2019年高考数学专题六数列、不等式及数学归纳法第5讲数列与其他知识的交汇梯度训练新人教A版.docx

第5讲数列与其他知识的交汇选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B数列的单调性、周期性等性质1,3,147,11数列与函数、方程的综合2,4,7,8,9,10,121,2,3,8,9,10,12,13,14,17双数列交汇问题6,134,15,16数列与解析几何5,11,155,6巩固提高A一、选择题1.已知函数y=f(x),xR,数列an的通项公式是an=f(n),nN*,那么“函数y=f(x)在1,+)上递增”是“数列an是递增数列”的(A)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:如函数在1,2上先减后增,且1处的函数值小于2处.“函数y=f(x)在1,+)上递增”是“数列an是递增数列”的充分不必要条件.故选A.2.已知函数f(x)的部分对应值如表所示.数列an满足a1=1,且对任意nN*,点(an,an+1)都在函数f(x)的图象上,则a2 016的值为(B)x1234f(x)3124(A)1(B)2(C)3(D)4解析:an+1=f(an),a2=f(a1)=f(1)=3,a3=f(a2)=f(3)=2,a4=f(a3)=f(2)=1,从而an的周期是3,a2 016=a3=2.故选B.3.已知an=,数列an的前n项和为Sn,关于an及Sn的叙述正确的是(C)(A)an与Sn都有最大值(B)an与Sn都没有最大值(C)an与Sn都有最小值(D)an与Sn都没有最小值解析:画出an=的图象,点(n,an)为函数y=图象上的一群孤立点,(,0)为对称中心,S5最小,a5最小,a6最大.4.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列an是等差数列,a1 0070,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a2 012)+f(a2 013)的值(A)(A)恒为正数 (B)恒为负数(C)恒为0 (D)可正可负 解析:a1+a2 013=2a1 0070a1-a2 013f(a1)f(-a2 013)=-f(a2 013)f(a1)+f(a2 013)0,同理,f(a2)+f(a2 012)0,f(a3)+f(a2 011)0,f(a1 006)+f(a1 008)0,又 a1 0070f(a1 007)f(0)=0,以上各式相加,得f(a1)+f(a2)+f(a3)+ f(a2 012)+f(a2 013)0.故选A.5.如图所示,矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上,另外两个顶点Cn,Dn在函数f(x)=x+(x0)的图象上.若点Bn的坐标为(n,0)(n2,nN*),记矩形AnBnCnDn的周长为an,则a2+a3+a10等于(B)(A)220(B)216(C)212(D)208解析:由题意得,因为Cn,Dn在函数f(x)=x+(x0)的图象上,设点Bn坐标为(n,0)(n2,nN*),所以Cn的纵坐标为n+,Dn的横坐标为,所以矩形AnBnCnDn的一条边长为n+,另一条边长为n-,所以矩形AnBnCnDn的周长为an=2(n+n-)=4n,所以a2+a3+a10=4(2+3+ 10)=4=216.故选B.6.设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,若b1c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则(B)(A)Sn为递减数列(B)Sn为递增数列(C)S2n-1为递增数列,S2n为递减数列(D)S2n-1为递减数列,S2n为递增数列解析:因为an+1=an,bn+1=,cn+1=,所以an=a1,bn+1+cn+1=+=(bn+cn)+an=(bn+cn)+a1,bn+1+cn+1-2a1=(bn+cn-2a1),注意到b1+c1=2a1,所以bn+cn=2a1.于是AnBnCn中,边长BnCn=a1为定值,另两边的长度之和为bn+cn=2a1为定值.因为bn+1-cn+1=-=-(bn-cn),所以bn-cn=(-)n-1(b1-c1),当n+时,有bn-cn0,即bncn,于是 AnBnCn的边BnCn的高hn随n增大而增大,于是其面积Sn=|BnCn|hn=a1hn为递增数列.故选B.二、填空题7.若函数f(x)满足f(x+10)=2f(x+9),且f(0)=1,则f(10)=.解析:令x+9=t,则x=t-9,所以由f(x+10)=2f(x+9)得f(t+1)=2f(t),即=2,即数列f(t)的公比为2,不妨设a1=f(0),则有a11=f(10),所以由a11=a1q10,即a11=210,所以f(10)=210.答案:2108.f(x)=+2,若a,b,c成等差数列(公差不为0),则f(a)+f(c)= .解析:函数y=f(x)的对称中心为(b,2),a+c=2b,从而f(a)+f(c)=22=4.答案:49.已知数列an满足an+2-an+1=an+1-an,nN*,且a5=,若函数f(x)= sin 2x+2cos2,yn=f(an),则数列yn的前9项和为.解析:因为数列an满足an+2-an+1=an+1-an,nN*,所以数列an是等差数列,因为a5=,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=,因为f(x)=sin 2x+2cos2=sin 2x+cos x+1,所以f(x)的对称中心是(,1),同理f(a1)+f(a9)=f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2,所以f(a5)=1,所以数列yn的前9项和为9.答案:910.函数y=x2(x0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中kN*,若a1=16,则a3+a5=.解析:y=2x,(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),代入点(ak+1,0),则-=2ak(ak+1-ak),ak+1=ak.ak是公比为的等比数列,ak=16()k-1,则a3=4,a5=1,a3+a5=5.答案:511.下表给出一个“三角形数阵”:,已知每一列的数成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为ai-j,则a8-3=;前20行中这个数共出现了次.解析:观察“三角形数阵”,根据等差数列的通项公式可得第i行第1个数为,再由等比数列的通项公式可得第i行第j列的数为ai-j=()j-1,所以a8-3=()3-1=,当i=2,j=1;i=4,j=2;i=8,j=3,i=16, j=4时,共有4个位置出现,即前20行中这个数共出现了4次.答案:412.数列an的相邻两项an,an+1是方程x2-cnx+()n=0的两个根,且a1=2,则cn的前2n项和为.解析:由题设知从而an+1an+2=()n+1,于是=,隔项成等比数列,公比为,a1=2,a2=,a3=,c2n-1,c2n分别是首项为,公比均为的等比数列,从而c1+c2+c2n=(c1+c3+c2n-1)+(c2+c4+c2n)=3=1-()n.答案:1-()n13.已知an是公差不为0的等差数列,bn是等比数列,其中a1=2,b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数,使得an=logbn+对每一个正整数n都成立,则=.解析:设数列an,bn的公差、公比分别为d,q,则由a1=2,b1=1,a2=b2得q=2+d;由2a4=b3得2(a1+3d)=b1q2,即d2-2d=0,因为公差不为0,所以d=2,q=4.所以an=a1+(n-1)d=2n,bn=b1qn-1=4n-1,又因为an=logbn+对每一个正整数n都成立,所以2n=log4n-1+对每一个正整数n都成立,所以当n=1时,=2n=2,于是log4+2=4,即=2.所以=4.答案:4三、解答题14.已知首项为的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn=Sn-(nN*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解:(1)设等比数列an的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2=,又an不是递减数列且a1=,所以q=-,故等比数列an的通项公式为an=(-)n-1=(-1)n-1.(2)由(1)得Sn=1-(-)n=当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1SnS1=,故0Sn-S1-=-=;当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以=S2SnSn-S2-=-=-,综上,对于nN*,总有-Sn-,所以数列Tn的最大项的值为,最小项的值为-.15.如图,在平面直角坐标系xOy中,设a1=2,有一组圆心在x轴正半轴上的圆An(n=1,2,)与x轴的交点分别为A0(1,0)和An+1(an+1,0).过圆心An作垂直于x轴的直线ln,在第一象限与圆An交于点Bn(an,bn).(1)试求数列an的通项公式;(2)设曲边形An+1BnBn+1(阴影所示)的面积为Sn,若对任意nN*,+m恒成立,试求实数m的取值范围.解:(1)由条件可得,an+1-1=2(an-1),又因为a1-1=1,可得数列an-1是等比数列.故an-1=2n-1,从而an=2n-1+1.(2)因为bn=an-1=2n-1,所以Bn(2n-1+1,2n-1),所以Bn+1(2n+1,2n),且An(2n-1+1,0),An+1(2n+1,0),Sn=-=2n-1(2n-1+2n)-(2n-1)2=4n-1,所以=()n-1,所以+=1+()n-1=1-()n.故可得实数m.故实数m的取值范围为,+).巩固提高B一、选择题1.已知数列an满足:an=(nN*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是(D)(A)(,3)(B),3)(C)(1,3)(D)(2,3)解析:an=f(n)=(nN*),要使an是递增数列,必有解得2a0)有两个零点x1,x2,方程f(x)=n(nan,满足题意;B中,因为a1(0,1),不妨取a1=,则a2=-1=-1x,所以an是递增数列.故选B.8.设函数f(x)=2x-cos x,an是公差为的等差数列,f(a1)+f(a2)+ f(a5)=5,则f2(a3)-a1a5等于(D)(A)0 (B) (C) (D)解析:设等差数列为a3-,a3-,a3,a3+,a3+,所以f(a1)+f(a5)=4a3-cos(a3-)-cos(a3+)=4a3-cos a3,f(a2)+f(a4)=4a3-cos(a3-)-cos(a3+)=4a3-2cos a3cos ,f(a1)+f(a2)+f(a5)=10a3-(+2cos +1)cos a3=5,求得a3=,从而f2(a3)-a1a5=.故选D.二、填空题9.已知等比数列an的前n项和为Sn,并且对任意正整数n均有Sn+2=4Sn+3,则a2=.解析:由Sn+1=qSn+a1,得Sn+2=q(qSn+a1)+ a1=q2Sn+a1(q+1),与已知条件比较得,q2=4,a1(q+1)=3.从而或所以a2=qa1=2或6.答案:2或610.记等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=2,且数列也为等差数列,则数列an的公差d=,通项公式an=.解析:Sn=na1+d=n2+(2-)n为完全平方式,=0,从而d=4,an=4n-2.答案:44n-211.设各项均为正数的数列an的前n项之积为Tn,若Tn=,则的最小值为.解析:由题意知Tn-1=,所以an=22n,所以=2n+,构造对勾函数f(x)=x+,该函数在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,在整数点x=4时取到最小值7,所以当2n=4时,的最小值为7.答案:712.我们把满足xn+1=xn-的数列xn叫做牛顿数列,已知函数f(x)=x2-1,且数列xn为牛顿数列,设an=ln ,则=.解析:xn+1=xn-=xn-=(xn+),an+1=ln =ln =ln()2=2an,所以=2.答案:213.下表给出一个“等差数阵”:47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数.则a45=;aij=.解析:该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列,a1j=4+ 3(j-1),第二行是首项为7,公差为5的等差数列,a2j=7+5(j-1),第i行是首项为4+3(i-1),公差为2i+1的等差数列,因此aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j.则a45=245+4+5=49.答案:492ij+i+j14.已知定义域为0,+)的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2),当x0,2)时, f(x)=-2x2+4x,设f(x)在2n-2,2n)上的最大值为an(nN*),且数列an的前n项和为Sn,则Sn=.解析:当x0,2)时,函数对称轴为x=1,开口向下,故最大值为f(1)=2.由于f(x+2)=f(x),即从2,4)起,每隔两个单位长度的图象就是前一个区间图象的一半,故最大值是以2为首项,公比为的等比数列,其前n项和Sn=4-.答案:4-15.已知等差数列an的通项公式为an=2n,公比为q的等比数列bn满足bnan(nN*)恒成立,且b4=a4,则公比q的取值范围是.解析:由b4=a4=8得bn=8qn-4,从结构分析,等比数列bn是指数型函数上孤立的点,等差数列an是一次型函数上孤立的点已知指数函数图象与一次函数图象至少在n=4时有一个交点,如果只有这一个交点,那么指数函数其他点都在一次函数上方;如果指数函数与直线有两个交点,那么n=3或5,指数函数图象必须在直线上方故只需满足即得q,.答案:q,三、解答题16.数列an