逻辑学导论第四章.ppt

一、个体词、性质谓词、量词和公式 二、关系谓词、重叠量化和二元关系的性质 三、模型和赋值 普遍有效式 四、普遍有效式的判定问题 五、谓词逻辑自然推理系统QN,1,第四章 谓词逻辑,命题逻辑和词项逻辑的局限性 （1）它们都不能处理关系命题及其推理。 （2）它们都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。 所以，我们还需要另外的逻辑谓词逻辑，它把一个命题拆分为个体词、谓词、量词，很多时候还要加上联结词；它能够在一个统一的框架内同时处理性质命题和关系命题及其推理。,个体词 个体词就是表示对象域中的个体的符号，包括个体变项和个体常项。其中，个体变项使用小写字母x，y，z，等等，表示某个特定的范围内的某个不确定的对象。个体常项使用小写字母a，b，c，等等，表示某个特定范围内的某个确定的对象。 这里所说的“某个特定的范围”，叫做“论域”，即由一定对象所组成的类或者集合。论域规定了个体变项的取值范围，因此也叫做“个体域”。论域一般是“全域”，即由世界上所有能够被思考、被谈论的事物组成的集合；有时也取特定个体域为论域。,3,一、个体词、性质谓词、量词和公式,一元谓词和性质 谓词符号，用大写字母F，G，R，S等表示，若只把这些谓词符号用于单个的个体词，叫做“一元谓词符号”，经解释后，它们表示论域中个体的某个具体性质。,4,原子公式 如果一个谓词符号后面跟着写在一对括号内的一个个体词（个体常项或个体变项），我们就得到“原子公式”，例如F(a)，G(x)，它们分别表示“a是F”，“x是G”。在派生的意义上，原子公式有两个可能的真值：真或者假。,5,量词和量化公式 量词包括全称量词和存在量词： xF(x)，读做“对于所有x而言，x是F”。 xF(x)，读做“存在x使得x是F”。,6,原子公式和量化公式还可以用命题联结词连接起来，形成更复杂的公式： x(F(x)G(x) xF(x)y H(y),7,量词有其管辖的范围，简称“辖域”。如果一个量词后面有括号，则处于括号内的公式构成该量词的辖域；如果量词后面无括号，则量词后面最短的公式，构成该量词的辖域。 一个变项的某一次出现，如果处于量词x或x的辖域之内的，或作为与该量词一起出现的变项（指导变项），则称该变项的这一次出现是“约束出现”，否则叫做“自由出现”。,8,一个变项，如果在一个公式中有约束出现，则称它是“约束变项”；如果在一个公式中有自由出现，则称它是“自由变项”。因此，一个体变项在一个公式中可以既是约束变项又是自由变项。 一个含有至少一个自由变项的公式，叫做“开公式”。开公式的意义不确定，没有确定的真假。一个不含任何自由变项的公式，叫做“闭公式”。在给定论域及其解释后，闭公式有确定的意义，也有确定的真假。,9,自然语言中性质命题的符号化 在论域为全域时，六种直言命题可以如下方式符号化： （1）全称的直言命题应符号化为一个全称蕴涵式。 SAP：x(S(x)P(x) SEP：x(S(x)P(x) （2）特称的直言命题应符号化为存在合取式。 SIP：x(S(x)P(x) SOP：x(S(x)P(x) （3）单称的直言命题应符号化为原子公式。 “春江花月夜是一支中国古代名曲”可以符号化为：F(a) “周作人不是一位具有民族气节的人”可以符号化为：F(b),10,关系命题 包括三个要素：个体词、关系谓词和量词。从形式上看，关系谓词与性质谓词没有实质性区别，只不过后者涉及一个个体，而前者涉及两个以上的个体。发生在两个对象之间的关系叫做“二元关系”，发生在三个对象之间的关系叫做“三元关系”，依此类推，发生在n个对象之间的关系叫做“n元关系”。,11,二、关系谓词、重叠量化和二元关系的性质,一阶语言 （）初始符号 （i）个体变项：x，y，z， （ii）个体常项：a，b，c， （iii）谓词符号：F，G，R，S， （iv）量词：全称量词，存在量词 （v）联结词：， （vi）辅足性符号：逗号，左括号（，右括号）。,12,（）形成规则 （i）一个谓词符号F，后面跟有写在一对括号内、并用逗点适当分开的n个个体词（n1），是原子公式。 （ii）如果A是公式，则A是公式。 （iii）如果A和B都是公式，则AB，AB，AB，AB是公式。 （iv）如果A是公式，则xA，xA是公式。 （v）只有按以上方式形成的符号串是公式。,13,重叠的量词和重叠的量化式 “重叠量词”指在一个量词的辖域内还有另外的量词。包含重叠量词的公式就叫做“重叠量化式”。 一阶语言中允许重复约束和空约束。,14,自然语言中关系命题的符号化 例如，下面的关系命题： （1）牛郎不爱有些爱织女的男人。 （2）织女爱每一个爱牛郎的人。 （3）有的投票人赞成所有的候选人。 分别可以符号化为： （1）x(M(x)L(x, a)L(b, x) （2）x(P(x)L(x, b)L(a, x) （3）x(T(x)y(H(y)Z(x, y),15,一阶语言的一个模型U（亦称“解释”）包括下列因素： （）一个个体域D，即由具有一定性质的个体所构成的集合。当给定个体域之后，全称量词x表示个体域中的所有个体，存在量词x表示个体域中的某些个体。全称量词、存在量词和约束个体变项的意义都确定了。 （）个体常项在个体域D中的值，即个体常项表示该个体域中的某个特定个体。 （）谓词符号在个体域D上的解释，即表示该个体域中个体的性质和个体间的关系。,16,三、模型和赋值 普遍有效式,当给定模型U后，谓词逻辑的闭公式的意义就确定了，其真假也确定了。 但谓词逻辑的开公式的意义尚不确定，为了确定该公式的真值，需要对其中的自由变项的值做指派（记为）。 在模型U和指派之下，谓词逻辑的所有公式都有了确定的意义，也有了确定的真假。谓词逻辑的语言因此得到了确定的解释。 一个模型U和模型U上的一个指派合称为一个赋值，记为U，。,17,如果一个谓词逻辑的公式对于任一赋值都为真，则称该公式为普遍有效式，亦称常真式。普遍有效式是谓词逻辑的规律。 如果一个谓词逻辑的公式对于任一赋值都为假，则称该公式是一个不可满足式，亦称常假式。不可满足式是谓词逻辑中的逻辑矛盾。 如果一个谓词逻辑的公式，对于有些赋值为真，对于有些赋值为假，则称该公式是偶真式，但非普遍有效式。所有的偶真式都是可满足式。,18,普遍有效式举例 （1）xF(x)F(y) （2）F(y) xF(x) （3）x(F(x)F(x) （4）x(F(x)F(x),19,（5）xF(x) xF(x) （6）xF(x) xF(x) （7）x(F(x) G(x)(xF(x) xG(x) （8）x(F(x)G(x)(xF(x)xG(x) （9）x(F(x)G(x)( xF(x)xG(x) （10）xyR(x, y)yx R(x, y),20,谓词逻辑的树形图是命题逻辑树形图的扩充，命题逻辑原有的关于联结词的九个画图规则仍然有效； 但需要增加关于全称量词x和存在量词x的四个画图规则：,21,四、普遍有效式的判定问题,22,23,24,谓词逻辑是不可判定的 即是说，不存在一种机械的、能行的办法，它适合于任一的谓词逻辑公式，将在有穷步内结束，并且就该公式是不是普遍有效式给出唯一确定的结果。不过，某些特殊类型的谓词逻辑公式，例如一元谓词逻辑公式，其普遍有效性是可判定的。在这个意义上，谓词逻辑是半可判定的。,25,证明非普遍有效性或可满足性的方法 要证明这样的一个公式不普遍有效，或者是可满足的，前者是要为该公式找一反模型，使得该公式在其中为假；后者是要为该公式找一模型，使得该公式在其中为真。这种方法叫做“解释方法”或“模型方法”。,26,（一）QN推理规则 谓词逻辑自然推理QN是命题逻辑自然推理PN的扩充，所有PN的规则都是QN的规则；所有已经证明的PN定理和导出规则，都是QN的定理和导出规则，故在证明或推演中可以直接使用它们，无需另外证明。 在PN的基础上，QN增加了四条与量词有关的规则：,27,五、谓词逻辑自然推理系统QN,1全称量词消去规则，记为规则：从xA(x)推出A(x/t)，其中代换x的t不会被A中原有的量词所约束。,28,2全称量词引入规则，记为规则：从A(x)推出xA(x)，只要能够确保前提中的自由变项x是任意的。,29,若不能确保前提中的自由变项x是任意的，就要给该x加标记，其具体做法是：在一个证明或推演的某一步上，出现了含自由变项x的公式A，且不能保证其中的x是任意的，则在该公式的右边注明该公式来历的位置，写上x，表示该x可能不是任意的，不能对它使用规则。以下三种情形需要给相应的自由变项加标记： （i）给定前提中的自由变项； （ii）根据假设引入规则所引入的假设中的自由变项； （iii）一个在前提或假设中是自由的变项，在从该前提或假设出发，根据QN的推演规则所得到的任意一行中也出现，那么，它在后面这些行的出现也应加标记。,30,3存在量词消去规则，记为规则：从xA(x)可以推出A()，这里要求 （i）是先前没有出现过的特指常项； （ii）如果公式A含有x之外的自由变项y，应该用该y给特指常项做下标，写成y。,31,4存在量词引入规则，记为规则：从A(x/t)可以推出xA(x)，只要代换x的t不会被A原有的量词所约束，或者新引入的存在量词不会将A(x)中除x之外的其他自由变项一并加以约束。,32,量词规则总结 全称量词消去规则：从xA(x)推出A(x/t)，其中代换x的t不会被A中原有的量词所约束，这包括以下情形： （1）t是一个个体常项； （2）A是一个原子公式，x是其中的自由变项，t是任一个体词； （3）A含有量词，但自由变项x不在这些量词的辖域之内，t是任一个体词； （4）A含有量词，且自由变项x在这些量词的辖域之内，则t必须是与已量化变项不同的变项。否则，称为t对于公式A中的自由变项x代入不自由。,33,全称量词引入规则：从A(x)推出xA(x)，只要能够确保前提中的自由变项x是任意的。以下情况下的自由变项不能确保是任意的，被称为“加标记变项”： （i）给定前提中的自由变项； （ii）根据假设引入规则所引入的假设中的自由变项； （iii）从该前提或假设出发，根据QN的推演规则所得到的的那些行中、与前提或假设中的自由变项相同的自由变项； （iv）给特指常项做下标的自由变项。对加标记变项，规则不适用。,34,存在量词消去规则：从xA(x)可以推出A()，这里要求（i）是先前没有出现过的特指常项；（ii）如果公式A含有x之外的自由变项y，应该用该y给特指常项做下标，写成y。 存在量词引入规则：从A(x/t)可以推出xA(x)，其中代换x的t不会被A中原有的量词所约束，或者新引入的存在量词不会将A中除x之外的其他自由变项一并加以约束。,35,（二）QN有前提推演,36,37,（三）QN定理及其证明 1xA(x)xA(x) 2xA(x)xA(x) 3xA(x)xA(x) 4xA(x)xA(x) 5AxA，若x不在A中自由出现 6AxA，若x不在A中自由出现 7A(x/t)x A(x)，若t对于x代入自由 8xA(x)xA(x),38,39,第二组 9x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) 10x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) 11x(AB(x)AxB(x)，若x不在A中自由出现 12x(AB(x)AxB(x)，若x不在A中自由出现 13x(AB(x)AxB(x)，若x不在A中自由出现 14x(AB(