高中数学选修2-2“导数及其应用”教材分析及教学建议.doc

高中数学教材分析及教学建议高中数学选修22“导数及其应用”教材分析及教学建议“导数”是“微积分”的重要内容之一，也是高中数学的传统内容之一，是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具。普通高中数学课程标准（实验）（以下简称标准）与全日制普通高级中学数学教学大纲（以下简称大纲）相比，在教学内容、教学要求上都有很大的变化。本文就标准和普通高中课程标准实验教科书数学选修22（以下简称“教材”）中对这一内容与要求的变化进行简要的分析，并对教学中应该注意的问题谈一些设想和建议，供大家参考。1明确教学内容和教学要求的新变化11 教学内容的变化标准与大纲的内容相比，删去了极限；微分的概念与运算；不定积分的概念与运算；定积分在求旋转体体积中的应用等内容。12 教学要求上的变化标准中“选修22”与大纲中“选修”相比，教学要求上的变化请见下面简表：内容知识点选修22的要求选修的教学目标变化分析导数的概念及其几何意义概念经历过程，了解实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会思想及内涵。了解实际背景，掌握定义，理解导函数的概念。注重从过程中体会、理解；弱化了形式化的定义几何意义直观理解几何意义掌握几何意义注重直观理解。导数的运算导数公式运算法则能利用公式及法则求简单函数的导数。熟记公式，掌握法则，会求函数的导数要求有所降低。复合函数的导数仅限于求形如f(ax+b)的导数。掌握复合函数求导法则，会求函数导数。要求明显降低。导数的应用与函数单调性的关系借助几何直观了解关系；会求不超过三次的多项式函数的单调区间。会从几何直观了解关系。对导数在研究函数中的应用，以及在解决实际问题中的应用要求具体，而且要求很高。函数的极值与最值了解取得极值的条件；会求不超过三次的多项式函数的极值与最值。了解取得极值的条件。 实际运用会求生活中利润、用料、效率最高等优化问题。会求实际问题的最大值、最小值。定积分与微积分基本定理定积分的概念了解实际背景；体会基本思想；初步了解概念。了解实际背景；了解定义及几何意义。重视从过程中体会、了解概念；对应用的要求略有降低。定积分的应用会求曲边梯形等简单平面图形的面积和变力做功等简单的物理问题。会求平面图形面积、旋转体体积，及变力做功等物理问题。微积分基本定理直观了解其含义。了解、会用定理。要求明显降低从上表可以看出：标准对“导数及其应用”内容的要求有很大的变化，注重对导数本质的认识（要求把导数作为一种重要的数学思想、方法来学习），提高对导数应用性的要求，降低了对求导计算和定积分计算的要求。2把握“教材”的编写特点21 突出探索性，注重本质以往的教材在编排上从极限概念开始学习，把导数作为一种特殊极限来处理，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了学生对导数思想和本质的认识和理解。而几个版本的“教材”对这部分内容的处理是，不讲极限概念，不把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是运用丰富的实际背景和具体应用实例，让学生通过观察、实验、类比、归纳、抽象等数学活动，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和了解导数的概念，掌握和理解导数思想和本质的。例如，人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学选修22对“导数概念”的处理就是通过“研究气球膨胀率”和“研究高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念，从而抽象出导数概念的。22 突出应用性，淡化计算在以往微积分的教学中，更多的是要求学生会用公式和法则进行计算，对计算的要求很高，而忽视了导数作为数学思想、方法的工具性作用。几个版本“教材”的处理则淡化了计算，教学目标要求明确了能用定义求常见函数、的导数；能直接用基本初等函数的导数公式及运算法则求简单函数的导数；对复合函数只限于求形如的导数；对定积分能用定义及微积分基本定理进行简单的计算。在教学参考书上还明确要求：“对导数的计算要避免过量的形式化运算练习”。特别加强了导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和在解决最高等优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，让学生感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。3教学中应注意的几个问题从上面的分析我们看到，“教材”中的“导数及其应用”与原教材相比，不仅在内容上有删减，在教学要求上也有很大的变化。教学中要根据学生的实际，准确把握教学要求，实事求是地确定教学目标，同时在设计教学过程时还要注意以下几个问题。31 注重概念的形成过程导数和定积分概念的建立基于“无限趋近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同。为此，教学中应注意以下两点：第一，要根据学生生活经验，通过实际背景创设丰富的情境；第二，教学中要通过“问题串”引导学生用心体会“无限趋近”的内涵是“量变到质变”、“近似与精确”的哲学原理，不要急于得出形式化的定义，应努力追求水到渠成的教学效果。同时要注意对概念的教学不要用极限理论，以免涉及过多的极限知识而冲淡或干扰对概念本质的理解。案例1：导数的概念形成过程的教学设计（1）问题情境在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=4.9t26.5t10。计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：运动员在这段时间里是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？点评：学生通过计算发现平均速度为“0”，而运动员在这段时间内并没有“静止”，从而引起学生的好奇，意识到平均速度不能精确地刻画物体运动，有必要研究某个时刻的速度，即瞬时速度。（2）学生活动（首先给出瞬时速度的定义。）问题1：如何求运动员的瞬时速度？（取一个具体时刻如t=2，研究它附近的平均速度变化情况来寻找解决问题的思路，使抽象问题具体化。）问题2：如何计算2秒附近某段时间间隔内的平均速度？（在t=2之前或之后，任意取一个时刻2t，t是时间改变量。当t0时，计算区间2，2+t内的平均速度。）问题3：当t趋近于0时，平均速度有怎样的变化趋势？（首先让学生动手计算，然后教师用电脑演示：t逐渐趋近于0时，逐渐趋近于13.1。）问题4：t=2s时的瞬时速度是多少？（t=2s时的瞬时速度是13.1m/s，可以表示为）点评：让学生动手运算，并运用多媒体演示，多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，使学生经历和体会“无限逼近”的过程，深化了对导数概念的理解和认识。问题5：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？（类比问题4可以得到答案）点评：这里不提及极限概念,而是通过类比“无限趋近”的过程来定义t0时刻的瞬时速度，符合学生的认知规律，也体现了从特殊到一般的思维方法。（3）建构数学问题6：函数在处的瞬时变化率怎样表示？（通过师生交流，引导学生类比上面问题得出结论，从而抽象出导数的概念。）点评：引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得出函数在某点出的瞬时变化率，即导数，帮助学生实现了认识的飞跃。本案例通过“问题串”层层设疑，把学生推向问题的中心，在让学生经历动手操作、直观观察、用心体会的过程中感受数学思想，认识数学本质，主动地参与到数学教学活动中来，促进了“三维目标”的达成。22 加强应用意识和数学建模能力的培养数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。它是数学学习的一种新的方式，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识。导数在解决实际问题中有着广泛的应用。导数是描述事物变化率的数学模型，任何与变化率有关的问题一般都可以用导数加以解决。教学中应注意选取一些生活中与变化率有关的问题，设计数学探究活动，引导学生运用导数思想、方法和相关知识加以解决，从而培养学生的应用意识和数学建模能力。案例2：数学探究活动：磁盘的最大存储量问题教学设计如下：（1）问题情境你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？你知道磁盘的结构吗？如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？【背景知识】计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域。磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数。（2）抽象出数学问题现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大的存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ （3）数学建模分析磁盘的存储量的计算方法：存储量磁道数每磁道的比特数。引导学生讨论，建立数学模型：磁盘的磁道数最多可达，每条磁道上的比特数为，所以磁盘的总存储量为：。引导学生运用导数解决问题。（4）问题的延伸如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？（师生讨论、交流，找到解决问题的方案。）23 加强数学思想方法的教学“知识是数学的躯体，问题是数学的心脏，数学思想方法则是数学的灵魂”，加强数学思想方法教学的重要性是不言而喻的。本章主要涉及到数形结合的思想、“无限趋近”和“局部以直代曲”的思想方法等，在教学中应予以充分的关注。通过数形结合，能使抽象的知识直观化。导数和定积分概念的教学，几何意义的探究，导数与函数的关系研究，以及微积分基本定理的给出，都是数形结合的经典范例。在教学中要充分运用“数”与“形”的有机结合，让学生直观去认识和感受，这样既可以简化严格的推导过程，减少学生学习的困难，也可以使抽象枯燥的数学教学充满活力。 “无限趋近”的本质是极限的思想。在导数和定积分概念的形成、导数几何意义的探究中，运用“无限趋近”来描述其本质形象直观，容易理解。“无限趋近”在以往的数学学习中没有涉及到，在教学中要注意让学生体会和感受这种思想的实际意义和作用。“局部以直代曲”是微积分的核心所在。在微积分中，研究与曲线有关的问题时，一般都是运用“以直代曲”的辨证思想来进行的。例如，在研究“曲线上点P处的切线”问题时，我们可以采用形象直观的“放大图形”的方法，随着点P附近的曲线被放大，再放大，我们发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线。因此在点P附近，我们可以用直线代替曲线（即在很小范围内以直代曲）。再如，在研究“曲边梯形的面积”问题时，我们可以将曲边梯形分割成许多小曲边梯形，对其中的任意一个小曲边梯形，都可以用“直边”来代替“曲边”（即可以在很小范围内以直代曲），从而可以近似的求出曲边梯形的面积。24 关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合“算法”是高中数学课程中新增加的内容，标准明确指出：渗透算法思想是算法学习的一个重要方面。在教学中，我们可以通过两个渠道渗透算法思想：一是在计算中向学生渗透算法思想。本章的计算较多，如，平均变化率的计算，导数的计算、曲边梯形面积的计算、定积分的计算等都是渗透算法思想的好素材；二是通过阅读材料向学生渗透算法思想。如让学生阅读“用牛顿法求方程的近似解”、“用蒙特卡罗法计算曲边梯形的面积”等。在教学中，还应重视教学内容与信息技术的有机整合，重视利用信息技术来呈现课堂教学中难以呈现的教学内容。如在导数概念的教学中，由平均变化率到瞬时变化率的产生过程，可以用电脑演示“无限趋近”过程的数值变化；在研究导数的几何意义、研究导数与函数单调性的关系等内容的教学中，运用电脑动画演示直观易懂；在让学生阅读“用牛顿法求方程的近似解”和“用蒙特卡罗法计算曲边梯形的面积”时，教师可以引导学生先设计算法框图，再利用计算机求解等。应该说，本章内容与信息技术整合的空间较大，教师在教学中要作深入的探索。25 加强对数学的文化的渗透数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。通过数学文化的学习，可以使学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，并从中受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。在本章的教学中，可以引导学生搜集有关微积分创立的时代背景和有关