高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用与基本关系课件2北师大版必修.ppt

1.9 三角函数的简单应用,【知识提炼】 解三角函数应用问题的基本步骤,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)钟摆、潮汐等具有周期现象,可以建立什么样的数学模型解决? 提示:钟摆、潮汐等具有周期现象,可以建立三角函数模型解决. (2)在建模过程中,散点图的作用是什么? 提示:利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系,然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点,从而避免因盲目选择函数模型而造成不必要的失误.,2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙点的位置将传播至 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】选D.由图像知乙为最低点,丁为相邻最高点,两者之间的距离 恰好为 个周期,故经过 周期后乙点的位置将传播至丁.,3.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)= 其中f(t)的单位为m,t的单位是h,则12点时潮水的高度 是_m. 【解析】当t=12时, 答案:1,4.若A(x,y)在单位圆上,从 出发,沿逆时针方向做匀速 圆周运动,每经过12秒运动一周,则经过t秒后,y关于t的解析式为_.,【解析】由题意xOA0= ,A每秒旋转 经过t秒旋转 所以 答案:,【知识探究】 知识点 三角函数模型的简单应用 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题:利用三角函数模型解决实际问题的一般方法是什么?,【总结提升】 三角函数模型的简单应用的模式及注意事项 (1)给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题. (2)给定呈周期变化的图像,利用待定系数法求出函数解析式,再解决其他问题.,(3)整理一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图像,求出可以近似表示变化规律的函数模型,进一步用函数模型来解决问题. (4)应用数学知识解决实际问题时,应该注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要用相关学科知识来帮助理解问题.,【题型探究】,类型一 三角函数模型在物理中的应用 【典例】1.(2015长春高一检测)如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin 那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A.2s B.s C.0.5 s D.1 s,2.已知交流电的电流I(安培)与时间t(秒)满足函数关系式I= Asin(t+),其中A0,0,02.如图所示是一个周期内的函数图像. (1)试写出I=Asin(t+)的解析式. (2)如果在任意一段 秒的时间内电 流I能同时取得最大值A和最小值-A,那 么正整数的最小值是多少?,【解题探究】1.求单摆来回摆动一次所需的时间实质是求什么? 提示:实质是求函数的周期. 2.“在任意一段 秒的时间内电流I能同时取得最大值A和最小值 -A”的意义是什么? 提示:函数的周期小于 .,【解析】1.选D.因为T= =1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s. 2.(1)由图知函数的最大值为300, 所以A=300,最小正周期为 又T= ,所以=150. 当t= 时,I=0,所以150 +=, 解得= ,所以 (2)据题意知 所以300,所以min=943.,【方法技巧】三角函数模型在物理中的应用 (1)三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐振动、电流,机械波等具有周期现象的方面. (2)解决三角函数模型在物理中的应用问题时,要注意将条件中的物理术语与数学知识的联系、转化,如频率、平衡位置、波峰等. (3)利用数学知识解决问题后要将求出的数据揭示其物理意义,以解决实际问题.,【变式训练】已知简谐运动f(x)=Asin(x+)(A0, | )的振 幅是 ,图像上相邻最高点和最低点的距离是5,且过点 则该 简谐运动的频率和初相是 ( ),【解析】选B.由题意可知, 则 由 因为 因此频率是 ,初相为,类型二 三角函数模型在实际生活中的应用 【典例】(2015南平高一检测)青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔,拥有长580米,宽40余米的沙滩,是亚洲较大的海水浴场.已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0t24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据:,经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b的图像. (1)根据以上数据,求函数y=Acost+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式. (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内从上午800至晚上2000之间,哪段时间可对冲浪爱好者开放?,【解题探究】1.应怎么样处理题目中记录的浪高数据? 提示:应画出散点图辅助观察、分析. 2.应怎样求对冲浪爱好者开放的时间? 提示:可令y1,求出相应的时间段.,【解析】(1)由t=0,y=1.5,得A+b=1.5; 由t=3,y=1.0,得b=1.0,所以A=0.5,b=1, 所以振幅为 ,最小正周期T=12,(2)由题知,当y1时才可对冲浪者开放, 所以 即12k-3t12k+3,kZ. 因为0t24,故可令中的k分别为0,1,2. 得0t3,9t15,21t24. 所以在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午3:00.,【延伸探究】 1.(改变问法)若典例条件不变,则凌晨2点的浪高是多少? 【解析】因为 则当t=2时, 即凌晨2点的浪高是 米.,2.(变换条件)典例若增加条件,比赛只能在白天进行,浪高不小于1.25米,则适合比赛的时间段是什么? 【解析】由题意,令 则 解得-2+12kt2+12k,kZ, 当k=1时,10t14. 即适合比赛的时间段是上午10点到下午2点.,【方法技巧】 1.对三角函数应用的理解 三角函数是基本的初等函数之一,是反映周期变化现象的重要函数模型,在数学和其他领域具有重要作用,命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体,考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力.,2.三角函数的应用在生产生活中的求解框图,【补偿训练】如图,某大风车的半径为2m,每12s逆时针旋转一周,它的最低点O离地面0.5m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动ts后与地面的距离为f(t). (1)求函数f(t)的关系式. (2)经过多长时间A点离地面的距离为1.5m?,【解析】(1)以O1为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则以O1x为始边,O1A为终边的角为 故点A的坐标为 则 (2)令 所以 即t=2+12k或10+12k,kZ.,规范解答 综合利用函数y=Asin(x+)+b的性质解决实际问题 【典例】(12分)(2015榆林高一检测)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年前四个月的统计情况:,现打算从以下两个函数模型:y=Asin(x+)+B,(A0,0,- ),y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系. (1)请你选择适当的函数模型,分别求出这两个函数解析式. (2)按照你选定的函数模型,帮助该部门分析一下,今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损?,【审题指导】 1.要求函数模型的解析式,可以借助散点图,利用三角函数的性质;要求函数模型的解析式,可以采用待定系数法,通过解方程组求解. 2.要判断养殖户是否亏损,应计算相应月份的生猪价格与养殖成本,通过比较来判断.,【规范解答】,【题后悟道】 1.利用三角函数的周期性研究实际问题 在实际生活中许多的事