复变函数及几何表示.ppt

复变函数与积分变换,任课教师金彩云,课件 作业 答疑 考试,第一章 复数与复变函数,1.1 复数及其代数运算,1.2 复数的几何表示,1.3 复数的乘幂与方根,1.4 区域,1.5 复变函数,1.6 复变函数的极限和连续性,复变函数与积分变换及应用背景,(古今数学思想(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作 者, 美国数学史家) 指出: 从技术观点来看,十 九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个 新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的 直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学 分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢 呼为抽象科学中最和谐的理论之一.,的概念, 从而建立了复变函数理论.,为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数,复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函 数的积分.,说: 实域中两个真理之间的,最短路程是通过复域.,(3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动 等问题的研究.,函数理论证明了,应用复变,(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.,(5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.,(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算.,最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算, 从而研究机翼的造型问题.,(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.,积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域,Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征), 因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速 Fourier变换在计算机时代更是特别重要,主 要 内 容,本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念.然后讨论复变函数的连 续性.,一 复数的概念,由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程,在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式,由该等式所定义的数称为,复 数：由虚数单位和实数复合而成的数 z=x+iy 或 z= x+yi ， 其中x和y是任意两个实数，i为虚数单位。,纯虚数： 实 数：,二 复数的代数运算,注 意：复数不能比较大小.,相 等：设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2.,设复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，则,(1) 复数的和与差,(2) 复数的积,(3) 复数的商,显然, z=x+yi 是 x-yi 的共轭复数, 即,共轭复数,复数 x-yi 称为复数 z = x+yi 的共轭复数 (其中x, y均为实数), 并记做 .,复数代数运算的性质,1. 交换律,2. 结合律,3. 分配律,共轭复数的性质,例 3 设 为两个任意复数，证明,补 例 对 求 。, 1.2 复数的几何表示,一, 复数的几何表示,这时把xOy平面称为复平面. 有时简称为z平面. 称x轴为实轴, y轴为虚轴.,复数z=x+yi与二元有序数组（x,y）一一对应。,二元有序数组（x,y）与直角坐标平面上的点 P（x,y）一一对应。,因此 复数z=x+yi与直角坐标平面上的点P(x,y)一一对应。,P,复数z=x+yi还与从原点指向点P(x,y)的平 面向量一一对应，因此复数z也可用向量 来表示(如图).,把向量 的长度r 称为复数z的 或称为z 的绝对值, 并记做|z|.,显然,如果点P不是原点(即 ), 那么把以 x 轴的正向为始边，以表示z的向量 为终边的角的弧度数q 称为复数 z 的辐角, 记做Argz=.,对每个 , 都有无穷多个辐角, 如果用q1表示复数z的一个辐角时,就是z的辐角的一般表达式.,辐 角,的辐角；但当z=0时, |z|=0.,满足 的复数z的 称为