DSP第6章数字滤波器基本结构.ppt

一、什么是数字滤波器,顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用；即DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。 它的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。,第一节 离散时间系统结构的表示方法,第六章 数字滤波器结构DF （Digital Filter),一、IIR DF特点,1.单位冲激响应h(n)是无限长的n 2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0|Z|)有极点存在。 3.结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上是递归型的。 4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位圆内。,第二节 IIR DF的基本结构,二、IIR DF系统函数及差分方程,若一系统差分方程为：,则系统函数可表示为：,以下我们讨论M=N情况。,三、IIR DF基本结构 IIR DF类型有：直接型、级联型、并联型。 直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）。,1、直接型 1）直接I型 IIR DF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。）,( a)直接I型流图,方程看出：y(n)由两部分组成： 第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。 第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。,(b)结构的特点,此结构的特点为： (1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。简单直观。 (2)共需(N+M)级延时单元。 (3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。 (4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。,2)、直接II型（正准型/典范型） （a)直接II型原理,从上面直接型结构的两部分看成两个独立的网络（即两个子系统）。 原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即： （1）交换两个级联网络的次序 （2）合并两个具有相同输入的延时支路。 得到另一种结构即直接II型。,第一部分,第二部分,对调,(b)直接II型的结构流图过程1-对调,x(n),b0,b1,b2,Z-1,Z-1,y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,第一部分,第二部分,对调,x(n),y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,Z-1,对调,(c)直接II型的结构流图过程2-合并,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,合并,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,bM,y(n),y(n),由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。,这就是直接II型的结构流图。,(d)直接II型特点,直接II型结构特点： (1)两个网络级联。 第一个有反馈的N节延时网络实现极点； 第二个横向结构M节延时网络实现零点。 (2)实现N阶滤波器（一般N=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。 (3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,bM,y(n),例子,已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。,解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；,x(n),8,-4,11,Z-1,Z-1,y(n),5/4,-3/4,Z-1,Z-1,Z-1,1/8,Z-1,-2,5/4,Z-1,Z-1,Z-1,-3/4,1/8,-4,11,-2,8,y(n),x(n),注意反馈部分系数符号,作业,195,直接 I型,直接 II型,2、级联型结构 (1)系统函数因式分解,一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、分母进行因式分解：,(2)系统函数系数分析,(3)基本二阶节的级联结构,(4)滤波器的基本二阶节,所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：,一般用直接II型（正准型、典范型表示）,x(n),1k,a2k,Z-1,Z-1,a1k,2k,y(n),(5)用二阶节级联表示的滤波器系统,整个滤波器则是多个二阶节级联,x(n),11,a21,Z-1,Z-1,a11,21,12,a22,Z-1,Z-1,a12,22,1M,a2M,Z-1,Z-1,a1M,2M,y(n),.,从级联结构中看出： a)它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。,b)调整1i,2i,只单独调整滤波器第i对零点，而不影响其它零点。,调整a1i,a2i,只单独调整滤波器第i对极点，而不影响其它极点。,级联结构特点： (a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。 (b)同一个系统函数H(Z)，分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同，就得到不同的二阶节。实际工作时，由于二进制数的字长有一定限度，因此不同的排列，运算误差就会各不相同。如何才能得到最好的排列，以便运算误差最小，这是最优化问题。 (c)级联的各基本节间要有电平的放大或缩小，以使级间输出变量不要太大或太小。级间输出变量大大，易使数字滤波器在运算过程中产生溢出。级间输出变量大小，则输出端的信号噪声比会太小。,x(n),11,a21,Z-1,Z-1,a11,21,12,a22,Z-1,Z-1,a12,22,1M,a2M,Z-1,Z-1,a1M,2M,y(n),.,例子:设IIR数字滤波器系统函数为：,1,Z-1,1,1,1,Z-1,Z-1,1,1,y(n),x(n),3、并联型 (1)系统函数的部分分式展开,将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。,“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。,(2)并联型基本二阶节结构,并联型的基本二阶节的形式：,其中：要求分子比分母小一阶,x(n),0k,2k,Z-1,Z-1,1k,1k,y(n),注意！,(1)为什么二阶节是最基本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。 (2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。 (3)级联结构与并联结构的基本二阶节是不同的。,(3)基本二阶节的并联结构,AN1,Z-1,a1,x(n),aN1,11,Z-1,Z-1,A1, 11,y(n),A0,. . .,01,21,1N2,2N2, 0N2, 1N2,其实现结构为：,. . .,特点： (1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。 (2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).,（5）例子,其并联结构为：,x(n),Z-1,Z-1,1,4,y(n),1,6,1,-6,1,Z-1,作业,本节总结,IIR DR的三种结构及其优缺点 一、直接型 二、级联型 三、并联型,一、直接I结构的特点,此结构的特点为： (1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。简单直观。 (2)共需(N+M)级延时单元。 (3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。 (4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。,级联结构特点： (a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。 (b)同一个系统函数H(Z)，分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同，就得到不同的二阶节。实际工作时，由于二进制数的字长有一定限度，因此不同的排列，运算误差就会各不相同。如何才能得到最好的排列，以便运算误差最小，这是最优化问题。 (c)级联的各基本节间要有电平的放大或缩小，以使级间输出变量不要太大或太小。级间输出变量大大，易使数字滤波器在运算过程中产生溢出。级间输出变量大小，则输出端的信号噪声比会太小。,x(n),11,a21,Z-1,Z-1,a11,21,12,a22,Z-1,Z-1,a12,22,1M,a2M,Z-1,Z-1,a1M,2M,y(n),.,二、级联型,三、并联结构,AN1,Z-1,a1,x(n),aN1,11,Z-1,Z-1,A1, 11,y(n),A0,. . .,01,21,1N2,2N2, 0N2, 1N2,其实现结构为：,. . .,特点： (1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。 (2)其误差最小。因为并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。若某一支路a1误差为1，但总系统的误差仍可达到少1。(因为分成a1,a2.支路).,一、FIR DF的特点,(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。 (2)系统函数|H(z)|在|z|0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统) (3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。,第三节 FIR DF的结构 （有限长冲激响应滤波器）,二、FIR的系统函数及差分方程,长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：,三、FIR滤波器实现基本结构,1.FIR的横截型结构（直接型） 2. FIR的级联型结构 3.FIR的频率抽样型结构,1、FIR直接型结构（卷积型、横截型） (1)流图,h(0),h(1),h(2),h(N-2),h(N-1),Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),倒下,x(n),h(0),h(1),h(N-2),h(N-1),Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,y(n),2、级联型结构 （1）流图,当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形式：,即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。,x(n),11,Z-1,Z-1,21,12,Z-1,Z-1,22,1N/2,Z-1,Z-1,2N/2,y(n),.,01,02,0N/21,1）由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。 2）由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。,作业,3、频率抽样型结构 (1)频率抽样型结构的导入,若FIR DF 的冲激响应为有限长（N点）序列h(n),则有：,h(n),H(z),H(k),H(ejw),DFT,取主值序列,N等分抽样,单位圆上频响,Z变换,内插,所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：,来表示系统函数。,（2）频率抽样型滤波器结构,得到FIR滤波器提供另一种结构：频率抽样型结构。它是由两部分级联而成。,其中：级联中的第一部分为梳状滤波器： 第二部分由N个谐振器组成的谐振柜：,(3)梳状滤波器 (a)零、极点特性,它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位圆上有N个等分的零点、无极点。,(b)幅频特性及流图,频率响应为：,w,|H(ejw)|,0,.,.,幅频曲线：,1,x(n),y(n),-Z-N,梳状滤波器信号流图：,（4）谐振器,谐振器：是一个阶网络。,Z-1,H(k),Hk(z),谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：,(5)谐振柜,谐振柜：它是由N个谐振器并联而成的。,这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵消，从而使这个频率（w=2k/N)上的频率响应等于H(k).,将两部分级联起来，得到频率抽样结构。,（6）频率抽样型结构流图,Z-1,H(0),Z-1,H(1),Z-1,H(2),Z-1,H(N-1),-Z-N,x(n),y(n),. . .,优点：(1)它的系数H(k)直接就是滤波器在 处的频率响应。因此，控制滤波器的频率响应是很直接的。,结构有两个主要缺点： (a)所有的相乘系数及H(k)都是复数，应将它们先化成二阶的实数，这样乘起来较复杂，增加乘法次数，存储量。 (b)所有谐振器的极点都是在单位园上,由 决定。考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。（零点由延时单元决定，不受量化的影响）系统就不稳定了。,优点：2）只要h(n)相同长度，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N各一节网络部分结构完全相同，只有各支路增益H（k)不同,（7）修正的频率抽样结构 （a）产生的原因,为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位园内某一靠近单位圆、半径为r(r1)的园上，同时梳状滤波器的零点也移到r圆上。（即将频率采样由单位圆移到修正半径r的圆上）,(b)修正的频率抽样结构的系统函数,为了使系数是实数，可将共 轭根合并，这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴成对称分布。,(c)修正的频率抽样结构的系统 极点分布,0,|z|=r,N=8,(d)修正频率结构的复根部分： 第k和第N-k个谐振器合并为一个实系数的二阶网络,因为h(n)是实数，它的DFT也是圆周共轭对称的。,因此，可以将第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络。,(e)有限Q的谐振器,第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络的极点在单位圆内，而不是在单位圆上，因而从频率响应的几何解释可知，它相当于一个有限Q的谐振器。其谐振频率为：,(f)修正频率抽样结构的谐振器的实根部分,除了共轭复根外，还有实根。 当N=偶数时，有一对实根，它们分别为 两点。,当N=奇数时，只有一个实根z=r(k=0），即只有H0(z).,r,-r,(g)修正频率抽样结构流图（N=偶数）,r,-r,x(n),y(n),. . .,(h)修正频率抽样结构流图（N=奇数）,r,x(n),y(n),. . .,(i)修正频率抽样结构的特点,（1）结构有递归型部分谐振柜又有非递归部分-梳状滤波器。 （2）它的零、极点数目只取决于单位抽样响应的长度，因而单位冲激响应长度相同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数0k,1k,H(0),H(N/2)不同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器 （3）其结构可以高度模块化，适用于时分复用。,(j) 频率抽样结构的应用范围,(1)如果多数频率特性的采样值H(k)为零，例：窄带低通情况下，这时谐振器中剩下少数几个所需要的谐振器，因而可以比直接型少用乘法器，但存储器还是比直接型多用一些。 （2）可以共同使用多个并列的滤波器。例：信号频谱分析中，要求同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时可采用频率采样结构的滤波器，大家共用一个梳状滤波器及谐振柜，只是将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各所需的滤波器。这样结构具有很大的经济性。 （3）常用于窄带滤波，不适于宽带滤波。,4.快速卷积结构 （1）原理,设FIR DF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。 则输出y(n)=x(n)*h(n),且长度L=N+M-1 若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将h(n)补零加长至L，补L-M个零点。 这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线卷积。 其中： 而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。,（2）快速 卷积结构框图,L点DFT,L点DFT,L点IDFT,X(k),H(k),Y(k),x(n),h(n),当N，M中够大时，比直接计算线性卷积快多了。,5、线性相位FIR型结构 （1）定义,所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。,（2）线性相位FIR DF具有特性,h(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件： h(n)=h(N-1-n) 其中:h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n); h(n)为奇对称时，h(n)=-h(N-1-n); 下面我们针对h(n)奇、偶进行讨论。,（3）h(n)为偶、奇对称，N=偶数时 (a)FIR的线性相位的特性,令n=N-1-n 代入,用n=n,应用线性FIR特性： h(n)=h(N-1-n),(b) 线性相位FIR的结构流图,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),x(n-N/2+1),h(0),h(1),h(2),h(3),h(N/2-1),.,h(N-1),其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),.,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,（4）h(n)为奇、偶对称，N=奇数时 (a)FIR的线性相位的特性,当N=奇数时，有一中间项h(N-1)/2)无法合并，需提出：,(b) 线性相位FIR的结构流图,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),h(0),h(1),h(2),h(3),.,h(N-1),其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2,共有（N-3）/2项,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,（5）总结：h(n)为偶对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性,同理，当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可求出:,N=奇数时，,（6）h(n)为奇对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性,同理，当h(n)=奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:,N=奇数时，,总结本章主要的内容,1. IIR 滤波器实现的基本结构 2. FIR滤波器实现的基本结构 3. 一种特殊的滤波器结构实现形式：格型滤波器结构.,1.IIR DF基本结构,IIR DF类型有： 直接型直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型） 级联型 并联型,直接I型 直接I型流图,IIR DF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。）,x(n),b0,b1,b2,Z-1,Z-1,y(n),a1,a2,Z-1,Z-1,bM,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,方程看出：y(n)由两部分组成： 第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。 第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。,直接II型的结构流图,x(n),a1,a2,Z-1,Z-1,a N-1,aN,Z-1,Z-1,b0,b1,b2,bM,y(n),由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。,这就是直接II型的结构流图。,级联型,级联型的基本二阶节,所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为：,一般用直接II型（正准型、典范型表示）,x(n),1i,a2i,Z-1,Z-1,a1i,2i,y(n),级联型二阶节表示的滤波器系统,整个滤波器则是多个二阶节级联,x(n),11,a21,Z-1,Z-1,a11,21,12,a22,Z-1,Z-1,a12,22,1M,a2M,Z-1,Z-1,a1M,2M,y(n),.,并联型,将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。,“相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。,并联型基本二阶节结构,并联型的基本二阶节的形式：,其中：要求分子比分母小一阶,x(n),0,a2,Z-1,Z-1,a1,1,y(n),二、FIR滤波器,长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：,FIR滤波器实现基本结构,（1）FIR的横截型结构（直接型） （2） FIR的级联型结构 （3）FIR的线性型 结构 （4）FIR的频率抽样型结构 （5）FIR的轨迹卷积型结构,1.FIR直接型结构 （卷积型、横截型）,h(0),h(1),h(2),h(N-1),h(N),Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,x(n),y(n),倒下,h(0),h(1),h(N-1),h(N),Z-1,Z-1,Z-1,Z-1,y(n),x(n),2.级联型结构,当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：,即可以由多个二阶