2019年高考数学二轮复习专题一常考基础题第4讲不等式与线性规划梯度训练（含解析）新人教A版.docx

第4讲不等式与线性规划选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B不等式的性质及解法1,2,12,13,151,2,10,11,13利用基本不等式求最值4,6,7,8,9,114,5,7给出条件求最值或取值范围5,6,8,114,5,11,15二元一次不等式(组)表示的平面区域163,6,8线性目标函数的最值问题10,176,8,9,12线性规划中含参问题1414,16与线性规划有关的交汇问题3,14,1614巩固提高A一、选择题1.若ab(B)a2ab(C)bn解析:取a=-2,b=-1,逐个检验选项可知,仅C选项成立.2.设二次不等式ax2+bx+10的解集为,则ab的值为(C)(A)-6 (B)-5 (C)6 (D)5解析:由题意得-1,是方程ax2+bx+1=0的两根,且a0,当x0时,f(x)=x+22+2,当且仅当x=时取等号;当x0,y0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为(D)(A) (B)2 (C) (D)2解析:因为x0,y0,x+2y2,所以4xy-(x+2y)4xy-2,所以44xy-2,即(-2)(+1)0,所以2,所以xy2.7.下列不等式一定成立的是(C)(A)lg(x2+)lg x(x0)(B)sin x+2(xk,kZ)(C)x2+12|x|(xR)(D)1(xR)解析:应用基本不等式:x,y(0,+),(当且仅当x=y时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x0时,x2+2x=x,所以lg(x2+)lg x(x0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证一正二定三相等,而当xk,kZ时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.8.已知两条直线l1:y=m和l2:y=(m0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,的最小值为(B)(A)16 (B)8 (C)8 (D)4解析:数形结合可知A,C点的横坐标在区间(0,1)内,B,D点的横坐标在区间(1,+)内,而且xC-xA与xB-xD同号,所以=,根据已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以xA=2-m.同理可得xC=,xB=2m,xD=,所以=,由于+m=+-4-=,当且仅当=,即m=时等号成立,故的最小值为=8.二、填空题9.已知log2a+log2b1,则3a+9b的最小值为.解析:log2a+log2b=log2(ab).因为log2a+log2b1,所以ab2且a0,b0.3a+9b=3a+2=222=18,当且仅当a=2b时取等号.所以3a+9b的最小值为18.答案:1810.设D为不等式组表示的平面区域.区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.解析:不等式组表示的平面区域如图所示.由题意得A(1,2),B(0,3),O(0,0).由图可知最小值是点(1,0)到直线y=2x的距离,即d=.答案:11.规定记号“”表示一种运算,即ab=+a+b(a,b为正实数).若1k=3,则k的值为,此时函数f(x)=的最小值为.解析:1k=+1+k=3,即k+-2=0,所以=1或=-2(舍),所以k=1.f(x)=1+1+2=3.当且仅当=,即x=1时等号成立.答案:1312.已知不等式x2-2x+k2-10对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为.解析:法一由题意,知=4-41(k2-1)2,所以k或k-x2+2x+1恒成立,即k2-(x-1)2+2恒成立.所以k2-(x-1)2+2max=2,所以k或k-.答案:(-,-)(,+)13.若不等式x2-(a+1)x+a0的解集是-4,3的子集,则a的取值范围是.解析:原不等式即(x-a)(x-1)0,当a1时,不等式的解集为a,1,此时只要a-4即可,即-4a1时,不等式的解集为1,a,此时只要a3即可,即1a3.综上可得-4a3.答案:-4,314.若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数k的取值范围是.解析:不等式组所表示的区域是由直线x-y+5=0,x=2,x=0和过定点(0,5)的直线y=kx+5所围成的平面区域,如图所示.由图可知,要使阴影部分成锐角三角形,动直线y=kx+5与直线x=2的交点E必须位于点B(2,3)和点D(2,5)之间,此时-1k0.答案:(-1,0)15.若关于x的不等式4x-2x+1-a0在1,2上恒成立,则实数a的取值范围为.解析:因为4x-2x+1-a0在1,2上恒成立,所以4x-2x+1a在1,2上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-22x+1-1=(2x-1)2-1.因为1x2,所以22x4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0.所以a的取值范围为(-,0.答案:(-,016.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|=|=2,则点集P|=+,|+|1,R所表示的区域的面积是.解析:利用向量的分解结合面积公式求解.由|=|=2,知=.当0,0,+=1时,在OAB中,取=,过点C作CDOB交AB于点D,作DEOA交OB于点E,显然=+.由于=,=,所以=(1-),所以=+(1-)=+=,所以+=1时,点P在线段AB上,所以0,0,+1时,点P必在OAB内(包括边界).考虑|+|1的其他情形,点P构成的集合恰好是以AB为一边,以OA,OB为对角线一半的正方形,其面积为S=4SOAB=422sin =4.答案:4三、解答题17.若x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.解:(1)作出可行域如图,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线x-y+=0,过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图可知-1-2,解得-4ab1,f(x)=,则f(a)与f(b)的大小关系是(C)(A)f(a)f(b)(B)f(a)0,又ab1,所以f(a)f(b),即f(a)f(b).法二(特值法)令a=3,b=2.则f(3)=,f(2)=2m2.当m=0时,f(a)=f(b);当m0时,f(a)0时,-x+2x2,所以00,y0知4x2+9y2+3xy2(2x)(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),所以12xy+3xy30,即xy2,故选C.5.若正数a,b满足+=1,则+的最小值是(B)(A)1(B)6(C)9(D)16解析:因为正数a,b满足+=1,所以b=0,解得a1.同理可得b1,所以+=+=+9(a-1)2=6,当且仅当=9(a-1),即a=时等号成立,所以最小值为6.故选B.6.设实数x,y满足约束条件则z=x2+y2的最小值为(B)(A)(B)10(C)8(D)5解析:作出不等式组表示的平面区域,如图所示,因为z=x2+y2表示区域内的点到原点距离的平方,由图知,当区域内的点与原点的连线与直线3x+y-10=0垂直时z=x2+y2取得最小值,所以zmax=()2=10,故选B.7.设a0,b0,且不等式+0恒成立,则实数k的最小值等于(C)(A)0 (B)4 (C)-4 (D)-2解析:由+0,得k-,而=+24(当且仅当a=b时取等号),所以-4,因此要使k-恒成立,应有k-4,即实数k的最小值等于-4.8.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是(A)(A)(B)(C)(D)解析:目标函数可化为y=-x+z.要使目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则-=kAC=1,则a=-1.故=,其几何意义为可行域内的点(x,y)与点M(-1,0)的连线的斜率,可知()max=kMC=,故选A.9.设实数x,y满足不等式组若x,y为整数,则3x+4y的最小值是(B)(A)14 (B)16 (C)17 (D)19解析:画出可行域如图.其最优解是点M(3,1)附近的整点.考虑到线性目标函数,只要横坐标增加1即可.故最优点为整点(4,1),其最小值为16.二、填空题10.已知a+b0,则+与+的大小关系是.解析:+-(+)=+=(a-b)(-)=.因为a+b0,(a-b)20,所以0.所以+.答案:+11.已知x,yR且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.解析:因为2xy=6-(x2+4y2),而2xy,所以6-(x2+4y2),所以x2+4y24(当且仅当x=2y时取等号).又因为(x+2y)2=6+2xy0,即2xy-6,所以z=x2+4y2=6-2xy12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4x2+4y212.答案:4,1212.已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a的取值范围为.解析:约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l:ax+y=0,过点(1,1)作l的平行线l,要满足题意,则直线l的斜率介于直线x+2y-3=0与直线y=1的斜率之间,因此,-a0,即0a0,所以x2-x0,即x(x-1)0,解得0x1,故原不等式的解集为x|0x1.答案:x|0x114.已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值范围是.解析:作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,所以a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解