2018年高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第3讲数列的综合问题课件文20171218113.ppt

第3讲 数列的综合问题,专题四 数列、推理与证明,热点分类突破,真题押题精练,热点一 利用Sn，an的关系式求an 1.数列an中，an与Sn的关系,2.求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式. (2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an. (3)在已知数列an中，满足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用 累乘法求数列的通项an. (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).,例1 (2017运城模拟)正项数列an的前n项和为Sn，满足a 3an6Sn4. (1)求an的通项公式；,解答,即(an1an)(an1an3)0， an0，an1an0， an1an30，即an1an3.,an是以4为首项，以3为公差的等差数列， an43(n1)3n1.,解答,思维升华,(2)设bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.,解 bn2nan(3n1)2n， 故Tn4217221023(3n1)2n， 2Tn4227231024(3n1)2n1， Tn42132232332n(3n1)2n1 213(222232n)(3n1)2n1,(3n2)2n14， Tn(3n2)2n14.,思维升华 给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.,解答,解 当n1时，a1S12， 由Sn2n12，得Sn12n2(n2)， anSnSn12n12n2n (n2)， 又a1也符合，an2n (nN*).,(2)求数列bn的前n项和Tn.,解答,热点二 数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.,例2 设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2. (1)求fn(2)；,解答,解 方法一 由题设fn(x)12xnxn1， 所以fn(2)122(n1)2n2n2n1， 则2fn(2)2222(n1)2n1n2n， 由得，fn(2)12222n1n2n,所以fn(2)(n1)2n1.,(n1)2n1.,证明,思维升华,证明 因为fn(0)10，,又fn(x)12xnxn10，,思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视. (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件. (3)不等关系证明中进行适当的放缩.,证明,跟踪演练2 (2016届浙江省宁波市期末)已知数列an满足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1. (1)求证：bn是等比数列；,证明 a12，a22(22)8， an12(Snn1)(nN*) an2(Sn1n)(n2)， 两式相减，得an13an2(n2). 经检验，当n1时上式也成立， 即an13an2(n1). 所以an113(an1)，即bn13bn，且b13. 故bn是等比数列.,(2)记数列nbn的前n项和为Tn，求Tn；,解答,解 由(1)得bn3n. Tn13232333n3n， 3Tn132233334n3n1， 两式相减，得 2Tn332333nn3n1,证明,热点三 数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.,例3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%. (1)求第n年年初M的价值an的表达式；,解答,解 当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，故an12010(n1)13010n， 当n7时，数列an从a6开始的项构成一个以a61306070为首项， 以 为公比的等比数列，,(2)设An ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在 第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新.,证明,思维升华,证明 设Sn表示数列an的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得 当1n6时，Sn120n5n(n1)，,当n7时，由于S6570，,因为an是递减数列，所以An是递减数列.,所以必须在第九年年初对M更新.,思维升华 常见数列应用题模型的求解方法 (1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值yN(1p)n. (2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1r)n. (3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1nr). (4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b .,跟踪演练3 一弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来 高度的 再落下，设它第n次着地时，共经过了Sn，则当n2时，有 A.Sn的最小值为100 B.Sn的最大值为400 C.Sn500 D.Sn500,答案,解析,解析 第一次着地时，经过了100 m；,真题体验,1.(2016浙江)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.,1,答案,解析,1,2,121,1,2,当n2时，由已知可得 an12Sn1， an2Sn11， 由，得an1an2an，an13an，又a23a1， an是以a11为首项，以q3为公比的等比数列.,2.(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22. (1)求数列xn的通项公式；,解 设数列xn的公比为q.,1,2,所以3q25q20， 由已知得q0， 所以q2，x11. 因此数列xn的通项公式为xn2n1.,解答,(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.,1,2,解答,解 过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1. 由(1)得xn1xn2n2n12n1， 记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，,1,2,所以Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n3(2n1)2n2， 则2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1， 由，得,Tn321(2222n1)(2n1)2n1,1,2,押题预测,解答,押题依据 本题综合考查数列知识，考查反证法的数学方法及逻辑推理能力.,已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1，k为不等于0的常数. (1)试判断数列an是否为等比数列；,押题依据,解 若数列an是等比数列，则由n1得a1S1ka2，从而a2ka3. 又取n2得a1a2S2ka3， 于是a10，显然矛盾，故数列an不是等比数列.,解答,押题依据 本题综合考查数列知识，高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问