《不确定度理论》PPT课件.ppt

一.误差与不确定度概念,P134,1. 研究误差理论及不确定度评定的必要性 1）测量是认知的重要手段。 测量的目的是想获得被测量的“真值”， 虽然“ 真值” 是客观存在，但无法通过测量获得。由于多种因素影响，即使对已知或猜测的误差因素进行补偿、修正后，所得结果依然只能是被测量的一个估计值。不确定度测量结果的不能肯定程度 。 2）不确定度评定表征测量结果的分散性，可以： 评价实验室测量质量 ； 对测量结果可靠性有客观的评价； 通过对影响因素的分析，便于有针对性的改进，提高测量质量。,2. 有关术语 测量：以确定量值为目的的一组操作。6 被测量：作为测量对象的特定量。12 影响量： 不是被测量，但对测量有影响的量。13 测量结果：由测量所得到的赋予被测量的值。14 测量重复性：在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。19 测量再（复）现性： 在改变了的测量条件下，对同一被测量的测量结果之间的一致性。20 测量精密度 ：在特定条件下，重复测量某量所得量值之间的一致程度。（通常用不精密程度的数字形式表示） 测量准确度 ：测量结果与被测量真值之间的一致程度18,指被测量的最佳估计值, 常常是一组观测值的平均 值或中位数值。必要时包括测量不确定度,定性的概念。,拟被测量的量,检测是指按照规定程序，确定给定产品、过程或服务的一种或多种特性所组成的技术操作（定性的可不做不确定度评定） 校准是指在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具或参考物质所代表的量值，与对应的由标准所复现的量值之间关系的一组操作。,是误差、不确定度的来源,测量误差：测量结果与被测量真值之差。29 示值误差：测量仪器示值与对应输入量的真值之差。46 修正值：用代数法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。34 测量仪器的准确度 ：测量仪器给出的示值接近于真值的能力。定性的概念。 测量仪器的最大允许误差：对给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。47 残差：重复测量时，每次测量值与平均值之差。 测量不确定度：与测量结果相关联的一个参数，用以表征合理地赋予被测量之值的分散性。22 可以用标准差、标准差的倍数、说明了包含概率的区间的半宽度来表示。,测量结果中的不确定度，并未包括未识别的系统效应的影响。 也不包括固定的系统误差,等于负的系统误差 修正因子：为补偿系统误差而对未修正测量结果相乘的数字因子,注意： 测量误差可对测量结果进行修正； 示值误差可对测量仪器示值进行修正，示值减误差； 修正值可对测量仪器示值进行修正，示值加修正值； 修正因子可对测量结果（或示值）修正，与之相乘； 测量不确定度、测量仪器最大允许误差不能用于修正。,3. 误差按数学表达式分类绝对误差、相对误差（ 包括分贝误差）、引用误差 1)绝对误差 测得值x 与其真值 之差。 2)相对误差 测得值x 的绝对误差 与其真值 之比 相对误差通常用百分比表示 3)引用误差 测量器具绝对误差 与特定值 之比,即称引用值，通常为测量器具的量程或标称值上限,某检测项目，需测量压力200kPa，准确度要求0.5%，内审员检查发现检测人员使用一块0.2级、量程为1MPa，经校准合格的压力表,与测量器具的准确度等级有关 准确度等级对应的是误差极限值,4)分贝误差D 相对误差的另一种表现形式。 对于电压、电流比： 分贝（ 或 ） 如果衰减网络变化D，致使比值产生一个误差，有 则分贝误差D 为： 或 因为当 不变 ；当 不变 可见衰减网络变化引起输入电压的相对变化或电压比的相对变化是一样的。 对于功率比： 分贝，有 对于分贝表示信号电平：若零取1mW的耗散功率在600纯电阻上 所产生的电压降，即： 则分贝表示信号电平的公式为：,4 测量误差与不确定度评定 （1）概念的差异 1）测量误差 测量误差等于测量结果与被测量真值之差，按属性分为系统误差、随机误差。 测量的系统误差：在重复条件下，对同一被测量进行无限多次重复测量所得平均值与被测量真值之差。 系统误差等于测量误差与测量的随机误差之差。 测量的随机误差：测量所得的量值与在重复条件下对同一被测量进行无限多次重复测量所得平均值之差。 随机误差等于测量误差与测量的系统误差之差。,2）不确定度 测量不确定度与测量结果相关联的一个参数，用以 表征合理地赋予被测量之值的分散性。 不确定度的A类评定：对观测列进行统计分析以评定 不确定度的方法。 不确定度的B类评定：评定标准不确定度的非统计分 析方法。 合成标准不确定度： 当结果由若干其它量得来时， 按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度。 扩展不确定度： 确定测量结果区间的量，期望测量 结果以合理地赋予的较高置信水平包含在此区间内。,以某量的估计值为中心，具有特定包含概率的对称包含区间的半宽度。,当结果由若干其它量得来时，该测量结果的标准不确定度等于这些量的方差和协方差加权的正平方根，权的大小取决于这些量的变化及测量结果影响的程度。,通过不是对测量所得量值的统计分析手段，评定测量不确定度的方法。 注：测量不确定度的该分量可以是： 与分布的量值相联系； 与有证参考物质的量值相联系； 得自校准证书并引入漂移； 得自经验的测量仪器的准确度等级； 得自由人员经验推断的极限值。,通过对重复性条件测量所得量值的统计分析，评定测量不确定度的方法。,误差与不确定度,（2）内在的联系 1）误差与不确定度都是由相同因素造成的：随机效应和系统效应。 系统效应属性及其处理 系统效应是由固定不变的或按确定规律变化的因素 造成的。 ).对于固定不变或找到变化规律的系统效应，一旦确定其值，便可修正。修正是不完善的。修正值与误差符号相反。 ).对于消除不彻底、修正不完善、或变化规律复杂而确定其值不经济的系统效应，由于其值小、其数多，可以认为具备随机变量性质，便可与随机效应一样，进行评估。,随机效应属性及其处理 随机效应是由于未预料到的变化或影响量的随时间和 空间变化所致。在对同一被测量的多次测量过程中，其 值和变化方式不可预知的。 随机效应就其个体是没有规律的、未知的，但其整体 服从统计规律。所以不可能修正，只能用统计方法进行 评估，增加测量次数减少其影响。 2) 误差传统评估的不一致性和不确定度指南的产生,固定系统误差 修正 系统误差 误差 变化系统误差 随机误差统计评定 A类评定 标准不确定度 B类评定 合 成 测量不确定度 扩展不确定度,？,需要解决的问题 被测量的最佳估计值-算术平均值。 固定系统效应-代数和修正 统计方法的评定(A类)-白塞尔公式 B类不确定度转换成标准差-半宽除以置信因子 若干随机变量标准差的合成(合成不确定度)-方和根 扩展不确定度-乘以包含因子 测量值落在测量结果不确定度区间的可能性-置信概率,二.统计学基本知识 測量学中常用的,1. 随机事件 在统计学中, 任何观察到的一个现象或试验的一个结果, 都称为一个事件. 事件有三类: 必然事件 不可能事件 随机事件 随机事件符合统计规律,2. 随机事件的概率 1).古典型随机试验及概率定义 当某试验符合： 只有有限个可能结果 每个结果出现的都是等可能的 则称是古典型随机试验。 事件A有M个可能的结果，总的可能结果有N个，则事件A的概率p(A)为： 2). 概率的统计定义 先验概率-根据初始资料按概率定义计算。 统计概率-通过多次试验求得事件出现次数与试验总次数之比. 也称频率 。,3).随机变量按取值特征分为: 离散型随机变量: 只能取有限个值或可列的无穷个值,有对应的统计概率, 可能值可以预见, 但不知具体值。 连续型随机变量: 其可能值连续充满某个区间, 可能值不可预见 y 命中条件： x,3. 随机事件的基本定理 ）大数定理 贝努利定理： 设n个独立观测或试验中，事件出现次数为m，则当n无限增大时，频率m/n依概率收敛于它的概率p ，即对任意的，恒有： 它的实际意义在于：在观测或试验的条件稳定不变时，如果n充分大，则可用频率代替概率，此时频率具有很高的稳定性。,小概率原理： 如果事件的概率很小，根据贝努利定理，事件出现的频率也很小，即在有限次试验中几乎不可能出现。 反之，如果事件的概率接近于1，就意味着在有限次试验中几乎一定会出现。 小概率原理也称为小概率事件的实际不可能原理。 它是假设检验、离职值识别的基础。 例如服从正态分布的随机误差大于3 倍标准偏差的概率只有0.27%，意味着近400次试验才有可能出现一次，则对于通常只有几十试验，它的出现几乎不可能。,切比谢夫定理： 设 为互相独立的随机变量序列，同时其数学期望 ，方差 （c为常数，i=n），则对任意的 ，恒有： 其实际意义在于：当我们测量某一量时，其真值为a，进行了n次独立的重复观测，观测值为 （ i=n ），那么当n充分大时，可以用算术平均值代替真值a，以满足测量不确定度 的要求。,）中心极限定理： 大量的独立随机变量之和，具有近似于正态分布。 由概率论可以证明：若 （i=1，2，n）为独立分布的随机变量，则其和的分布近似于正态分布，而不管个别变量的分布如何。随着n 增大，这种近似程度也增加。通常若 同分布，且每一 的分布与正态分布相差不甚大时，则即使n4，中心极限定理也能保证相当好的近似正态性。 因此, 正态分布是研究测量结果不确定度的基本分布形式。,4. 随机变量的概率分布 1).正态分布 随机变量X（其可能值为x）的分布密度函数为: 分布函数为： 为随机变量X的数学期望, 为X的标准差。 参数 , 确定，则正态分布的分布密度也就确定。所以常用号XN（ , ）表示随机变量X服从正态分布。 如果数学期望取0，标准差取1，称标准正态分布，记作： XN（ 0 , 1），分布函数为：,服从正态分布的随机变量的特点 - 对称性 - 单峰性 - 抵偿性 - 有界性 令 正态分布的密度 函数为: 68.27% -测量误差,0,95.45%,99.73%,统计学把随机变量以概率p落入的区间-k，k ，称置信区间；p称置信概率；(1-p)或称显著水平（亦称超差概率、显著度； k 称置信因子； 令=k ，称为半宽。 显然，服从正态分布的随机变量的 标准差为 ； 置信区间为-， 时，置信概率p为68.27%，显著水平为31.73% 置信区间为-2，2 时，置信概率p为95.45%，显著水平为4.55% 置信区间为-3，3 时，置信概率p为99.73%，显著水平为0.27% 上述的系数1、2、3为不同置信概率下的置信因子，相应的半宽 为、 2、 3。,2).t 分布 分布密度函数为: 式中 、 为加玛函数 ， 为自由度。临界值为 右图将N(0,1)正态分布密度与自由度为2、5的t(2)分布密度、 t(5)分布密度作了比较。 愈大，二者差别 愈小；当30，二者的值相差无几； 当 时, t 分布标准差 s 便 趋于正态分布标准差 , t 分布亦 便转化为正态分布。 在研究小样本或有限 次测量时, t分布是一种严 密有效的分布形式。,0,N(0,1)分布密度,t(2)分布密度,t(5)分布密度,3).均匀分布 亦称矩形分布。若随机变量x的值以等概率落入区间-a ，+a 内, 则称x服从均匀分布。 均匀分布的分布密度函数为: f (x)= 数学期望为： 方差为： 标准差为： 置信因子k=,+a,-a,4).三角分布 若随机变量x的值更加可能接近两边界, 以最大区间（a）形式出现并具有对称分布, 则称x服从三角分布。 f ( x)= 方差为： 标准差为： 置信因子k=,65%,5). 分布 若 个随机变量 均服从标准正态分布N（0，1），则其平方和是参数为 的 随机变量 。 分布密度函数为: =1 =2 x0 =6 数学期望为： 方差为： 标准差为：,6).F分布 两独立 分布随机变量除于各自自由度商的分布, 分子、分母的 随机变量的自由度 ，按次序为F 分布随机变量的自由度。 分布密度函数为: 方差为： 标准差为：,4. 随机变量的几个重要特征值 随机变量的概率分布对随机变量的可能值及其出现的概率作出全面描述，但对于测量而言，关心的是测量结果最佳值和分散性，即随机变量的重要特征值数学期望和散度（方差） （1). 随机变量的数学期望 随机变量X所有可能值 与其相应概率 的乘积之和，称数学期望 。 对于测量，可以理解为：随机变量的数学期望是所有可能值与其相应概率为权的加权平均值。如果是等精度(权或概率相等)无限次测量，则所得结果的平均值为数学期望值。,有限次测量所得结果可看作无限次测量所得结果 的子样，其平均值依概率收敛于数学期望。是数学期 望的估计值 数学期望的性质 1）常数的数学期望等于该常数。 2）随机变量与常数之和的数学期望，等于随机变量的数学期望与该常数之和。,3）常数与随机变量之乘积的数学期望，等于该常数与随机变量的数学期望之乘积。 4）两个随机变量之和的数学期望，等于它们数学期望之和，而与它们之间是否独立无关。 5）两个独立随机变量之乘积的数学期望，等于它们数学期望之乘积。 6）两个任意随机变量之乘积的数学期望，等于它们数学期望乘积与协方差之和。,（2）随机变量的方差 1）方差 随机变量与它的数学期望的偏差的平方的数学期望，称随机变量的方差。 同样，有限次测量可看作无限次测量的子样，其方差依概率收敛，是母体方差的估计值。 而 是母体方差V（x）无偏估计。 随机变量的方差反应了随机变量可能值与它的数学期望为中心的离散程度，那么，在多次重复测量中，方差亦是表征测量值与数学期望 的离散程度。,2）标准偏差 方差的量纲是被测量量纲的平方，因此用方差的正平方根(x)表征测量值与数学期望 的平均离散程度，称为标准偏差，亦即测量列标准偏差、分布的标准偏差。 由于子样方差的平均值 不是母体方差平均 值 的无偏估计，而 才是母体方差 无偏估计。 所以子样方差 的平方根s(x)称为实验标准差，它是标准偏差(x)的估计值，但不是无偏估计。因为子样方差的数学期望为：,3）测量的随机误差（散度）的其它表达方式 平均误差 ：各真误差绝对值的算术平均值。 或然误差（亦称中误差） ：各真误差取绝对值后，按大小排列，位于中间的那个误差（偶数时为中间两个的平均值）。 极差 ：最大值减最小值。 或,n每组测量次数，l组数,d (n、l)值,极差系数C及自由度,4）方差的性质 常数的方差等于零 随机变量与常数之和的方差，等于随机变量的方差 常数与随机变量之乘积的方差，等于该常数的平方与随机变量的方差之乘积 随机变量的方差，等于该随机变量平方的数学期望与该随机变量数学期望的平方之差,两个任意随机变量之和的方差，等于它们的方差及它们的两倍协方差之和。 协方差： 两个独立随机变量之和的方差，等于它们方差之和 这一性质称为方差的可加性，可以推广到有限多个随机变量，前提是相互独立。 两个独立随机变量乘积的方差为:,这三个性质是随机变量方差合成定理，是合成标准不确定度的依据。与概率分布无关，是严格成立的。,绝不是标准差的可加性,附证明 两个任意随机变量之和的方差，等于它们的方差及它们的两倍协方差之和。 协方差定义为:,如果两个随机变量x、y独立，则： 有： 则“两个独立随机 变量之和的方差，等于它们方差之和”得证。 如果两个随机变量x、y独立，同样可以证明：它们之差的方差，等于它们方差之和 同样很容易证明：,是相互独立、线性函数关系的随机变量方差传播公式 也可以理解为：相互独立随机分量的综合影响（a、b均为1）, 两个独立随机变量乘积的方差为: 是相互独立、非线性函数关系的随机变量方差传播公式。也是严格成立的。 证明： 证毕。,如果将式 两边均除于 ，并用 表示各随机变量的相对方差，则有： 即： 显然 是近似的，它是认为增量相对它的量值而言是较小的量，而取泰勒展开的一阶近似（若用求偏导方法，亦然）。 同样很容易证明：,显然，相互独立，乘、除、幂函数关系的随机变量方差合成采用相对方差的传播公式比较方便（a、b为灵敏系数）,同样，如果误差相对于测量值是个很小的量，误差可以用微分表示。 设函数式为： 微分得： 平方得： 式中： 若 相互独立，有：,式中偏导数 称为灵敏系数，用 表示。灵敏系数表达函数式中各输入量 的不确定度 以多大比率贡献给输出量y 。 取其绝对值 。令 = 则： 该式为独立量绝对方差合成定理。 如果函数式 是乘、除、幂函数 关系，对函数式 取对数后再求偏导，同样可以得到相 对方差合成公式。,相互独立随机性质分量综合影响的标准差等于各分量标准差的 方、和、根 。,独立、线性函数关系的标准差等于各分量（含各自系数）标准差的 方、和、根 。,独立、乘除幂函数关系的相对标准差等于各分量相对标准差（含各自幂指数为系数）的 方、和、根 。,4）协方差和相关系数 如果两输入量x、y相关，协方差定义为: 测量学中采用它的样本估计值 协方差是反映两输入量x、y相互关连的程度，所以 用相关系数 表示更为方便，等于协方差除于两相关量标准差的积: 测量学中同样采用它的样本估计值,标准差合成为： 当相关系数为 0有： 相关系数为 1有： 相关系数为 -1有： 如果两输入量 ，分别经n次独立测量，其结果平均值的 协方差: 测量结果平均值的相关系数，等于平均值的协方差除于两相关量平均值标准差的积:,相关系数是一个纯数，取值区间为-1，+1。在不确定度评定中，若有必要，可以由上式求得或用实验方法求得近似值。 例如，如果两输入量x、y 相关， x 变化 ，使 y 变化了 ，则相关系数近似为:,4）自由度 自由度：在方差计算中，和的项数减去对和的限制数 。它表征实验标准差的可靠程度。 对观测列进行统计分析时，自由度一般等于测量次数与被测量个数之差： 对于非统计分析得到的标准差，自由度表征所估计标准差的可靠性。认为所估计标准差越可靠，则自由度就大；反之亦然。其自由度为： 所估计标准差的相对不可靠程度,三. 测量不确定度评定,(一). 不确定度的主要来源 1). 被测量的定义不完善 2). 复现被测量的定义的方法不理想 3). 抽样的代表性不够 4). 赋予计量标准的值或标准物质的值不准 5). 引用的数据或其它参量不准 6). 测量方法和测量程序的近似性和假定性 7). 测量仪器的分辩力或鉴别力不够 8). 对模拟仪器的读数存在人为偏离 9). 对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善 10). 在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化,如：“可萃取脂肪”的测定取决于所规定的萃取条件，所使用的方法不同可能相差很大。 又如：测定合金中镍含量的方法不同通常可得到基本相同的结果。,(二) .测量不确定度评定方法 1).确定被测量和测量方法 测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。 2).建立数学模型 所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关量之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先要识别出所有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。 只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输出量）的不确定度。 建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的不确定度主要来源。 如果对被测量不确定度有贡献的分量未包括在数学模型中，应特别加以说明，如环境因素的影响。,3). 求被测量的最佳估值 不确定度评定时对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理解为被测量之值的最佳估计。 4). 确定各输入量的标准不确定度 包括不确定度的A类评定和B类评定。 5). 确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不确定度的贡献 由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量的标准不确定度分量求输出量对应的标准不确定度分量。 6). 求合成标准不确定度 利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度分量进行合成。,7). 求扩展不确定度 根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定包含因子，由合成标准不确定度计算扩展不确定度。 8). 报告测量结果的不确定度 报告测量不确定度时，必须给出测量结果。最终不确定度的修约是直接进位，而不是舍去。 如下图所示,(四). 不确度 评定流程,建立数学模型,求最佳值,B类评定,扩展不确定度,列出各不确定度分量的表达式,合成标准不确定度,A类评定,测量结果和不确定度报告,一般工程测量可以直接用计算公式作为数学模型,注意： 测量值应修正 离异值应剔除,不确定度因素寻找原则： 不遗漏、不重复、抓住大的。 建议： 1.考虑各输入量的A； 2. 列出各输入量的B，可先宽后忽略； 3. 若有几个输入量可用鱼刺图 4.可将各输入量的A、B先合成,园形截面积试棒抗拉强度 的不确定度来源 拉力F 直径d 重复性A 重复性A 试验机误差 测径仪误差 试验机校准 测径仪校准 不确定度 不确定度 被测量 温度效应 应变率效应,标准溶液的制备的不确定度来源 体积 纯度 温度 容器不确定度 重复性 A 重复性A 重复性A 皮重量 总重量 天平线性 天平线性 灵敏度 灵敏度 天平分辨率 天平分辨率 天平砝码不确定度 质量 天平砝码不确定度,比色测定某物质浓度的不确定度来源 被测样品配制 标准样品 回归u(x) y 残差s(y) 斜率s(b) 截距s(a) 被测量,1.数学表达式 被测量(输出量)y 与各输入量 的函数关系为: 2.求最佳值 (1).求各输入量 的最佳值 1).等精度测量 标准差相等的测量。 若对某量 进行一系列等精度测量的测得值有: 则其测量结果最佳值为算术平均值,应予修正,2).不等精度测量 测量结果最佳值为加权算术平均值 式中: _ 各测量值的权, 与各自方差成反比， c 为系数, 一般取1,(2).求被测量(输出量)y的最佳值 1). 函数关系只有一个输入量的直接测量，即 Y=cx x 的最佳值就是y 的最佳值 2). 函数关系有几个输入量的间接测量，即被测量y 是通过测量各输入量 而求得 , 则可： （1）先求出被测量y 的各分量的估计值 , 然后求平均值 （2）或先求出各输入量 的最佳值，再求出y的最佳值 3). 对于组合测量，被测量y 需用最小二乘法求出最佳值。,3.不确定度A类评定 用对观测列进行统计分析的方法-贝塞尔法，进行A类评定 (1).求各输入量 的单次测量标准差 随机变量x 在相同条件下进行n次独立测量，其测量列标准偏差采用贝塞尔公式计算。 式中： 该输入量n次测量的算术平均值 该输入量每个测量值的残差 (2).求各输入量 的算术平均值的标准差 测量列的实验标准差随着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的标准偏差则将随着测量次数的增加而减小。,例 原子吸收法测量某样品的铁含量,测量结果平均值为: 测量列标准差为: 平均值标准差为:,（3）不确定度A类评定几点说明 1） A 类评定的物理意义 测量系统的实验标准差反应测量时各影响量造成的测量分散性，寻找诸多影响程度来合成，不如利用影响后得到的数据进行统计来得方便、客观、严谨。但它需要注意： 要有足够的重复测量次数。 是按规定的程序重复测量而不是简单的重复读数，例如： 当接线、调零、回程、扰动等作为规定的测量程序，则应重作后在测量读数 当检测的样品本身有分散性，重复测量应体现它的差异。如直径测量应选择不同方向，硬度测量应选择不同部位等等。 当以若干个样品特性来判断检查批的特性，而取样又作为测量程序的一部分，则应考虑样本随机导致的分散性。等等,测量系统的实验标准差实际上是其在常规基础上（包括规定的原理、设备、环境、程序以及人员等）测量的固有特性。它反应测量时各影响量造成的测量分散性，虽然每次测量时，各影响量的影响程度不同，但其综合影响程度是一致的,2）A 类事先评定 如果为客户所做的某项测量不是实验室的常规测量，则不确定度的A 类评定应随该项测量实时进行。 但实验室常常是在类似的条件下，用相同的设备相同的方法，在常规基础上做基本类似性质的测量。在这种情况下，通常不需要每次测量都进行A类标准不确定度评定，可以直接引用预先评定的结果。对随机变量 x 根据n个测量结果的有限样本所估计的标准偏差sest，就是对整体样本的标准差（x）的估计值。 如果随后的测量只作几次测量（典型情况是n3），而且将n次测量的平均值 作为结果提供给客户，则应由原先的实验获得的标准差除以次数n的平方根，以求得算术平均值的实验标准差u(x) 。,该测量应与先前所作的实验一样的常规测量包括规定的原理、设备、环境、操作程序以及人员等,如果为用户测量只作m次, 则该测量结果A类评定值为： 如果为用户测量只作单次, 则该测量结果A类评定值应是原先估计的标准差乘上修正因子, 若k取1，则为： T-学生分布修正因子 如果评定实验室测量能力时, n=10次, 取k=1时, T=1.06; 如果评定实验室测量能力时, n=5次, 取k=1时, T=1.14;,实际测量结果A类评定值必须是测量列标准差除予为用户测量实际的次数m,标准差对应测量次数的修正因子T,某实验室事先对某一电流量进行n10次重复测量，测量值列于下表。计算得到单次测量的估计标准偏差s（x）0.074mA。 在同一系统中在以后做单次（n1）测量，测量值x46.3mA，求置信概率68%时的标准不确定度u（x）。 在同一系统中在以后做3次（n3）测量， mA，求置信概率68%时的标准不确定度u（x）。 解 对于单次测量，则标准不确定度： 测量结果为46.3mA 对于3次测量，则计算得到3次测量平均值的标准不确定度： 0.043mA， 测量结果为45.4mA 表3.3 对某一电流量进行n10次重复测量的测量值,3)合并样本标准差 采用贝塞尔公式计算实验标准差，如果测量次数太少，其本身就有较大的不确定度。 如果测量系统比较稳定，而又无法在重复条件下增加测量次数，为了获得可靠的实验标准差，在规范测量中，可以采用合并样本标准差的方法得到可靠的测量列单次测量的标准差。 例如：测量m 组（或m 台）相同的样本 ，每组进行n 独立测量，其合并样本的方差 等于各组样本方差 的平均值。 其中 或 每组平均值的标准差为：,如果各组测量次数不同，则合并样本的方差，等于各组样本方差与其自由度乘积的和除于总自由度，即为： 其中 j 组自由度（测量次数减1） 显然，采用合并样本标准差的方法，自由度比各组测量自由度大为增加，在不增加各组测量次数情况下，可以得到更为可靠的测量列单次测量的标准差。,4).如果测量是破坏性试验，只能作一次测量，也可以考虑使用一批均匀的样本，作成若干件样品，该若干件样品的测量值作为一组测量列，由它计算得到测量系统的实验标准差u(x) 。 5).日常校准工作，不必对每个受检点进行A类评定。可选择变动性最大或标准差对不确定度合成影响最大的受检点，例如： 仪器准确度以绝对误差表示的，可对该量程最大检定点进行多次测量，作A类评定，用以代表该量程各检定点； 仪器仪表准确度以相对误差表示的，可对该量程最小检定点进行多次测量，作A类评定，用以代表该量程各检定点。,如果测量最终提供的是若干件样本的平均值, 则由这些样本的测量值计算得到的平均值标准差亦即A类评定值（含样本的分散性）,6).如果测量无法作A类评定或评定不充分（A类评定结 果很小），应评定设备分辨率的影响，二者取大者， 但不得重复。 7).若技术规范规定的测量方法有重复性限 r，而重复 实验结果又满足它的要求，则可用 r/2.83作为A类评 定。 8).测量列中离群值的剔除 测量过程如果出现突发事件或人为疏忽，测量列中可 能出现异常值，它的存在将歪曲测量结果，应予以剔 除。判别异常值的方法很多，这里介绍两种一般工程 测量的简便判异方法。,1.莱因达准则如果测量列中某最大残差 ，则剔除该值重新计算。 2.格拉布斯准则如果测量列中某最大残差 ，则剔除该值重新计算。 取值见下表。,例 原子吸收法测量某样品的铁含量,由15个测量值计算得到测量列标准差 =0.033%。残差 最大。 用莱因达准则判别： ， ，应将第8 测量值剔除，然后对剩下的14个测量值重新计算，直至没有异常值。 或用格拉布斯准则判别：取0.05显著性水平， 取值为2.41，则: 显然同样剔除第8 测量值。 注意: 剔除异常值每次只能剔除一个；测量次数太少时不宜用莱因达准则判别。,各被测量A类标准不确定度评定,若有离异值，则事先予以剔除,如果有几个输入量，也可以先计算输出量合成标准偏差，然后参加 标准不确定度合成,4. 不确定度的B类评定 用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度 可用信息 以前的测量数据 有关资料与仪器特性的知识和经验 制造厂的技术说明书 校准或其它证书与技术文件提供的数据 引自手册的标准数据及其不确定度 规定实验方法的技术文件所给出的重复性限或复现性限 . 根据经验和有关信息或资料, 先分析该B类不确定度分量的置 信区间半宽a,以及包含因子k, 则该分量 为: B类不确定度少不了测量仪器引进的因素,可参考下表计算。,B类不确定度分量信息例,例1. 仪器制造厂说明书给出仪器的准确度（或误差）为1%。我们就可以假定这是对仪器最大误差限值的说明，而且所有测量值的误差值是等概率地（矩形分布）处于该限值范围0.01，0.01内。（因为大于1%误差限的仪器，属于不合格品，制造厂不准出厂。） 矩形分布的包含因子 ，仪器误差的区间半宽度a0.01(1%)。因此，标准不确定度分量为：,例2. 制造商给出A级100mL单标线容量瓶的允差为0.1mL。 在不知道其分布时，可认为其服从均匀分布，则区间半宽为a=0.1 mL，包含因子 。由此引入的标准不确定度分量为： 例3. 如1000g F1等砝码，检定证书给出检定合格。 由JJG 2053-1990质量计量器具检定系统框图可知，1000g F1等砝码的质量总不确定度（置信概率99.73%）z20mg。因此，包含因子k3。由此引入的标准不确定度分量为：,例4. 当检定证书给出准确度级别时，可以依据国家检定系统表或检定规程所规定的该级别的最大允许误差（示值允差）进行评定（包括没有说明级别的检定证书，也可按此方法处理）。 假定最大允许误差为A，则区间半宽度为a=A，服从矩形分布，包含因子 。仪器最大允许误差（示值允差）引起的标准不确定度为： 例5. 0.2级三相标准电能表检定证书给出检定合格，符合A型技术指标要求的结论。 查JJG596-1999 电子式电能表检定规程，0.2级A型三相（平衡负载）标准电能表，负载电流为0.1 IbImax，功率因数cos=1时，基本误差限为0.2。则区间半宽度为a=0.2，服从矩形分布，包含因子 。由此引起的标准不确定度为： 注意，标准电能表在不同的负载电流量程和功率因数（cos）时，基本误差限是不同的。,5.合成标准不确定度评定 若测量不确定度具有若干个分量时，则总不确定度应由所有各标准不确定度分量（A类评定和B类评定结果）来合成，称为合成标准不确定度。合成标准不确定度即合成标准(偏)差，由合成方差的平方根给出。 ( 1).直接测量的评定 对于 的直接测量, 则: 如果 ， c为常数，则： C称灵敏系数，说明x 对y 的不确定度贡献率是 倍。,如发现各分量中有一个分量占支配地位时（该分量大于其次那个分量三倍以上），合成不确定度就决定于该分量。 AG06,当测量结果由若干个其他量的量值求得时，测量结果的标准测量不确定度。它等于各项其他量加权值的方差和/或协方差之和的正平方根值。其权是按测量结果如何随这些量变化而计算得到的。,例如 在校验台上用标准电能表校准被校电能表的示值误差。 根据测量原理，电能表示值误差 的不确定度评定数学模型为 式中， 是被检表的相对误差（），是输出量； 是三相电能表标准装置上测得的相对误差（），是输入量。,输入量WO的不确定度的来源主要有如下方面： 在重复条件下测量结果不重复引起的标准不确定度分量uA； 标准电能表的误差引起的标准不确定度分量uB1； 标准电能表检定时不确定度引起的分量uB2。 uA、uB1和uB2互不相关，采用方和根方法合成输入量WO的标准不确定度：,(2).间接测量的评定 1).输入量不相关（彼此独立）的标准不确定度合成 被测量y 是由测量各输入量 求得，设各输入量 相互独立， 则： 式中 为不确定度传播系数或灵敏系数, 用 c表示。含义是输入量xi 的单位变化引起的输出量y的变化量。 不同，各输入量 对输出量y 的不确定度贡献也不同。 先求出各个输入量的不确定度分量 ，然后，计算传播系数（灵敏系数），最后计算由此引起的被测输出量y 的标准不确定度分量,) 规则1: 当 加减函数关系，用绝对不确定度 表示比较方便，有： 例如: y=(p-q+r)，其中p=6.02， q=6.45， r=9.04; 标准不确定度分别为: u(p)=0.13, u(q)=0.05， u(r)=0.22. 则有 y=6.02-6.45+9.04=7.61 )规则2: 当 乘幂函数关系，则可对函数取对数后求偏导，显然用相对不确定度 表示十分方便，有：,例 园形截面积试棒抗拉强度的计算公式为， 式中F 是拉力，由万能试验机读数，d 是用园形截面积试棒的直径，不考虑温度效应和应变率效应，求抗拉强度测量结果 的合成标准不确定度。 分析可知，输入量F 和d 互不相关，相关函数r (F，d)0，应用规则2 ，相对合成标准不确定度表示为：,例 y =(op/qr)，其中o =2.46，p =4.32，q =6.38，r =2.99, 标准不确定度分别为: u(o)=0.02， u(p)=0.13， u(q)=0.11， u(r)=0.07. 则有:y=(2.464.32)/( 6.382.99)=0.56,)规则3: 在进行不确定度分量合成时，为方便起见，可将原始的数学模型分解，将其变为只包括上述原则之一所覆盖的形式。 如：表达式（x1x2）/(x3 +x4)应分解成两个部分：（x1x2）和(x3 + x4 )。 每个部分的临时不确定度用规则1计算，然后将这些临时不确定度用规则2合成为合成标准不确定度。 例： 被测量 ，且各输入量相互独立无关，若已知： x1= 20 ， x2= 80 ， x3 = 40 ， x4= 4 ；u(x1)=0.0 2 ，u(x2)= 0.10， u(x3)= 0.04 u(x4)= 0.003 。 求合成标准不确定度uc(y) 解：先求出 的标准不确定度，因输入量互不相关，采用方和根方法计算： 然后再采用方和根方法求被测量 的合成标准不确定度uc(y)：,2).输入量相关（彼此不独立）的标准不确定度合成 各输入量 相互不独立，则合成标准不确定度为： 令r 为相关系数 则： 为便于讨论，设只有两个相关输入量: 即如果两输入量 相关， 在合成标准不确定度时，方差 的表达式就要增加一个相关项。相关项的大小等于相关系数乘上两相关量平均值标准差积的两倍,标准差为： 相关系数为0 相关系数为1 相关系数为-1 如果两输入量 ，分别经n次独立测量，其结果平均值的 协方差: 测量结果平均值的相关系数，等于平均值的协方差除于两相关量平均值标准差的积:,(2).最小二乘法简介 如果两个物理量X、Y存在线性关系，y=a+bx，对X、Y独立测得n对数据（n大于欲求的参数a、b的数目）。由于测量存在误差，如果将这些数据代方程，显然结果是矛盾的。为求得最佳值，根据最小二乘法原理，应是使所有测得值的误差的平方和最小的值。 y=a+bx的误差方程为： 将上列各式两边平方，然后相加，得残差的平方和：,欲使： ，则需使上式对a、b求偏导全为零， 即： 和 亦即： 即： 解得：,于是: 将a、b值代入误差方程，可求得残差 和残差的平方和 ，y 的实验标准差s(y)为： a、b标标准差s(a) 、s(b)为： a、b是由同一组测量结果计算得到，两者存在相关 性。,相关系数 r 为： 当拟合直线方程求得后，测量被测量x，若对应值为 ，则 x 的最佳估计值 可由式 求得，其测 量不确定度A类估计： 对式 微分得真误差关系式： 考虑a、b相关，有：,令 ， ， 整理得： y 的不确定度： 斜率 b ： 斜率不确定度： 截距 a ： 截距不确定度： 相关系数 r ： x 的不确定度：,例如化学测量浓度，则式中 ： P 为测量次数（被测量浓度x 的测量次数） n建立标准曲线的测量总次数（响应值总次数） 建立标准曲线时，不同标准溶液的浓度平均值 建立标准曲线时，第i 次标准溶液的浓度 被测溶液浓度值（平均值） 建立标准曲线时，每个标准溶液浓度对应响应值 每个标准溶液浓度 代入y=bx+a后得到的理论 值 每个标准溶液浓度对应的响应值，减去该浓 度计算得到的理论值。,6. 扩展不确定度的评定 测量不确定度的定义注1指出，测量不确定度是“标准偏差或其倍数。或说明了置信水准的区间的半宽度”。也就是说，测量不确定度需要用两个数来表示：一个是测量不确定度的大小，即置信区间；另一个是置信概率（或称置信水准），表明测量结果落在该区间有多大把握。 标准不确定度分量的置信概率都比较低。例如服从正态分布的合成标准不确定度的置信概率p68左右，服从矩形分布的合成标准不确定度的置信概率p58左右。为了提高测量的可靠性，需要将置信区间进行扩大，以提供一个较高的置信概率。因此，可将合成标准不确定度uc(y)乘以包含因子（覆盖因子、范围因子）k，以给出扩展不确定度（范围不确定度）U(y)： 它并没有提供不确定度的任何新的信息，只是以前不确定度评定所提供的信息的一种不同表示形式。 扩展不确定度也可以用相对不确定度表示，通常用表示：,包含因子（覆盖因子、扩展因子）k的选择 1).当被测量的Y可能值y及其合成标准不确定度 的概率分布近似为正态分布，且 的有效自由度 较大（ 50）时，在合成标准不确定度 确定后，直接给出相应的包含因子k即可，并按式: 计算扩展不确定度U。 通常取k=23。k=2时，对应的置信概率p=95.45%；k=3时，对应的置信概率p =99.73%。 对于普通的检测和校准实验室，如果没有特殊的要求，通常取包含因子k=2。 2）如果合成不确定度中包含一项占支配地位的分量，这时合成不确定度的概率分布就依占支配地位的分量的概率分布。例为矩形分布，则包含因子应取为k1.65，即U1.65 才对应95的置信水平。,3）如果合成不确定中A类评定的分量占的比重较大，而且作A类评定时重复测量次数n较少，则包含因子k必须用查t分布表获得。 合成标准不确定度 的有效自由度 为； - -分量 的自由度，含灵敏系数，即 对于A类评定时，分量自由度一般等于测量次数与被测量个数之差：n-t： 对于B类评定，分量自由度实际上是臆测所估计标准差的可靠性。认为所估计标准差越可靠，则自由度就大；反之亦然。 u(x)的相对标准不确定度，亦即u(x)估计的可靠程度,自由度：在方差计算中，