信号与系统讲稿ch2.pps

1,引言,LTI连续时间系统的分析：建立并求解线性微分方程,1时域分析法：在时间域内进行分析，即在分析过程中所涉及的函数的变量都是时间t 特点：直观、物理概念清楚,例 如图电路，若要求回路电流，则由电路的基本定律，有,两边微分 ，得系统数学模型,此为一个二阶系统,2,2变换域分析法：为了便于求解微分方程而将时间变量变换成其它变量如频率（频域）等,古典解法：微分方程的解齐次方程的通解特解,齐次方程为,通解为：,自然响应（自由响应）,非齐次方程特解的形式由激励函数决定受迫响应,即（系统的）全响应自由响应受迫响应,此法适合于激励函数为直流，正弦或指数等简单形式的情况，复杂函数激励时，可用叠加积分法或变换域方法,全响应零输入响应零状态响应,3,一、用算子表示微分方程,（一）微分算子及其运算规则,(二）转移算子,二、奇异信号（函数）,(一）阶跃信号（函数）,（二）冲激信号（函数）,三、系统的零输入响应与零状态响应,（一）零输入响应与零状态响应的概念,(二）冲激响应和阶跃响应,四、卷积积分及其性质,五、LTI 连续时间系统的时域求解,4,（一）微分算子及其运算规则,引进算子,令微分算子 ,积分算子,于是 ,微分方程：,可写为：,或简化为：,一、用算子表示微分方程,5,讨论：, 电容、电感的等效算子符号,对电感：,对电容：,感抗,容抗, 引进p后，微分方程 代数方程，一般情况下，代数方程的运算规则也适用于算子方程，但有例外：,其一，对算子多项式可进行因式分解，但不能进行公因子相消，如：,6,其二，算子的乘除顺序不可随意颠倒，即,因为,(二）转移算子,n阶线性微分方程为：,即,但对于算子方程 两边的算子符号因子p不能消去。,7,则有,定义 转移算子,于是系统方程可写成：,令,求零输入响应时， 此时方程为齐次方程：,算子形式的微分方程与其拉普拉斯变换式形式相似！,利用初始条件求解此方程即得零输入响应,8,A 0 t0 t,1 0 t,(一）阶跃信号（函数）,1.单位阶跃信号（函数）,定义,2.延迟的阶跃信号（函数）,二、奇异信号（函数）,阶跃函数具有切除的作用！,9,1 0 t t,1 1 0 = + -1,3. 利用阶跃信号（函数）表示矩形脉冲,即,于是,若在一电容的两端施加一单位阶跃电压，则电容电流为：,10,矩形脉冲宽度为 ，高为 ，面积为,（1）,此极限情况即为单位冲激函数，记为 。,定义：,或定义:,在 时，函数值均为零，在 处函数值为无限大，而脉冲面积为1。,即,（二）冲激信号（函数）,1. 单位冲激信号（函数）,11,2.冲激函数的性质,（1） 的抽样性质,(2) 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数,(3) 单位阶跃函数的导数是单位冲激函数,延迟的单位冲激函数：,d(t-t0） （1） 0 t0 t,Ad(t） （A） 0 t,12,单位冲激函数的导数是单位冲激偶:,（5）,（6）,求导,如单位阶跃函数的积分是单位斜变函数：,(4)奇异函数的若干次积分和若干次微分也都是奇异函数,13,三、 系统的零输入响应与零状态响应,（一）零输入响应与零状态响应的概念,解：（1）建立系统的数学模型：,即,（2）求系统的响应,两边乘以,14,两边求积分：,得,:只与电容两端的初始状态有关，与输入激励无关,零输入响应（即当激励 时，系统的响应）,：与初始状态无关，只与激励有关,零状态响应（即当 时，系统的响应）,15,（二）冲激响应和阶跃响应,四、卷积积分及其性质,(一)卷积积分的定义,和 是具有相同变量 的两个函数，它们相卷积后所成的变量为 , 、 和 满足下列运算关系 ,这种运算关系就称为卷积积分，并表示为：,系统在单位冲激信号 激励下产生的零状态响应称为系统的冲激响应 。 系统在单位阶跃信号 激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应 。 线性时不变系统：,16,(二)卷积积分的物理意义,由冲激函数的抽样性可知，,此式说明任意信号可表示为冲激函数的积分,线性时不变系统:,则,当激励为 时，系统的响应为：,结论：系统的零状态响应等于系统的激励与系统的单位冲激响应的卷积积分！,17,(三)卷积的性质,1.卷积的代数运算,交换律:,证明:,分配律:,结合律:,18,2.函数与冲激函数的卷积,推广:,进一步:,3.卷积的积分与微分,卷积的微分: 若,则,19,证明:,卷积的积分: 若,则,20,证明:,同理可得:,可推得:,21,4.函数延时后的卷积,若,则,(四)卷积的求取,例 函数f1(t) 和f2(t)的波形如下,求它们的 卷积 f(t) = f1(t) * f2(t),2 f1(t) 1 f2(t) 0 1 2 t 0 1 2 3 t -1,22,解: 方法一用图示法,步骤如下:,(1)将横坐标换成且反褶f2,得f1()和 f2(-),(2)将f2(-)沿正轴平移时间t,得f2(t-),当参量t的值不同时, f2(t-)的位置就不同,(3)将f1()和 f2(t-)相乘,然后积分,亦即求 f1()f2(t-)曲线下的面积.,f1() f2(-) -2 0 1 2 3 t=0,f1() f2(t-) -2 0 1 2 3 t 0t1,t1 时:,f1()f2(t-) = 0,f(t) = 0,23,f1() f2(t-) -2 0 1 t 2 3 1t2,1t2:,f(t) = 1t (12)d= 2t-2,f1() f2(t-) -2 0 1 2 t 3 2t3,2t3:,f(t) = 1t-1 (-12)d+ t-1t (12)d,=-2(t-1-1)+2(t-t+1) = -2t + 6,f1() f2(t-) -2 0 1 2 3 t 4 3t4,3t4:,f(t) = t-2t-1 (-2)d+ t-13 2d,= -2t + 6,24,f1() f2(t-) -2 0 1 2 3 4 t5 4t5,4t5:,f(t) = t-23 (-12)d,= -2(3-t+2) = 2t - 10,t5时: f1()f2(t-) = 0,f(t) = 0,25,方法二利用卷积的性质,f(t) = f1(t) * f2(t),= df1(t)/dt * -t f2(x)dx,= 2d(t-1)-2d(t-3)*f3(t),=2 d(t-1)*f3(t)-2d(t-3)*f3(t),=2f3(t-1)-2f3(t-3),f1(t) f2(t),df1(t)/dt -t f2(x)dx=f3(t),0 1 3 t 0 1 2 t,f(t) 0 1 3 5 -2,2f3(t-1) -2f3(t-3),26,五、LTI 连续时间系统的时域求解,LTI 系统: 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,r(t) = rZi(t) + rZS(t),系统方程: D(p)r(t) = N(p)e(t) H(p) = N(p)/ D(p),零输入(e(t)=0时)响应分量rZi(t)满足:,D(p)rZi(t)= 0,若 D(p) = (p-l1)(p-l2)(p-ln) （n个单根）,则 rZi(t)= C1e l1t + C2e l2t+ Cne lnt = i=1n Cie lit,若 D(p) = (p-l1)(p-l2)(p-ln-k)(p-l)k （有一个k阶重根）,则 rZi(t)= C1e l1t + C2e l2t + + Cn-k e ln-k t + (Cn-k+1 + Cn-k+2t + + Cntk-1)elt,零状态响应分量rZS(t)= h(t) * e(t),27,例 描述某LTI系统的微分方程为: d2r(t)/dt2 + 3dr(t)/dt + 2r(t)=2de(t)/dt + 6e(t),已知r(0-)=2 , r,(0-)=0 , e(t)=e(t), 求系统的零输入响应和零状态响应及全响应.,解 (1) 系统的零输入响应rZi(t),e(t)=0:,d2rZi(t)/dt2 + 3drZi(t)/dt + 2rZi(t)=0 且满足 r(0-)=2 , r,(0-)=0,特征方程 D(p)=p2+3p+2=(p+1)(p+2)=0,l1=-1, l2=-2,rZi(t)= C1e-t + C2e-2t , t0,求C1、C2 :,rZi(0+) = rZi(0-) = r(0-)=2, C1 + C2 = 2,rZi,(0+) = rZi,(0-) = r,(0-)=0, - C1 -2C2 = 0,28, C1=4 ,C2 =-2, rZi(t)= (4e-t - 2e-2t)e(t),(2)系统的零状态响应rZS(t),先求冲激响应h(t):,系统方程的算子形式(p2+3p+2)r(t)=(2p+6)e(t),H(p) =(2p+6)/ (p2+3p+2)=4/(p+1)-2/(p+2),h(t)满足:,h(t)=H(p) d(t)= (4e-t - 2e-2t