2020版高考数学总复习教材高考审题答题（五）解析几何热点问题教案文（含解析）北师大版.docx

教材高考审题答题（一）函数与导数热点问题核心热点真题印证核心素养直线与椭圆的位置关系2018，20；2017，20数学运算、逻辑推理直线与抛物线的位置关系2018，20；2017，20；2016，20；2016，20；2018，20数学运算、逻辑推理最值与范围问题2016，21数学运算、逻辑推理与圆有关的综合问题2017，20数学运算、逻辑推理教材链接高考求曲线方程及直线与圆锥曲线教材探究(引自人教A版选修11P42习题A5(1)(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点P(2，0)，Q(0，)；(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3，0).试题评析1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用椭圆的几何性质.2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出a，b的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.【教材拓展】 设抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C，AF与BC相交于点E，若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_.解析易知抛物线的焦点F的坐标为，又|CF|2|AF|且|CF|3p，|AB|AF|p，可得A(p，p).易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26，p0，p.答案探究提高1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点A的坐标，(2)根据AEBFEC求出线段比，进而得到面积比并利用条件“SACE3”求解.2.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用平面几何的知识，能起到简化运算的作用.【链接高考】 (2018天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b，0)，且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O为原点)，求k的值.解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得，|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2).由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2.又因为|AQ|，而OAB，故|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1.易知直线AB的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.代入5y19y2，可得5(k1)3，将等式两边平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以，k的值为或.教你如何审题圆锥曲线中的证明问题【例题】 (2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.审题路线自主解答(1)解当l与x轴垂直时，l的方程为x2，代入抛物线方程y22x，可得M的坐标为(2，2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN0，所以直线BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.探究提高(1)解决本题的关键是分析图形，把图形中“角相等”关系转化为相关直线的斜率之和为零，类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，进而转化为斜率之积为1；线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标之比；(2)解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推理及运算，借助几何直观，达到证明的目的.【尝试训练】 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点P，F为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A(4，0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使AMF与MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)因为，所以a2c，bc，设椭圆方程1，又点P在椭圆上，所以1，解得c21，a24，b23，所以椭圆方程为1.(2)易知直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x4)，由消去y得(34k2)x232k2x64k2120，由题意知(32k2)24(34k2)(64k212)0，解得k0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心、4为半径的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，EAB90.(1)求p的值；(2)已知点P的纵坐标为1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的另外两点，且直线PQ和直线PR的斜率之和为1，试问直线QR是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.解(1)由题意及抛物线的定义，有|AF|EF|AE|4，所以AEF是边长为4的正三角形.设准线l与x轴交于点D，则|DF|p|AE|42.所以p2.(2)设直线QR的方程为xmyt，点Q(x1，y1)，R(x2，y2).由得y24my4t0，则y1y24m，y1y24t，16m216t0.又因为点P在抛物线C上，则kPQ.同理可得kPR.因为kPQkPR1，所以1，解得t3m.由解得m(1，).所以直线QR的方程为xm(y3)，故直线QR过定点.1.已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0，2)，离心率为.(1)求椭圆P的方程；(2)是否存在过点E(0，4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)设椭圆P的方程为1(ab0)，由题意得b2，e，a2c，b2a2c23c2，c2，a4，椭圆P的方程为1.(2)假设存在满足题意的直线l，易知当直线l的斜率不存在时，0得(32k)264(34k2)0，解得k2.x1x2，x1x2，y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)16，故x1x2y1y216，解得k21.由解得k1，直线l的方程为yx4.故存在直线l：xy40或xy40满足题意.2. (2019南昌调研)在平面直角坐标系xOy中，过点C(2，0)的直线与抛物线y24x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)(一题多解)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长；如果不存在，说明理由(1)证明法一当直线AB垂直于x轴时，不妨取y12，y22.因此y1y28(定值)当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为yk(x2)，由得ky24y8k0.y1y28.因此有y1y28为定值法二设直线AB的方程为myx2，由得y24my80.y1y28.因此有y1y28为定值(2)解存在理由如下：设存在直线l：xa满足条件，则AC的中点E，|AC|.因此以AC为直径的圆的半径r|AC|，又点E到直线xa的距离d故所截弦长为22.当1a0，即a1时，弦长为定值2，这时直线方程为x1.3.(2019郑州质检)已知圆O：x2y24，点F(1，0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点.问：在y轴上是否存在定点Q，使得MQONQO？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)设PF的中点为S，切点为T，连接OS，ST，则|OS|SF|OT|2.取F(1，0)，连接FP，则|FP|FP|2(|OS|SF|)4.所以点P的轨迹是以F，F为焦点、长轴长为4的椭圆，其中，a2，c1，所以b2a2c2413.所以曲线C的方程为1.(2)假设存在满足题意的定点Q.设Q(0，m)，当直线的斜率存在时直线MN的方程为ykx，M(x1，y1)，N(x2，y2).联立得方程组消去y并整理，得(34k2)x24kx110.由题意知0，x1x2，x1x2.由MQONQO，得直线MQ与直线NQ的斜率之和为0，0，2kx1x2(x1x2)2k0，当k0时，m6，所以存在定点(0，6)，使得MQONQO；当k0时，定点(0，6)也符合题意.易知直线MN的斜率不存在时，定点Q(0，6)也符合题意.存在符合题意的定点Q，且定点Q的坐标为(0，6).综上，存在定点(0，6)使得MQONQO.4.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以2a|AF1|AF2|2，则a，b2a2c21.故椭圆C的方程为y21.(2)椭圆C上不存在这样的点Q，理由如下：设直线的方程为y2xt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236(t28)0，故y0，且3t3.由得(x4x2，y4y2)，所以有y1y4y2，y4y1y2t.又3t3，所以y4b0)，焦距为2c，则bc，a2b2c22b2，椭圆E的标准方程为1.椭圆E经过点，1，解得b21.椭圆E的标准方程为y21.(2)点(2，0)在椭圆E外，直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线l：yk(x2).设M(x1，y1)，N(x2，y2).由消去y，得(12k2)x28k2x8k220.x1x2，x1x2，64k44(12k2)(8k22)0，解得0k2.|MN|x1x2|2.点F2(1，0)到直线l的距离d，F2MN的面积为S|MN|d3.令12k2t，t1，2)，得k2.S3333.当，即t时，S有最大值，Smax，此时k.F2MN的面积的最大值是.6已知圆C：x2y22x4ym0，直线l过点(2，1)(1)若m1，直线l交圆C于M，N两点，且|MN|2，求直线l的方程；(2)若直线l的倾斜角为45，且与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由解(1)当m1时，圆C：x2y22x4y10，可转化为(x1)2(y2)24，所以圆C的圆心为C(1，2)，半径为2.若直线l的斜率不存在，易求出|MN|2，显然不符合题意故可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由题意知，圆心C(1，2)到直线l的距离为，即，所以k1，故直线l的方程为xy10.(2)因为直线l过点(2，1)且倾斜角为45，所以直线l的方程为y1(x2)tan 45，即xy10.圆C：x2y2