立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例).ppt

立 体 几 何,习题课,例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。,A,B,C,S,E,F,提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为等边三角形，边长为 ，SASB。取SA中点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得：SC 平面ABE。利用： VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。,注意：分割法求体积。,（KEY： ）,A,B,C,S,D,例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。,法二：取AB中点D，连接SD，CD。易得ABC 为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SDAB， CDAB。又SA=SB=SC，S在底面的射影为底 面的外心，即点D，SD平面ABC。 由VS-ABC= SABCSD得三棱锥体积。,（解法2）,例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求D1到截面C1BD的距离。,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,提示：利用 = 求解。,注意：等体积法求点面距离。,KEY：,例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中， （1）BC1与侧面 ABB1A1所成的角为_； （2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成 的角的大小为_。,A,B,C,A1,B1,C1,D,N,注： （1）中利用面面垂直的性质找线面成角。 （2）中射影面积公式的应用：SAB1Mcos=SABC.,45o,例4、三棱锥V-ABC中，VA底面ABC，ABC=90o， VA=a，VB=b，AC=c（cb），M是VC中点。 （1）求证：V，A，B，C四点在以M为球心的球面上； （2）求VC与AB所成的角的大小。,A,V,B,C,M,E,F,G,例5、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC = ， PC=AB= ，求三棱锥的体积。,提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图， 则V P-ABC=V长方体-4V 。设长方体长宽高分别为a、b、c，则有：,所以三棱锥P-ABC的体积为20（立方单位）。,P,A,B,C,例6、三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此棱锥沿三 条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A。 （1）求证：侧棱PB AC； （2）求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值。,A,B,C,P,D,B,P1,P2,P3,A,D,C,E,2,2,m,m,m,n,n,（甲）,（乙）,B,P1,P2,P3,A,D,C,E,2,2,m,m,m,n,n,A,B,C,P,D,解:(1)（略）,(2)甲图中，作PDAC于D，连接BD，可得PDB 即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角。 乙图中，作AECP3于E点，则AE=P1P2=4。 PA=AC，即P3A=AC，E为CP3的中点。 设AP1=AC=AP3=m，CE=EP3=n，由CP2=CP3得： m-n=2n m=3n 又在ACP3中有：AECP3=ACDP3 ， 而AE=4 ， 由 得：DP3=8/3，即PD=8/3。 甲图RtBPD里， BD=10/3， cosPDB=4/5,为所求。,（甲）,（乙）,2,如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度 为h，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。,R,2R,h,