2019秋高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式练习（含解析）新人教A版.docx

4.2 用数学归纳法证明不等式A级基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证()An1Bn2Cn3 Dn4解析：由题意n3知应验证n3.答案：C2用数学归纳法证明“1n，(nN，n1)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A2k1 B2k1C2k D2k1解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.故选C.答案：C3设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出的一般结论为()Af(2n)(n1，nN*)Bf(n2)(n1，nN*)Cf(2n)(n1，nN*)D以上都不对解析：f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，依此类推可知f(2n)(n1，nN*)答案：C4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析：由“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，因此，对于A，k1，2时不一定成立，对于B，C，显然错误对于D，因为f(4)2542，因此对于任意的k4，均有f(k)k2成立答案：D5若不等式对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A12 B13C14 D不存在解析：令f(n)，取n2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以f(n)max，所以由f(2)，求得m的值故应选B.答案：B二、填空题6用数学归纳法证明2n1n2n2(nN)时，第一步的验证为_解析：当n1时，2111212，即44成立答案：21112127在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立猜想在n边形A1A2An中，类似成立的不等式为_解析：由题中已知不等式可猜想：(n3且nN*)答案：(n3且nN*)8在应用数学归纳法证明“1(nN*)”时，从nk到nk1，不等式左边增加的项是_解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当nk时，尾项的分母为(k1)2，nk1时尾项的分母为(k2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，(n1)这些数都是连续相差1时因此，从nk到nk1只增加了一项，即(kN)答案：三、解答题9设a为有理数，x1.如果0a1，证明：(1x)a1ax，当且仅当x0时等号成立证明：0a1，令a，1mn，其中m，n为正整数，则由平均值不等式，得(1x)a(1x) 1x1ax，当且仅当1x1，即x0时，等号成立10已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，且an1f(an1)，证明：an2n1(nN*)证明：由f(x)x3x，得f(x)x21.因此an1f(an1)(an1)21an(an2)，(1)当n1时，a11211，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即ak2k1，当nk1时，ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1.又k1，所以22k2k1，所以nk1时，ak12k11，不等式成立根据(1)和(2)知，对任意nN，an2n1成立B级能力提升1对于正整数n，下列不等式不正确的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n10.1n D0.1n10.9n解析：排除法，取n2，只有C不成立答案：C2利用数学归纳法证明时，n的最小取值n0应为_解析：n01时不成立，n02时，再用数学归纳法证明，故n02.答案：23函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4，5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式(1)证明：用数学归纳法证明：2xnxn13.当n1时，x12，直线PQ1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.由归纳假设知xk240，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk