2019秋高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习课练习（含解析）新人教A版.docx

复习课 整合网络构建 警示易错提醒1数学归纳法的两个关注点(1)关注用数学归纳法证题的步骤第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证两步缺一不可，否则不能保证结论成立(2)关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法2数学归纳法的两个易错点(1)在数学归纳法中，没有应用归纳假设(2)归纳推理不到位专题一数学归纳法在使用数学归纳法证明不等式时，一般来说，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键 例设0a1，定义a11a，an1a，求证：对一切正整数n，有1an.证明：(1)当n1时，a11，a11a，命题成立(2)假设nk(kN*)时，命题成立即1ak，当nk1时，由递推公式，知ak1a(1a)a1.同时，ak1a1a，故当nk1时，命题也成立，即1ak1，综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1an.归纳升华用数学归纳法证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由nk成立，推导nk1也成立时，其他证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题变式训练证明不等式1(n2，nN*)证明：先证明1(n2)，(*)对(*)运用数学归纳法证明：(1)当n2时，(*)显然成立(2)设nk时，不等式(*)成立，则1.当nk1时，1111.故当nk1时，不等式(*)成立根据(1)和(2)知，对nN*且n2，不等式(*)成立，故原不等式成立.专题二归纳、猜想、证明思想的应用归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写例2数列an满足Sn2nan.(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想(1)解：当n1时，a1S12a1，所以a11.当n2时，a1a2S222a2，所以a2.当n3时，a1a2a3S323a3，所以a3.当n4时，a1a2a3a4S424a4，所以a4.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11，结论成立假设当nk(k1且kN)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1 ，即ak12akak1，所以ak1，这表明当nk1时，结论成立由知猜想的通项公式an成立归纳升华归纳猜想证明的三步曲(1)计算：根据条件，计算若干项(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论(3)证明：用数学归纳法证明 变式训练“设f(n)1(nN)，有f(1)1，f(3)1，f(7)，f(15)2，”试问：f(2n1)与大小关系如何？试猜想并加以证明解：数列1，3，7，15，通项公式为an2n1，数列，1，2，通项公式为an，所以猜想：f(2n1).下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1).当nk1时，f(2k11)f(2k1)f(2k1),2k个f(2k1).所以当nk1时不等式也成立据(1)(2)知对任何nN原不等式均成立专题三转化和化归思想把所要证的平面几何问题转化，运用数学归纳法来解决，这体现了转化和化归的思想一般将待解决的平面几何问题进行转化，使之化为我们熟悉的或容易解决的问题例3设平面内有n条直线，这n条直线把平面分成互不垂叠的区域个数的最大值为f(n)，求f(n)的解析式，并用数学归纳法证明解：设平面内k(k1)条直线把平面分成区域个数的最大值为f(k)，则第k1条直线与前k条直线最多有k个交点，因此第k1条直线最多可以被分成k1段，每一段可把所在的区域分为两部分，所以比原来的区域增加k1个，即有f(k1)f(k)k1，所以f(k1)f(k)k1.于是f(2)f(1)2，f(3)f(2)3，f(n)f(n1)n.把以上n1个等式相加得f(n)f(1)23n.因为f(1)2，所以f(n)f(1)(23n)(n2n2)下面用数学归纳法证明：(1)n1时，一条直线可以把平面分成2个，即f(1)2，而(n2n2)(112)2，所以命题成立(2)假设nk时，f(k)(k2k2)成立，当nk1时，f(k1)f(k)(k1)(k2k2)(k1)(k22k1k3)(k1)2(k1)2，所以命题仍成立由(1)(2)知，当nN*时，f(n)(n2n2)成立归纳升华有关几何图形的性质、公式等与自然数n有关的命题，主要是抓住递推关系，明确要证明的表达式，然后转化用数学归纳法进行证明变式训练用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式anbn都能被ab整除证明：(1)当n1时，anbnab能被ab整除(2)假设当nk(kN，k1)时，akbk能被ab整除，那么当nk1时，ak1bk1ak1akb