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文档简介

一、费尔马( Fermat )定理,注1.,x,y,o,水平切线P,注2.,证明： 由定义及函数极限性质可证.,注3.,二、拉格朗日(Lagrange)定理,1. 洛尔( Rolle )定理,x,y,o,注1.,注2. 几何意义:,注3. 三条件缺一，则Rolle定理可能不成立.,例如：,1,-1,1,1,由图像可见，三个函数 Rolle 定理都不成立.,说明： Rolle 定理的三个条件都是充分条件.,证明：由 在 必有最大值 M 和最小值 m . 若 M = m，则 M 和 m 中至少有一个不等于 于是在 内至少存在一点 ，使得 （或 ），从而对 （或 ）. 据 Fermat 定理，得,2. Lagrange定理（微分中值定理）,o,a,b,x,y,A,B,微分中值公式,注1. Rolle 定理是 Lagrange 定理当 时的特殊情况.,注2. 几何意义：如图,直线 AB 的方程,注3. 微分中值定理是沟通函数及其导数之间的桥梁，是 应用导数的局部性质研究函数全局性质的重要工具.,注4. 定理的条件是充分的，但不是必要的. Rolle注3.,上一点 的切线平行于直线 AB.,证法：作辅助函数 是 与直线 AB 之差，即,则新曲线 上一点 的切线平行于 x 轴.,证明： ,（或,）,则,（或,）,由 Rolle 定理得证.,作平移,微分中值公式的其它形式:,即：, 在定理条件下，,Corollary 1.,即导数恒为零的函数必是常数函数.,Corollary 2.,证明：,李普希兹(Lipschitz)条件:,Corollary 3.,例1.,证明：,由零点存在定理，知,此即为方程的小于1的正实根.,矛盾,例2.,证明:,三、 柯西(Cauchy)定理,注1. 当,注2. Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理都具有 “中值” 性，统称为微分中值定理，它们的关系是后者包含前者.,证明：,作辅助函数,（或,）,则,由Rolle定理得证.,注3. Cauchy 定理之证,例3.,证明:,结论可变形为,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值
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