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文档简介

第三章 导数及其应用,微积分主要与四类问题的处理相关:,一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。,研究某个变量相对于另一个变量变化在一个范围内的快慢程度,第一课时 函数的平均变化率,一、研究课本问题1及问题2，体会平均变化率及其意义，思考怎样抽象到一般函数？,问题1 气球膨胀率,思考:这一过程中，哪些量在改变？,我们都吹过气球.,从吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.,从数学角度,如何描述这种现象呢?,体会实际问题数学化,气球体积:,当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,?,思考 当空气容量从 增加到 时，气球的平均膨胀率是多少？,气球平均膨胀率=,问：平均膨胀率能否精确描述膨胀情况？,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.,如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略地描 述其运动状态?,平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度。,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,回答P73之探究,将两个具体问题抽象到一般函数的平均变化率。,当自变量 从 变化到 时，函数值就从 变化到 ， 则,平均变化率定义:,x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,若设 ,则平均变化率为,称为函数 从x1到x2的平均变化率.,对于函数,x2-x1=x,它的几何意义是什么呢？,若设 ,则平均变化率为,观察函数 图象,A,B,x1,x2,f(x1),f(x2),f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,平均变化率的计算与应用,例1,2、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率,2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积 （单位： ），计算第一个10s内V的平均变化率。,3、已知函数 分别计算在区间-3，-1，0，5上 及 的平均变化率。,由本例得到什么结论?,一次函数y=kx+b在区间m,n上的 平均变化率就等于k.,5、已知函数 ，分别计算 在下列区间上的平均变化率：,（1）1，3； （2）1，2； （3）1，1.1 （4）1，1.001,4,3,2.1,2.001,1,3,回顾反思,1、平均变化率,一般的，函数 在区间上 的平均变化率为,、平均变化率是
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