL，得到：图 4-9 RLC并联电路 Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。 Y称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。 称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率4.5.1 R、L、C元件的功率和能量 1 .电阻元件的功率 设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬 时功率为 pR(t)= u(t)I(t)设流过电阻元件的电流为 IR (t)=Im sint A其电阻两端电压为 uR(t)=Im R sint =Um sint V则瞬时功率为pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2t =URIR（1-cos2t）W 由于cos2t1,故此 pR（t）=URIR（1-cos2t）0 其瞬时功率的波形图如4-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）0，说明电阻元件是耗能元件。 图 4-10 电阻元件的瞬时功率电阻的平均功率 可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。2. 电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为 则电感电压为： 其瞬时功率为 上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负，其波形图如图4-11所示。图4-11 电感元件的瞬时功率 从图上看出，当uL(t)、iL(t)都为正值时或都为负值时，pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当pL(t) 为负时，电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。电感消耗的平均功率为： 电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。 3电容元件的功率 在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为: 则电容电压为 ： 其瞬时功率为： uc (t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图4-12所示。图 4-12 电容元件的瞬时功率 从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。 电容的平均功率也为零，即： 电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。 4.5.2 二端电路的功率1.瞬时功率在图4-13所示二端电路中，设电流i(t)及端口电压u(t)在关联参考方向下，分别为：则二端电路的瞬时功率为： 图 4-13上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图4-14所示。 图 4-14 二端RLC电路的瞬时功率从图上看出，u(t)或i(t)为零时，p(t)为零；当二者同号时，p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时，p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。2. 有功功率（也叫平均功率）和功率因素 式中 称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差 ， 也叫功率因素角。 4.5.3 无功功率、视在功率和复功率 无功功率用Q表示，定义 通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用S表示，即 S=UIP、Q、S之间存在如下关系 工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复数，称为复功率，用 表示复功率，即 =P+jQ 4.6 正弦稳态电路的最大功率传输 如图4-15所示，交流电源的电压为 ，其内阻抗为Zs=Rs+jxs，负载阻抗ZL=RL+jXL ,电路中电流为： 电流有效值为： 图 5-15负载吸收的功率为： 要求出PL的最大值为此需求出PL对RL的导数，并使之为零，即：由上式得到：（RS+RL)2-2RL(RS+RL）=0 解得： RL=RS负载获取最大功率的条件为： 上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。此时最大功率为： 4.7三相电路4.7.1 三相电路的基本概念 三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合，且单相交流电源的频率相等，幅值（最大值）相等，相位彼此相差120。 设第一相初相为0，第二相为-120，第三相为120，所以瞬时电动势为： e1=Emsint e2=Emsin（t-120） e3=Emsin（t+120） 这样的电动势叫对称三相电动势。其相量图和波形图见图4-16。 图 4-16 三相电源对称三相电动势相量和为零，即： =0 由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零，即： e1+e2+e3=0 4.7.2 三相电源的连接 将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图4-17所示。 低压配电系统中，采用三根相线和一根中线输电，称为三相四线制；高压输电工程中，由三根相线组成输电，称为三相三线制。 每相绕组始端与图 4-17 星形连接末端之间的电压，也就是相线和中线之间的电压，叫相电压，其瞬时值用u1、u2、u3表示，通用up表示。任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用u12、u23、u31表示，通用ul表示。由于 u12=u1-u2 u23=u2-u3 u31=u3-u1 其次，作出线电压和相电压的相量图，如图4-18所示。图 4-18 星形连接线电压相电压的相量图由于 构成等腰三角形，所以所以同理一般写为 作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，且线电压相位比对应的相电压超前30。 4.7.3 三相负载的星形连接 三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。 负载的星形连接如图4-19所示是三相负载作星形莲接时的电路图。 图 4-19 三相负载的星形连接 显然，在负载星形连接时，线电流等于相电流，即 若三相负载对称，即 Z1=Z2=Z3=Zp，因各相电压对称，所以各相电流相等，即： I1=I2=I3=IYP= 由基尔霍夫电流定律知 同时，三个相电流的相位差互为120，满足略去电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，电源的线电压为负载相电压的 倍，即：UYP为星形联接负载相电压。 三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，即I1、I2、I3，用表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用IYP表示，其方向与相电压方向一致；流过中线的电流叫中线电流，用IN表示，其方向规定由负载中点N/ 流向电源中点N。 这样，对称的三相负载作星形联接时，中线电流为零。这时，可以省略中线而成为三相三线制，并不影响电路工作。 如果三相负载不对称，各相电流大小就不相等，相位差也不一定是120，中线电流不为零，此时就不能省去中线。否则会影响电路正常工作，甚至造成事故。所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外，中线上不准安装熔丝和开关。 4.7.4 负载的三角形连接 如图4-20所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称的电源线电压。 图 4-20 三相负载的三角形连接对于对称三相负载，相电压等于线电压，即同时，各相电压与各相电流的相位差也相同。即三相电流的相位差也互为120。各相电流的方向与该相的电压方向一致。由KCL知 作出线电流和相电流的相量，如图4-21所示。 相电流：图 4
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