2019年高考数学专题三立体几何与空间向量第2讲直线与平面的位置关系梯度训练新人教A版.docx

第2讲直线与平面的位置关系选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B位置关系判定1,2,5,91,3,4,9,10,11,15平行关系应用4,6,11,162,16垂直关系应用3,12,13,14,155,6,12,13综合应用7,8,10,177,8,14,17巩固提高A一、选择题1.下列命题正确的是(C)(A)两两相交的三条直线可确定一个平面(B)两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(C)过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行(D)和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线解析:两两相交的三条直线可以交于一点,故A不正确;两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线也可以相交或异面,故B不正确;因为过平面外的一点的直线与平面最多只有一个公共点,所以C正确;和两条异面直线都相交的两条直线可以相交,如三棱锥内的一个侧面上的两条直线,故D不正确.故选C.2.设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:若m,n,则mn;若,m,则m;若m,n,则mn;若,则.其中正确命题的序号是(A)(A)(B)(C)(D)解析:在中,由于n,因而可在内作直线bn.又因为m,所以mb,所以mn.正确;在中,因为,所以.又因为m,所以m.正确;在中,m与n可以相交或异面.错;在中,与可以相交.错.故选A.3. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是(B)(A)CC1与B1E是异面直线(B)AE与B1C1是异面直线,且AEB1C1(C)AC平面ABB1A1(D)A1C1平面AB1E解析:在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点知,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故CC1与B1E不是异面直线,故A错误;因为AE,B1C1为在两个平行面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线,又底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,故AEB1C1,故B正确;由题意知,上底面ABC是一个正三角形,故不可能AC平面ABB1A1,故C错误;因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1平面AB1E不正确,故D错误.故选B.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,过AC与BD1平行的平面必过(A)(A)DD1的中点(B)DD1的三等分点(C)D1C1的中点(D)A1D1的中点解析:如图,正方体中,由于AC与BD互相平分,因此题设所作平面过DD1的中点.故选A.5.正方体的一条对角线与正方体的棱可组成n对异面直线,则n等于(C)(A)2(B)3(C)6(D)12解析:画出正方体,做出一条对角线,结合异面直线的定义,可以判断出有6对异面直线.故选C.6. 已知空间四边形ABCD,M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则(A)(A)1MN5(B)2MN10(C)1MN5(D)2MN5解析:取BC的中点E,连接ME,NE,所以ME=2,NE=3,根据三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,所以1MN5.故选A.7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n等于(A)(A)8(B)9(C)10(D)11解析:根据线面平行的位置关系考虑,不妨设AB=CD,则将正四面体放在正方体的内部,使AB与CD重合,易得与CE相交的平面有4个.因在正四面体中,EF与CD异面且互相垂直,又因与AB互相垂直的正方体侧面有两个,所以EF与正方体六个侧面中的两个是平行关系,与另4个是相交关系,故m+n=8.8. 如图,平面平面,=直线l,A,C是内不同的两点,B,D是内不同的两点,且A,B,C,D直线l,M,N分别是线段AB,CD的中点,下列判断正确的是(B)(A)当CD=2AB时,M,N两点不可能重合(B)M,N两点可能重合,但此时直线AC与l不可能相交(C)当AB与CD相交,直线AC平行于l时,直线BD可以与l相交(D)当AB,CD是异面直线时,直线MN可能与l平行解析:对于A选项,当CD=2AB时,若A,B,C,D四点共面,ACBD时,则M,N两点能重合,故A错误;对于B选项,若M,N两点可能重合,则ACBD,故ACl,此时直线AC与直线l不可能相交,故B正确;对于C选项,当AB与CD相交,直线AC平行于l时,直线BD可以与l平行,故C错误;对于D选项,当AB,CD是异面直线时,MN不可能与l平行,故D错误.故选B.二、填空题9.已知两条不重合的直线a,b和两个不重合的平面,给出下列命题:如果a,b,那么ab;如果,b,那么b;如果a,b,那么ab;如果,b,那么b.上述结论中,正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号).解析:由线面关系逐一考查所给的各个命题:如果a,b,那么不一定有ab,该命题错误;如果,b,那么b,该命题正确;如果a,b,那么ab,该命题正确;如果,b,那么不一定有b,该命题错误.综上,正确的结论为.答案:10. 如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,给出下列结论:PBAE;平面ABC平面PBC;直线BC平面PAE;PDA=45;直线PD与平面PAB所成角的余弦值为.其中正确的有(把所有正确的序号都填上).解析:对于,由PA平面ABC,AE平面ABC,得PAAE,又由正六边形的性质得AEAB,PAAB=A,得AE平面PAB,又PB平面PAB,所以AEPB,正确;对于,由平面PAB平面ABC,所以平面ABC平面PBC不成立,错误;对于,由正六边形的性质得BCAD,又AD平面PAD,所以BC平面PAD,所以直线BC平面PAE也不成立,错误;对于,在RtPAD中,PA=AD=2AB,所以PDA=45,所以正确.直线PD与平面PAB所成角的余弦值为,正确.答案:11. 如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体与过E,F,G的截面平行的棱的条数是.解析:此四面体与过E,F,G的截面平行的棱为AC,BD,只有两条.答案:212.我们将一个四面体四个面中直角三角形的个数定义为此四面体的直度,在四面体ABCD中,AD平面ABC,ACBC,则四面体ABCD的直度为.解析:如图,因为AD平面ABC,所以ADC,ABD都是直角三角形;又ACBC,则ABC是直角三角形;又由题设可知BCAD,BCAC,ACAD=A,故BC平面ACD,CD平面ACD,故BCCDBCD是直角三角形.答案:413. 点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面 对角线BC1上运动,则下列四个命题:三棱锥A-D1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是.解析:对于,容易证明AD1BC1,从而BC1平面AD1C,故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等,所以以P为顶点,平面AD1C为底面,则三棱锥A-D1PC的体积不变;正确;对于,连接A1B,A1C1容易证明A1C1AD1且相等,由知:AD1BC1,所以平面BA1C1平面ACD1,从而由线面平行的定义可得;正确;对于,若DPBC1,又BC1DC,则BC1平面DPC,所以BC1PC,当P不是BC1中点时不成立,则错误;对于,连接DB1,容易证明DB1平面ACD1,从而由面面垂直的判定知正确.答案:14. 如图,60的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在二面角两个半平面内,且都垂直于AB,AC=BD=6,AB=8,则CD=.解析:由题意得,过点B作BEAC,且BE=AC=6,如图所示,则DBE=60,又BD=BE=6,所以BDE为等边三角形,且四边形ABEC为矩形,即CE=AB且CE平面BDE,而DE平面BDE,所以CEDE,由勾股定理得,CD=10.答案:1015.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1B1的中点,P在AD上,若平面CMN平面A1BP,则=.解析:画出图象如图所示,由图可知,要两个平面垂直,注意到BPMN是恒成立的,则只需BPCM就有BP平面CMN,显然,当P为AD中点时,ABPBCM,PBA+CMB=,即BPCM,从而BP平面CMN,也即有平面CMN平面A1BP,所以=2.答案:216. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,点M是棱AD的中点,N在棱AA1上,且满足AN=2NA1,P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界),若C1P平面CMN,则线段C1P长度最小值是.解析:取A1D1的中点Q,过点Q在平面ADD1A1作MN的平行线交DD1于E,则易知平面C1QE平面CMN,在C1QE中作C1PQE,则C1P=为所求.答案:三、解答题17.(2018名校新高考研究联盟) 如图,平行四边形PDCE垂直于梯形ABCD所在的平面,ADC=BAD=90,PDC=120,F为PA中点,PD=1,AB=AD=CD=1.(1)求证:AC平面DEF;(2)求直线BC与平面PAD所成角的余弦值.(1)证明:设PC与DE的交点为M,连接FM,因为F,M分别为PA,PC的中点,则FMAC,因为FM平面DEF,AC平面DEF,所以AC平面DEF.(2)解:法一(向量法)过点D在平面PDCE中作DQPE,交PE于点Q.由已知可得PQ=,以D为原点,分别以DA,DC,DQ所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.如图所示,根据已知可得下列各点坐标.D(0,0,0),P(0,-,),A(1,0,0),B(1,1,0) ,C(0,2,0).求得平面PAD一个法向量n=(0,1),=(-1,1,0)设直线BC与平面PAD所成角为,则sin =cos =.所以,直线BC与平面PAD所成角的余弦值为.法二取CD的中点G,连接AG,则AGBC,所以,直线AG与平面PAD所成角即为直线BC与平面PAD所成角.过点G作GHPD于H,又AD平面PCDE,所以ADGH.PDAD=D.所以CH平面PAD,则GAH即为所求的线面角,易求,GH=,AG=BC=,所以,sin GAH=.直线BC与平面PAD所成角的余弦值为.巩固提高B一、选择题1.设a,b是两条不同直线,是两个不同平面,则下列四个命题:若ab,a,b,则b;若a,a,则;若a,则a或a;若ab,a,b,则.其中正确命题的个数为(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根据与平面的法向量垂直的直线平行或在平面内,故正确;a,a,则内存在直线与a平行,可得,故正确;若a,则a平行或a在平面内,故正确;若ab,a,b,即两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直,故正确.故选D.2.“直线m与平面内无数条直线平行”是“直线m平面”的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由于没确定直线m是否在平面内,所以充分性不成立.故选B.3.已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC.则下列结论不正确的是(D)(A)CD平面PAF(B)DF平面PAF(C)CF平面PAB(D)CF平面PAD解析:因为六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC.则AFCD,由线面平行的判定定理,可得CD平面PAF,故A正确;DFAF,DFPA,由线面垂直的判定定理可得DF平面PAF,故B正确;CFAB,由线面平行的判定定理,可得CF平面PAB,故C正确;CF与AD不垂直,故D中,CF平面PAD不正确.故选D.4.对于四面体ABCD,有以下命题:若AB=AC=AD,则点A在底面BCD内的射影是BCD的外心;若ABCD,ACBD,则点A在底面BCD内的射影是BCD的内心;四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形;若四面体A-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是(D)(A)(B)(C)(D)解析:由题设AB=AC=AD,故顶点A在 底面内的射影是底面中心,故命题正确;四面体中的四个面中最多有四个直角三角形,如图1,故命题正确;对于命题,如图2,尽管ABCD,ACBD,点A在底面BCD内的射影不是BCD的内心,即命题 错误;若四面体的6条棱都为1,则它的体积为V=12=,又设内切球的半径为r,则V=4r=r=,则S=4r2=4()2=,即命题正确.故选D.5. 如图,正四面体D-ABC的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则在下列命题中,错误的是(C)(A)O-ABC是正三棱锥(B)直线OB与平面ACD相交(C)直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为(D)异面直线AB和CD所成角是90解析:由题知ABCD为正四面体,所以ABC为等边三角形,又因为OA,OB,OC两两垂直,所以OA平面OBC,所以OABC,过O作底面ABC的垂线,垂足为N,连接AN交BC于M,由三垂线定理可知BCAM,所以M为BC中点,同理可证,连接CN交AB于P,则P为AB中点,所以N为底面ABC中心,所以O-ABC是正三棱锥,故A正确; 将正四面体ABCD放入正方体中,如图所示,显然OB与平面ACD不平行.则B正确;由图知,直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为,则C错误;异面直线AB和CD所成角是90,故D正确.故选C.6. 正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面上的射影是底面的中心)SABCD的底面边长为2,高为2,E为边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PEAC,则动点P的轨迹的周长为(D)(A)(B)+(C)3(D)+解析:取SC的中点F,CD的中点H,连接EF,EH.在正四棱锥SABCD中,易知AC平面SDB,又平面EFH平面SDB,所以AC平面EFH,所以动点P在线段EF,FH,EH上运动总能保持PEAC.EH=DB=,FE=FH=SB=,所以动点P的轨迹的周长为EH+FH+EF=+.故选D.7. 如图,已知平面平面,A,B是平面与平面的交线上的两个定点,DA,CB,且DAAB,CBAB,AD=4,BC=8,AB=6,在平面上有一个动点P,使APD=BPC,则四棱锥PABCD体积的最大值是(D) (A)24(B)16(C)144(D)48解析:由题设可得ADAB,BCAB且=,即PB=2PA,以AB所在直线为x轴,其中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0),设P(x,y),则x2+y2+10x+9=0,即(x+5)2+y2=16,则圆心M(-5,0),半径r=4,所以动点P到x轴的距离最大值为r=4,此时四棱锥PABCD的体积的最大值为V=Sr=(6)4=48.故选D.8.在底面是菱形的四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,点E为棱PB的中点,点F在棱AD上,平面CEF与PA交于点K,且PA=AB=3,AF=2,则等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:如图,延长CF交BA的延长线于点O,则由AOFDCF可得AO=23=6,设AB的中点为G,又=AK=,则PK=3-AK=3-=,故=.故选A.二、填空题9.,为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,下列命题中正确的是(填上所有正确命题的序号).若,m,则m;若m,n,则mn;若,=n,mn,则m;若n,n,m,则m.解析:由题意得,由,m,根据面面平行的性质,可得m,所以正确;由m,n,则m与n平行或异面,所以不正确;由,=n,mn,则m有可能在内,所以不正确;由n,n,m,根据直线垂直平行平面中一个也必垂直于另一个平面,所以m是正确的,所以正确的命题为.答案:10. 如图所示,E,F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作D.给出下列位置关系:SD平面DEF;SE平面DEF;DFSE;EF平面SED,其中成立的有.解析:由题意,因为SDDF,SDDE,DEDF,DE=DF,显然正确;错误;正确;错误.答案:11. 如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则下列命题中,正确的为(填序号).ACBD;AC截面PQMN;AC=BD;异面直线PM与BD所成的角为45.解析:在四面体ABCD中,因为截面PQMN是正方形,所以PQMN,PQ平面ACD,MN平面ACD,所以PQ平面ACD,因为平面ACB平面ACD=AC,所以PQAC,可得AC平面PQMN,同理可得BD平面PQMN,BDPN,因为PNPQ,所以ACBD,由BDPN,所以MPN是异面直线PM与BD所成的角,且为45,由上面可知:BDPN,PQAC,=,=,而AN与DN不一定相等,PN=MN,所以BD与AC不一定相等,综上可知:都正确.答案:12. 如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=时,CF平面B1DF.解析:由已知得B1D平面AC1,又CF平面AC1,所以B1DCF,故若CF平面B1DF,则必有CFDF,设AF=x(0x3a),则CF2=x2+4a2,DF2=a2+(3a-x)2,又CD2=a2+9a2=10a2,所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a.答案:a或2a13. 如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,请你补充一个条件(填写你认为是正确的条件对应的序号),使平面MBD平面PCD.DMPC;DMBM;BMPC;PM=MC.解析:由定理可知,BDPC,所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD,则DMPC或BMPC正确,故答案为或.答案:或14.已知命题:“若xy,yz,则xz”为真命题,那么字母x,y,z在空间所表示的几何图形:都是直线;都是平面;x,y是直线,z是平面;x,z是平面,y是直线.其中正确结论的序号为.解析:若x,y,z都表示直线,根据直线与直线所成角的定义可知两条平行线与第三条直线所成角相等,对;若x,y,z都表示平面,根据平面与平面所成角的定义可知两个平行平面与第三个平面所成角相等,对;若x,y是直线,z是平面,当xy,yz时,x可能平行于z,故错;若x,z是平面,y是直线,根据面面垂直的判定定理可得“若xy,yz,则xz”成立,对.答案:15. 如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BC=AC,AC1A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点,给出下列结论:C1M平面A1ABB1;A1BNB1;平面AMC1平面CNB1;其中正确结论的序号是.解析:由C1MA1B1,C1MAM,A1B1AM=MC1M平面A1ABB1,故正确;结合得A1BC1M,AC1A1B,AC1C1M=C1A1B平面C1AMA1BAM,又AMNB1A1BNB1,故正确;由AMNB1,C1MCN,AMC1M=M平面AMC1平面CNB1;故正确结论的序号是.答案:16.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形的序号是.(将你认为正确的都填上)解析:在中NPAB,