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南京理工大学泰州科技学院学生毕业设计（论文）中期检查表学生姓名周雷学 号0601510172指导教师梁红军选题情况课题名称制订YD-65油锯右箱工序卡及铣镗结合面夹具设计难易程度偏难适中偏易工作量较大合理较小符合规范化的要求任务书有无开题报告有无外文翻译质量优良中差学习态度、出勤情况好一般差工作进度快按计划进行慢中期工作汇报及解答问题情况优良中差中期成绩评定：良所在专业意见：能按毕业设计进程完成设计要求，认真对待毕业设计，做到不懂就问，有一定的刻苦钻研精神，紧扣课题完成了开题报告，较好地进行了外文翻译，为下面的课题开展作好准备。 负责人： 2010年 4 月 9 日南京理工大学泰州科技学院学生毕业设计（论文）中期检查表学生姓名周雷学 号0601510172指导教师梁红军选题情况课题名称制订YD-65油锯右箱工序卡及铣镗结合面夹具设计难易程度偏难适中偏易工作量较大合理较小符合规范化的要求任务书有无开题报告有无外文翻译质量优良中差学习态度、出勤情况好一般差工作进度快按计划进行慢中期工作汇报及解答问题情况优良中差中期成绩评定：良所在专业意见：能按毕业设计进程完成设计要求，认真对待毕业设计，做到不懂就问，有一定的刻苦钻研精神，紧扣课题完成了开题报告，较好地进行了外文翻译，为下面的课题开展作好准备。 负责人： 2010年 4 月 9 日 南京理工大学泰州科技学院毕业设计（论文）任务书学院(系)：机械工程院专 业：机械工程及自动化学 生 姓 名：周雷学 号：0601510172设计(论文)题目：制订YD-65油锯右箱工序卡 及铣镗结合面夹具设计 起 迄 日 期: 2010年 3月 22日 6月27日设计(论文)地点:南京理工大学泰州科技学院指 导 教 师:梁红军专业负责人:发任务书日期: 2010 年 3 月 12日任务书填写要求1毕业设计（论文）任务书由指导教师根据各课题的具体情况填写，经学生所在专业的负责人审查、院（系）领导签字后生效。此任务书应在第七学期结束前填好并发给学生；2任务书内容必须用黑墨水笔工整书写或按教务处统一设计的电子文档标准格式（可从教务处网页上下载）打印，不得随便涂改或潦草书写，禁止打印在其它纸上后剪贴；3任务书内填写的内容，必须和学生毕业设计（论文）完成的情况相一致，若有变更，应当经过所在专业及院（系）主管领导审批后方可重新填写；4任务书内有关“学院（系）”、“专业”等名称的填写，应写中文全称，不能写数字代码。学生的“学号”要写全号；5任务书内“主要参考文献”的填写，应按照国标GB 77142005文后参考文献著录规则的要求书写，不能有随意性；6有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 74082005数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2009年3月15日”或“2009-03-15”。毕 业 设 计（论 文）任 务 书1本毕业设计（论文）课题应达到的目的： 通过本设计，了解镁铝合金箱体的基本的加工方法，对机加工工序卡熟悉工艺设计的全过程；把所学基础理论，专业知识运用到实践中去；着重培养设计、计算、分析问题和解决问题的能力，进而总结、归纳和获得合理结论，进行较为系统的工程训练，初步锻炼科研能力，提高论文撰写和技术表述能力，为实际工作奠定基础，达到人才培养的目的和要求。2本毕业设计（论文）课题任务的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）： 原始数据（1） 工件材质：YM5（2） 加工要求如图示(祥见图纸) 设计要求：（1）生产纲领：单班制年产2万台。（2）夹具设计须定位准确，夹紧可靠。 工作任务：（1）查阅资料15篇以上，翻译外文资料不少于3000汉字，撰写文献综述和开题报告。（2）完成机械加工工序卡设计。（3）绘制夹具装配图1份（0号图纸）；合计不少于4张（图纸须用计算机绘制）。（4）撰写设计计算说明书不少于1.5万字。 毕 业 设 计（论 文）任 务 书3对本毕业设计（论文）课题成果的要求包括毕业设计论文、图表、实物样品等： 毕业设计成果以图纸和说明书形式交卷。符合国家标准;说明书层次分明、论据可靠、技术正确、图标规范、语句通顺。 4主要参考文献：1 徐灏，邱怀宣，菜春源，汪恺，余俊.机械设计手册S.北京：机械工业出版社，1989.2 美国可切削性数据中心编.机械加工切削数据手册S.北京：机械工业出版社， 1989.9.3 张兴辉.实用机械加工测量技巧M.北京：化学工业出版社，2008. 4 姜永武.组合机床设计M.重庆：西南交大出版社,2004.5 宋鸿升.组合机床与自动化加工技术J.北京：北京组合机床与自动化加工技术杂志社，2002.6 金属机械加工工艺人员手册修订组.金属机械加工工艺人员手册S.上海：上海科学技术出版社，1979.7 刘文剑，莫天河，赵继媛.夹具工程师手册S.哈尔滨：黑龙江科学技术出版社 1987. 8 夏祖印，张能武.机械加工实用手册S.合肥：安徽科学技术出版社，2008. 毕 业 设 计（论 文）任 务 书5本毕业设计（论文）课题工作进度计划：起 迄 日 期工 作 内 容2010年 3月 17 日 3 月23日 3月 24 日 4月2日4月3日 4月10日4月11日 4月20日4月21日 5月15日5月16日 5月20日5月21日 6月4日6月5日 6月12日6月25日 6月27日熟悉课题，查阅资料，外文翻译，完成开题报告。围绕主题开展调研工作，了解箱体类零件加工特点，了解铝合金加工的一般方法。撰写文献综述原理方案设计，经过综合讨论确定合理方案，绘制总体方案简图，熟悉相关软件编制相关软件，计算相关结构参数，选择通用部件及标准件编制相关软件，对设计方案进行评价与修改，使之完善完成工序卡编制，绘制气动夹具。整理相关资料，撰写并打印设计说明书，正式提交设计成果（包括图纸及论文）准备及论文答辩所在专业审查意见：负责人： 年 月 日学院（系）意见：院（系）领导： 年 月 日PAGE 南京理工大学泰州科技学院毕业设计（论文）任务书学院(系)：机械工程院专 业：机械工程及自动化学 生 姓 名：周雷学 号：0601510172设计(论文)题目：制订YD-65油锯右箱工序卡 及铣镗结合面夹具设计 起 迄 日 期: 2010年 3月 22日 6月27日设计(论文)地点:南京理工大学泰州科技学院指 导 教 师:梁红军专业负责人:发任务书日期: 2010 年 3 月 12日任务书填写要求1毕业设计（论文）任务书由指导教师根据各课题的具体情况填写，经学生所在专业的负责人审查、院（系）领导签字后生效。此任务书应在第七学期结束前填好并发给学生；2任务书内容必须用黑墨水笔工整书写或按教务处统一设计的电子文档标准格式（可从教务处网页上下载）打印，不得随便涂改或潦草书写，禁止打印在其它纸上后剪贴；3任务书内填写的内容，必须和学生毕业设计（论文）完成的情况相一致，若有变更，应当经过所在专业及院（系）主管领导审批后方可重新填写；4任务书内有关“学院（系）”、“专业”等名称的填写，应写中文全称，不能写数字代码。学生的“学号”要写全号；5任务书内“主要参考文献”的填写，应按照国标GB 77142005文后参考文献著录规则的要求书写，不能有随意性；6有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 74082005数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2009年3月15日”或“2009-03-15”。毕 业 设 计（论 文）任 务 书1本毕业设计（论文）课题应达到的目的： 通过本设计，了解镁铝合金箱体的基本的加工方法，对机加工工序卡熟悉工艺设计的全过程；把所学基础理论，专业知识运用到实践中去；着重培养设计、计算、分析问题和解决问题的能力，进而总结、归纳和获得合理结论，进行较为系统的工程训练，初步锻炼科研能力，提高论文撰写和技术表述能力，为实际工作奠定基础，达到人才培养的目的和要求。2本毕业设计（论文）课题任务的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）： 原始数据工件材质：YM5加工要求如图示(祥见图纸) 设计要求：（1）生产纲领：单班制年产2万台。（2）夹具设计须定位准确，夹紧可靠。 工作任务：（1）查阅资料15篇以上，翻译外文资料不少于3000汉字，撰写文献综述和开题报告。（2）完成机械加工工序卡设计。（3）绘制夹具装配图1份（0号图纸）；合计不少于4张（图纸须用计算机绘制）。（4）撰写设计计算说明书不少于1.5万字。 毕 业 设 计（论 文）任 务 书3对本毕业设计（论文）课题成果的要求包括毕业设计论文、图表、实物样品等： 毕业设计成果以图纸和说明书形式交卷。符合国家标准;说明书层次分明、论据可靠、技术正确、图标规范、语句通顺。 4主要参考文献：1 徐灏，邱怀宣，菜春源，汪恺，余俊.机械设计手册S.北京：机械工业出版社，1989.2 美国可切削性数据中心编.机械加工切削数据手册S.北京：机械工业出版社， 1989.9.3 张兴辉.实用机械加工测量技巧M.北京：化学工业出版社，2008. 4 姜永武.组合机床设计M.重庆：西南交大出版社,2004.5 宋鸿升.组合机床与自动化加工技术J.北京：北京组合机床与自动化加工技术杂志社，2002.6 金属机械加工工艺人员手册修订组.金属机械加工工艺人员手册S.上海：上海科学技术出版社，1979.7 刘文剑，莫天河，赵继媛.夹具工程师手册S.哈尔滨：黑龙江科学技术出版社 1987. 8 夏祖印，张能武.机械加工实用手册S.合肥：安徽科学技术出版社，2008. 毕 业 设 计（论 文）任 务 书5本毕业设计（论文）课题工作进度计划：起 迄 日 期工 作 内 容2010年 3月 17 日 3 月23日 3月 24 日 4月2日4月3日 4月10日4月11日 4月20日4月21日 5月15日5月16日 5月20日5月21日 6月4日6月5日 6月12日6月25日 6月27日熟悉课题，查阅资料，外文翻译，完成开题报告。围绕主题开展调研工作，了解箱体类零件加工特点，了解铝合金加工的一般方法。撰写文献综述原理方案设计，经过综合讨论确定合理方案，绘制总体方案简图，熟悉相关软件编制相关软件，计算相关结构参数，选择通用部件及标准件编制相关软件，对设计方案进行评价与修改，使之完善完成工序卡编制，绘制气动夹具。整理相关资料，撰写并打印设计说明书，正式提交设计成果（包括图纸及论文）准备及论文答辩所在专业审查意见：负责人： 年 月 日学院（系）意见：院（系）领导： 年 月 日南京理工大学泰州科技学院毕业设计(论文)前期工作材料学生姓名:周雷学 号：0601510172学院（系）:机械工程学院专 业:机械工程及自动化设计(论文)题目:制订YD-65油锯右箱工序卡及铣镗及铣镗结合面夹具设计指导教师:梁红军高级工程师 (姓 名) (专业技术职务)材 料 目 录序号名 称数量备 注1毕业设计(论文)选题、审题表12毕业设计(论文)任务书13毕业设计(论文)开题报告含文献综述14毕业设计(论文)外文资料翻译含原文15毕业设计（论文）中期检查表12010年6月南京理工大学泰州科技学院毕业设计(论文)前期工作材料学生姓名:周雷学 号：0601510172学院（系）:机械工程学院专 业:机械工程及自动化设计(论文)题目:制订YD-65油锯右箱工序卡及铣镗及铣镗结合面夹具设计指导教师:梁红军高级工程师 (姓 名) (专业技术职务)材 料 目 录序号名 称数量备 注1毕业设计(论文)选题、审题表12毕业设计(论文)任务书13毕业设计(论文)开题报告含文献综述14毕业设计(论文)外文资料翻译含原文15毕业设计（论文）中期检查表12010年6月 南京理工大学泰州科技学院毕业设计(论文)外文资料翻译学院 (系)： 机械工程院 专 业： 机械工程及自动化 姓 名： 周雷 学 号： 0601510172 外文出处： The Parametric and Nonparametric Splines 附 件： 1.外文资料翻译译文；2.外文原文。 指导教师评语：此翻译文章翻译用词比较准确，文笔也较为通顺，为在以后工作中接触英文资料打下了基础 签名： 年 月 日注：请将该封面与附件装订成册。附件1：外文资料翻译译文与的对比 利用三次样条函数的好处如下是： 1. 他们简化计算的必要条件和数字的不稳定性由高阶的曲线引起的。 2. 他们允许有转折点的最低阶的三维曲线。 3. 他们在空间中有能力扭曲。在这章中我们将提出两种类型的样条（参量性的和非参量性的样条），我们在这里负责解释基本的数学推导和举例论证他们的工具的任务。 4.7 抛物线的三次样条函数考虑在平面内由随着变化描绘所得的一组数据点。我们的结果是要在所有的这些点之间通过一参量性的三次样条函数。参量性的三次样条函数是表示为一或多个参量的函数的曲线。在任何两点之间参量性的三次样条函数等式是根据参数得到的，如下： (4.56) 和 根据边界条件和曲线的连续性和稳定性而决定的常数。注意在任何两点之间如何定义精确的距离。如果距离是标准的，因此它的涵义是从0到1。在时，样条与系数相等。从而， for (4.57)我们在这个时候目标是要求在每一时间间隔之间常数的值。参数的弦长定义为 当 (4.58)求其它常数的值的方法如下。考虑这三点，, 和 。让在 和 之间的弦长为和在 和 之间的弦长为。让为在 和 之间参量性的三次样条函数和为在 和 之间参量性的三次样条函数。因为在开始和在结束，的涵义是应该在从0开始和在以结束。实际上当它们是被定义点所需要的时，在等式（4.56）中定义常数有 和 成分。按照x轴向和y轴向分量两者所表示的参量性样条函数的一般关系式如下被表达： (4.59)式中 和 再次注意到当我们在如何求的值以及它的导数的时候，我们得到 (4.60) (4.61)因此 (已知: 控制顶点) ( 未知) (4.62)同样地，我们以在点 和 写入导数 (4.63) (4.64) (4.65)我们由等式（4.56）定义三次样条函数,当我们代替常数 和 同从等式（4.60）和（4.61）获得的 和 的时候，采取下列的形式： (4.66)在控制顶点 的连续性使我们得出 (4.67)从那我们求出 和 。因为已知的 和 和 是的函数，它是更多合乎需要的表示它们 (4.68)现在我们可以求出适合 和 的表达式当作和的函数。利用等式（4.67）和（4.68），我们得到 (4.69) (4.70)因此，那样条函数在 和 之间可以简单的表示为 (4.71)在计算机图形处理的环境中和通用算法的发展中，我们需要问下列问题： 1.我们怎样才能形成为所有的三次函数解决 和 的方法？ 2.我们怎样选择, 和 而得到数据集点？ 3.我们怎样确定在节点中样条函数之间的连续性？总之，等式（4.71）能对于任何两个相邻的立方部分进行归纳而得到解答，例如当时的 和 ，为数据点的数目。为一般的数据集改写等式（4.71），我们得 (4.72)回答前面的问题，我们首先指出那个确定在立方部分之间的连续性，我们必须计算和的第二阶导数与在他们的相应的相连点方面把他们等同起来。从等式（4.56），我们得到 (4.73) (4.74) (4.75)我们也能分辨那边界条件 (4.76)利用等式（4.73），（4.74），和（4.75）与等式（4.40），（4.41），和（4.42）一起我们得到 （4.77）在矩阵形式中，等式（4.77）是被明确地写成的，显示了那等式的重要特征。简而言之， (4.78)等式（4.78）得到含未知数的个等式是显而易见的。本质上，为了求出未知数，我们必须按照的两个附加等式。另一方面，如果端点 和 已知，通常就是这样在射束偏转中分析,然后方程组结果形成一致的联立方程式为我们求出所有的未知数。现在我们能检验边界条件使上述问题彻底地解决。边界条件自然样条函数。 亦称衰减条件，自然样条函数由根据时间函数从开始阶段和到0结束所设定第二阶导数来确定。因此， (4.79) (4.80)按照写出这些条件，我们得到两个等式 (4.81和 (4.82)增加等式（4.81）和（4.82）给等式（4.49）个方程，我们因此能求出所有的定位样条函数。 为这样条函数提出的边界条件是以致于在 和 的第一阶导数（斜率）被确定。它们必须在等式（4.78）里构成附加的其他两个等式。4.7.1 总结 在任何两点之间参量性的三次样条函数构造如下： 1. 求出最大弦长和计算。 2. 利用等式（4.78）和相应的边界条件求出。 3. 利用等式（4.62），（4.69），和（4.70）求出组成参量性三次样条函数的系数。范例4.5为以下数据集(1,1), (1.5,2), (2.5,1.75), 和(3.0,3.25)，求出参数的三次样条函数在基点的两个末端假设一种衰减形式。解答图表4.7 i xiyi ti+1 0 1 1 1.118 1 1.5 2.0 1.031 2 2.5 1.75 0.707 3 3.0 2.25 我们首先计算弦的跨度 计算所必须的精确等式从等式（4.74）获得 i=0) i=1) i=2) i=3) (4.83)利用等式（4.81）和（4.82）得到边界条件，与上述等式（4.54）或者简单地利用等式（4.78）一起，我们得 (4.84)式中 (4.85)= (4.86)为了给作解答，我们经过倍增等式（4.84），使其自动地得到常数，得出 式中 (4.87)现在我们使用等式（4.69）得到 for i=1,2,3 (4.88) (4.89)相似地,等式（4.68）给出常数 (4.90) (4.91)总之，我们已经得到联接所有的4个数据点的所有的三条样条和他们在他们的明确形式中被表达.。 (4.92)在图4.10中表示。图4.10 参数的三次曲线是等式（4.92）得出的。范例4.5结束4.8 非参量性的三次样条函数非参量性的三次样条函数被定义为是有唯一的单参数的函数的曲线。非参量性的三次样条函数允许在参数值和那三次样条函数的数值之间的直线变量的关系式来决定。这从它的数学表达式中可看出： (4.93)从等式（4.93），我们注意到那三次样条函数是独自的函数。如此，我们可以说在范围内的时间间隔中适合于已知的数据集点的判定，我们必须建立经过所有这些点的样条。让每一子区间由来表示；因此，我们的任务将求出这些间隔中的每个三次样条函数。再次，我们必须得到一个为常数, 和作解答的算法。三次样条函数是由三次部分样条组成。每个点有 和 数值；因此，那的函数是为所有的点定义。对那间隔，我们可以写 (4.94) (4.95)考虑那三次样条函数的平滑性和连续性，从下列的情况得到： (4.96) (4.97)那非参量性的三次样条函数适合于任何间隔 可以表示为 (4.98)它的第一和第二导数是 (4.99) (4.100)由等式（4.94）到（4.100）得到样条的利用标准，我们推断出下列的： (4.101) (4.102)和 (4.103) (4.104) (4.105)式中 因为所有的的值是已知的，我们可以利用等式（4.102）和（4.105）求出： (4.106) 本质上，上述等式适合于利用 和 求出的结果。类似这样的函数，如果我们使用 和 ，我们将得到另一个表达式，如下： (4.107)等式（4.106）和（4.107）定义同样的。一旦我们使他们相等，他们就会变成一个依据未知的等式 (4.108)当系数被确定时，我们再一次在一矩阵形式中写出上述等式 (4.109)等式（4.109）由等式同未知数组成；因此,它不能被求解。但是，样条的端点 和 通常被认为必须满足完全的边界条件。通过已知 和 ，等式（4.109）用于通过值求出其余的。上述等式可以用紧凑结构来表示，如下 for i=1, (4.110) 和 可以当作它们随精确地已知系数来分别地计算依次，样条的等式确定通过由等式（4.76）得出的随着由等式（4.106）得出的来计算。 (4.111) for i=0, (4.112)4.9 边界条件4.9.1自然样条函数在自然样条函数的边界条件中由在曲线的开始和末端的点设定第二导数为0时而被求出。因此， (4.113)当代入等式(4.66)时使我们得出 (4.114)4.9.2 定位样条函数定位的边界条件由在at 和 确定第一导数（斜率）来求出。简而言之， (4.115)和 (4.116)当是一个指定函数。下列范例说明这种方法计算非参量性的三次样条函数和使它的有用的部分最显著。注意在唯一的一个简单化的方法中我们已经采用样条的基本概念；它被留给读者去研究在这个最主要的曲线拟合法之后数学的推进。范例4.6为在下面的表格中显示出的点求出非参量性的三次样条函数（自然样条函数）。 i 0 1 1 0.5 1 1.5 2 1 n=2 2.5 1.75 解答：第1步：控制点,时间间隔和第2步：求出：自然样条(=0) 第3步：求出 和 for i = 0, for i = 1, for i = 0, 结果如下 i 0 1 0.5 1 2.375 0 -1.5 1 1.5 1.0 2 1.25 -2.25 0.75 2.5 1.75 0 图4.11 非参量性的三次样条函数。4.10 贝塞尔曲线贝塞尔曲线的形状是由那位置上的交点来定义的，并且那曲线不能与除边界点之外的所有的已知点相交。在确实的情况中，存在着不适当的交点或不适合地定位点，那三次样条函数的方法在不判定更多点时不能形成平滑曲线。贝塞尔曲线允许非限制曲线的弯曲度适当地贯穿所有的点。这样可设想曲线的形状适合由一系列的点所定义的多边形。贝塞尔曲线的数学基础（影响弯曲的形状的重量因素）与伯恩斯坦基础相关，通过下列 (4.117)式中 和定义为 (4.118)在有序集合中是多项式的阶和是特殊的极点（在0到之间）。那曲线的交点被定义为 (4.119)从 到 ，和等相当于不同的点的矢量分量。 为了建立贝塞尔曲线，我们必须求的值，它有参数的函数。它是假设在时存在最大值的函数和是由其给予的 (4.120)下列范例说明贝塞尔曲线的曲线拟合法。范例4.7判定贝塞尔曲线经过下列各点： 求出贝塞尔曲线经过这些点的间距。解答 我们注意到4个点构成贝塞尔曲线的多边形。因为我们有4个判定极点，则。利用等式(4.117)我们可求出函数的值，式中 (4.121)因此， (4.122)因为不同的的值，在图表4.8中可以求出贝塞尔曲线适合的系数。结果是的函数是求出方式 那答案被绘制在图4.12。 图4.12 贝塞尔曲线表示为图表4.8 图表4.8 贝塞尔曲线函数的赋值 按照参数 t 0 1 0 0 0 0.15 0.614 0.325 0.0574 0.0034 0.35 0.275 0.444 0.239 0.043 0.5 0.125 0.375 0.375 0.125 0.65 0.043 0.239 0.444 0.275 0.85 0.0034 0.0574 0.325 0.614 1 0 0 0 1范例4.7结束4.11 贝塞尔曲线等式的区别贝塞尔曲线利用一阶乘积的表达式和需要为了简单化的计算而需要限制紧凑结构的的特征函数。我们知道任何曲线的函数必须是在交点那个时候的区别，是定位最小值或最大值，斜率，和边界点的必要条件。让我们从那贝塞尔曲线正如等式(4.119) 所定义的开始，式中 (4.123)利用由等式(4.123) 部分地区别，我们获得 (4.124)让我们寻找一个由 和 两者都为了完成我们的区别的表达式。注解变为零是因为它在时表示出的特征值，和 (4.125)代替等式(4.125)变成等式(4.124)使我们得出贝塞尔曲线的区别 (4.126)上述等式注意到左边和右边的关系和标志在 和 通过 随着 在左边关系简单地转换使我们可以引导的数值。简而言之 (4.127)式中 和 然后等式(4.101)取下列的式子 (4.128)4.12 B样条曲线在贝塞尔曲线中B样条曲线被引入克服一些薄弱部分。看起来控制顶点的数目影响曲线的真实度。此外，在贝塞尔曲线中的混合函数的性质无法考虑到一个比较容易的方法修正当前曲线的形状。B样条曲线被定义为如下： (4.129)式中 (4.130)和 其余的全部 (4.131)此外， 被认为是节点值并需要求值是为可获得所有的的函数。知道是一常数；所以，根据等式(4.130)是比例为1的一个函数。类似这样式子我们可看见有比例为，当是更大的时就要求按1的比例。的数值明确表示B样条曲线的种类。这有两种节点的类型：a) 周期性的节点： (4.132)b) 非周期性的节点： (4.133)当明确表示周期性的节点的曲线无法经过第一个和最后一个点时，就由贝塞尔曲线来确定，反之非周期性的节点确定第一个和最后一个点经过曲线。这个是由于k函数的双重节点在第一和最后的节点如等式(4.133)描述。范例4.8用例3定义B样条曲线适合非周期性统一的节点。因为控制点的弯曲由,和 给予的。解答：当那相邻的节点之间的间隔总是1时，这个定义那统一的节点情况。从等式(4.133) 我们获得那节点值如下： 和 (注解 and )从等式(4.130)我们得到的函数。我们需要求出的函数相当于按要求排序点1, 2, 和 3。从 到 我们定义的混合函数。种类1. 让我们求解全部可能的函数。 ( 4.134) 从以上可知在 和 时我们需要选择非零的函数。因为我们选择是在范围(0,1)内有特征值为1的仅有的非零的函数。种类2. 我们获得种类2的函数如下： (4.135) 附件2：外文原文（复印件）FIGURE4.9 Graph for versus . The benefits of using cubic splines are as follows: 1. They reduce computational requirements and numerical instabilities that arise from higher-order curves. 2. They have the lowest-degree space curve that allows inflection points. 3. They have the ability to twist in space.In this chapter we will introduce two types of splines (the parametric and the nonparametric splines), where we undertake the task of explaining the basic mathematical derivation and provide examples to demonstrate their implementation.4.7 Parabolic Cubic Splines Consider a set of data points described in the -plane by with . Our objective is to pass a parametric cubic spline between all these points. A parametric cubic spline is a curve that is represented as a function of one or more parameters.The parametric cubic spline equation between any two points is given in terms of a parameter as follows: (4.56) and are constants that are determined from the boundary conditions and the continuity and smoothness of the curve. Observe how defines a precise length between any two points. So its value goes from 0 to 1 if the length is normalized. At , the spline is equal to the coefficient . Hence, for (4.57)Our objective at this point is to evaluate the constants between each interval.Parameter cord length is defined by for (4.58)The procedure for evaluating the other constants is as follows.Consider three points, , and . Let the chord length between and be and the one between and be . Let be the parametric cubic spline between and and the one between and . Because starts at and ends at , the value of should start from 0 at and end with at . In reality the constants defined in Equation (4.56) have and components as they are needed to define points. A general form of the parametric spline expressed in terms of both and components can be expressed as follows: (4.59)where and Again observe how when we evaluate at as well as its derivative we obtain (4.60) (4.61)Therefore (Knowns: control points) ( Unknowns) (4.62)Similarly, we write the derivatives at points and as (4.63) (4.64) (4.65)Our cubic spline defined by equation (4.56), when we substitute the constants and with and obtained from Equations (4.60) and (4.61), takes the following form: (4.66)Continuity at the control points yields (4.67)from which we solve for and . Because is known and and are functions of it is more desirable to express them as (4.68)Now we can find the expression for and as functions of and . Using Equations (4.67) and (4.68), we get (4.69) (4.70)Therefore, the spline function between and could simple be expressed as (4.71) In the context of computer graphics and general-purpose algorithm development, we need to ask the following questions: 1. How can we generate a solution for and for all cubic functions ? 2. How do we select , and for a given set of data points? 3. How do we ensure continuity between the splines at knots ? In any case, the solution given by Equation (4.71) can be generalized for any two adjacent cubic segments such as and for , where is the number of data points. Rewriting Equation (4.71) for a general data set we get (4.72)To answer the foregoing questions, we first note that to ensure continuity between the cubic segments, we need to compute the second derivative of and and equate them at their corresponding connecting points. From Equation (4.56), we obtain (4.73) (4.74) (4.75)We also know from the boundary conditions that (4.76)Using Equations (4.73), (4.74), and (4.75) together with Equations (4.40), (4.41), and (4.42) we obtain （4.77）In matrix form, Equation (4.77) can be written explicitly to show the important feature of the equation. That is, (4.78)It is obvious that Equation (4.78) yields equations with unknowns. Essentially we need two additional equations in terms of in order to solve for the unknowns. On the other hand, if end points and are know, as is the case in beam-deflection analysis, then the system of equations results in a consistent set of equations for which we can solve for all the unknowns. Now we can examine the boundary conditions to complete the solution to the above problem.Boundary Conditions Natural Spline. Also known as relaxed conditions, natural splines are determined by setting the second derivatives of with respect to time at the beginning and end to 0. Thus, (4.79) (4.80)Writing these conditions in term of , we obtain two equations (4.81)and (4.82)Adding Equations (4.81) and (4.82) to the equations given by Equation (4.49), we can then solve for all the . Clamped Spline. The boundary conditions for this spline are such that the first derivatives (slope) at and are specified. Hence, they form the additional two other equations needed in Equation (4.78).4.7.1 SummaryThe parametric cubic spline between any two points is constructed as follows: 1. Find the maximum cord length and determine . 2. Use Equation (4.78) together with the corresponding boundary conditions to solve for the . 3. Solve for the coefficients that make up the parametric cubic splines using Equations (4.62), (4.69), and (4.70).Example 4.5For following data set (1,1), (1.5,2), (2.5,1.75), and (3.0,3.25), find the parametric cubic spline assuming a relaxed condition at both ends of the data.Solution:TABLE4.7 i xiyi ti+1 0 1 1 1.118 1 1.5 2.0 1.031 2 2.5 1.75 0.707 3 3.0 2.25 we first compute the cord length The explicit equations needed to evaluate the are obtained from Equation (4.74) i=0) i=1) i=2) i=3) (4.83)Using the boundary conditions given by Equations (4.81) and (4.82), together with either the above Equation (4.54) or simply making use of Equation (4.78), we get (4.84)where (4.85)= (4.86)To solve for we multiply Equation (4.84) by which automatically yields the constants given by where s (4.87)We now use Equation (4.69) to find for i=1,2,3 (4.88) (4.89)In a similar fashion, Equation (4.68) gives the coefficients (4.90) (4.91)In conclusion, we have derived all three splines joining all four data points and they are expressed in their explicit forms. (4.92)The display of this is given in Figure 4.10. FIGURE 4.10 Parametric cubic curve given by Equation (4.92)End of Example 4.54.8 Nonparametric Cubic SplineA nonparametric cubic spline is defined as a curve having a function of only one parameter. Nonparametric cubic splines allow a direct variable relationship between the parameter value and the value of the cubic spline function to be determined. This is seen from its mathematical representation: (4.93) From Equation (4.93), we see that the cubic spline is a function of alone. Thus, we could say that for a given set of data points defined in the interval in the domain , we need to construct the spline that passes through all these points. Let each subinterval be denoted by ; hence, our task is to find the cubic spline function for each of these intervals.Once more, we must find an algorithm to solve for the constants , and . Cubic spline is composed of cubic segment splines. Each point has an and value; hence, the function is defined for all points. For the interval , we can write (4.94) (4.95) By considering the smoothness and continuity of the cubic splines, the following conditions are derived: (4.96) (4.97)The nonparametric cubic spline function for any interval could be expressed as (4.98)Its first and second derivatives are (4.99) (4.100)Making use of the criteria of the spline given by Equations (4.94) to (4.100), we deduce the following: (4.101) (4.102)and (4.103) (4.104) (4.105)where Because all the values are known, we can solve for using Equations (4.102) and (4.105): (4.106)In essence, the foregoing equation for was the result of using and . In a similar fashion, if we use and , we will get another expression as follows: (4.107)Equations (4.106) and (4.107) define the same . Once we equate them they result into an equation in terms of the unknown (4.108)Once again we write the above equation in a matrix form, where the coefficients are to be determined (4.10)Equation (4.109) consists of equations with unknowns; therefore, it cannot be solved. However, end points and of the spline are usually known through the boundary conditions that must be supplied. By knowing and , Equation (4.109) is then used to solve for the remaining through values. The above equation can be expressed in a compact form as for i=1, (4.110) and can be computed separately as they depend strictly on known coefficients.In turn, the equation of the splines can be determined by computing the from Equation (4.76) followed by the from Equation (4.106). (4.111) for i=0, (4.112)4.9 Boundary Conditions4.9.1 Natural SplinesThe boundary conditions in natural splines are found by setting the second derivatives at both the beginning and end points of the curve to 0. Therefore, (4.113)which when substituted into Equation (4.66) yields (4.114)4.9.2 Clamped SplinesThe clamped end conditions are determined by specifying the first derivatives (slope) at and . That is, (4.115)and (4.116)where is a specified function. The following example illustrates the method used to evaluate the nonparametric cubic splines and highlights its usefulness. Note that we have introduced the concepts of splines in only a simplistic way; it is left for the reader to explore further the mathematics behind this most important curve-fitting method.Example 4.6Find the nonparametric cubic spline (natural spline) for the points shown in the table below. i 0 1 1 0.5 1 1.5 2 1 n=2 2.5 1.75 Solution:Step 1: Control points, intervals, and Step 2: Solve for : natural spline (=0) Step 3: Solve for and for i = 0, for i = 1, for i = 0, The results are compiled in the following table and shown in Figure 4.11. i 0 1 0.5 1 2.375 0 -1.5 1 1.5 1.0 2 1.25 -2.25 0.75 2.5 1.75 0 FIGURE 4.11 Nonparametric cubic spline function.4.10 Bezier CurvesThe shapes of Bezier curves are defined by the position of the points, and the curves may not intersect all the given points except for the endpoints. In certain circumstances, where there are insufficient points or awkwardly located points, the cubic spline method may not provide a smooth curve without defining more points. Bezier curves allow the flexibility of not constraining the curve to fit through all the points. One can imagine the shape of the curve to fit in a polygon defined by a series of points. The mathematical bases (the weighing factor that affects the shape of the curve) of the Bezier curve is related to the Bernstein basis given by (4.117)where and is defined as (4.118)where is the degree of the polynomial and is the particular vertex in the ordered set (between 0 and ). The curve points are defined by (4.119)where to , and the contain the vector components of the various points. In order to construct the Bezier curve, we need to evaluate the , which are functions of parameter . It is seen that the maximum value of the function occurs at and is given by (4.120)The following example illustrates the Bezier curve method of curve fitting.Example 4.7Define the Bezier curve that passes through the following points: Find the Bezier curve space that passes through these points.Solution We note that the four points form the Bezier polygon. Because we have four defined vertices, then . Using Equation (4.117) we evaluate the function, where (4.121)Therefore, (4.122)For various values of , the coefficients for the Bezier curve are found in Table 4.8. The resulting function is then found as The results are plotted in Figure 4.12.FIGURE 4.12 Bezier curve representation for Table 4.8 TABLE 4.8 Evaluation of the Bezier function in terms of the parameter t 0 1 0 0 0 0.15 0.614 0.325 0.0574 0.0034 0.35 0.275 0.444 0.239 0.043 0.5 0.125 0.375 0.375 0.125 0.65 0.043 0.239 0.444 0.275 0.85 0.0034 0.0574 0.325 0.614 1 0 0 0 1End of Example 4.74.11 Differentiation of Bezier Curve EquationThe Bezier curve makes use of an expression that uses a factorial and a function that needs to be kept in a compact form in order to simplify the calculation. We know that any curve function needs to be differentiated when intersection points, minimum or maximum, slopes, and endpoint conditions are sought. Let us begin