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文档简介

序言,微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为基,本研究手段的数学学科. 应用极限方法研究各类变化率,问题和几何学中曲线的切线问题, 就产生了微分学; 应,用极限方法研究诸如曲边图形的面积等这类涉及到微小,量无穷积累的问题, 就产生了积分学; 可以说, 整个微,积分学是建立在极限理论的基础之上的. 由此可以理解,为什么每本微积分教程都以极限理论作为其开始部分的,在本章中, 我们将介绍极限的概念、性质和运算法则.,在本章的最后部分将引入一类最重要的函数,内容.,介绍与极限概念密切相关、且在微积分运算中扮演重要,角色的无穷小量; 我们还将求得两个应用非常广泛的重,要极限.,连续函数.,第一节 微积分中的极限方法,典型问题一 面积问题,解决方法,如图, 求由曲线 与 轴围成区域的面积.,1.将区间 等分, 分点依,次为,2.以这些分点为基础, 构作 个矩形, 并以矩形面积,之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到,3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增,注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的.,加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接,近. 由此得到曲边三角形面积S.,典型问题二 瞬时速度问题,这个函数称为质点的位置函数. 我们需要确定该动点,1.匀速运动: 在匀速直线运动中, 我们知道路程与速,设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时,刻 所通过的路程, 则 是 的一个函数, 即,在各个时刻的“速度”（称为瞬时速度）.,度、时间的关系为,这里的速度 是一个常量.,2.非匀速运动: 在非匀速直线运动中, 上面的比值将,不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段 , 动点,从 移到 , 相应的比值,表示在这个时间段里的平均速度. 可以想到: 如果时间,处 的瞬时速度为,间隔 很小, 动点的速度变化不大, 它可以近似地,表示动点在这一时间内的“速度”. 由此得到动点在时刻
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