向量及其线性运算8-1.ppt

第八章 第一节,1,数量关系 ,第八章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,第八章 第一节,2,第一节 向量及其线性运算,教学内容 1 向量的概念与向量的线性运算; 2 空间直角坐标系; 3 利用坐标作向量的线性运算; 4 向量的模，方向角，投影; 本节考研要求 1 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示; 2 掌握向量的线性运算，理解单位向量，方向角与 方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进 行向量运算方法.,第八章 第一节,3,向量（矢量）：,既有大小又有方向的量.,模长为1的向量。,零向量：,模长为0的向量,向量的模：,向量的大小,单位向量：,一、向量的概念,或,或,向量的记法：,（方向任意）。,向量的表示：,第八章 第一节,4,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面 .,第八章 第一节,5,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,第八章 第一节,6,第八章 第一节,7,2. 向量的减法,三角不等式,第八章 第一节,8,*例1 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。,证,A,B,C,D,E,F,第八章 第一节,9,3. 向量与数的乘法, 是一个数 ,规定 :,可见,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,第八章 第一节,10,定理1.,设 a 为非零向量 , 则,( 为唯一实数), 取 ,且,再证数 的唯一性 .,则,取正号, 反向时取负号,第八章 第一节,11,则,例1. 设 M 为,解:,第八章 第一节,12,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,第八章 第一节,13,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,第八章 第一节,14,坐标轴 :,坐标面 :,第八章 第一节,15,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,第八章 第一节,16,向径OM,有序数组,称为(x, y, z)向径OM的坐标,点M,点M的坐标。,x,y,z,向量AB的坐标,=向径OM的坐标,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),M(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),=AB的终点坐标(x2,y2,z2),-起点坐标(x1,y1,z1),=(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),第八章 第一节,17, 按基本单位向量的分解式.,第八章 第一节,18,四、利用坐标作向量线性运算,第八章 第一节,19,即： 平行向量对应坐标成比例:,第八章 第一节,20,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,2 3 , 得,代入得,第八章 第一节,21,例3. 已知两点,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,第八章 第一节,22,说明: 由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,第八章 第一节,23,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,第八章 第一节,24,例4. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,第八章 第一节,25,例5. 在 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,离的点 .,第八章 第一节,26,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,例6. 已知两点,和,解:,求,第八章 第一节,27,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,第八章 第一节,28,方向余弦的性质:,第八章 第一节,29,例7. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,第八章 第一节,30,例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,第八章 第一节,31,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向。,或,解,第八章 第一节,32,(1)空间一点在轴上的投影,3、向量在轴上的投影与投影定理,第八章 第一节,33,(2) 空间向量(向径)在轴上的投影,第八章 第一节,34,注 空间向量在轴上的投影,第八章 第一节,35,关于向量的投影定理(1),证,第八章 第一节,36,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4) 相等向量在同一轴上投影相等；,第八章 第一节,37,关于向量的投影定理(2),（可推广到有限多个）,投影的性质,第八章 第一节,38,例. 设立方体的一条对角线