《概率和理论分布》PPT课件.ppt

第四章 概率和理论分布,本章主要复习现象、事件、概率、频率等概念 介绍小概率原理 二项分布、泊松分布、正态分布等各类理论 分布的概念和性质 标准正态分布的概念和性质 抽样和抽样分布 标准误的概念和作用 与下面统计假设检验有密切关系的t-分布、 x2-分布和F分布,数理统计与经典数学最大的不同之处在于： 经典数学只要计算结果，计算结果就是其目的 数理统计也要计算，但得到计算结果不是目的，数理统计的目的是用计算结果来进行估计、推断 在数理统计中这种估计有两样东西是必备的： 样本 概率 即我们必须计算样本的统计量，在一定的概率保证下，用所得统计量来估计相应总体的参数，即用样本来推断总体：用一个试验的结果来得出更广义的、一般意义上的结论,例如：收获季节到了，我们从一个果园中随机采摘100 个苹果，我们很容易就可以知道这 100 个苹果每个苹果的平均重量，这是小学算术 但作为一个果农来说，他不仅仅希望知道这 100 个苹果的平均重量，他更希望通过这 100 个苹果的平均重量和大小差异（变异）知道整个果园的产量，知道这些苹果的均匀程度对他的销售的影响，甚至通过这些差异追溯以往的果园管理情况,这里，100 个苹果就是样本，整个果园就是总体；100 个苹果的平均重量就是样本平均数，大小差异就是标准差，计算这 100 个苹果的平均值和标准差就是统计；从 100 个苹果知道整个果园的情况（估产），就是推断；整个过程就是统计推断 推断过程中，必须有概率保证，即有多大的把握,同样，在畜牧上、兽医上、水产上，都有类似的问题：我们作了一个试验，总希望通过这一试验得到一个一般性的结论 期间，有以下工作要作： 抽样 试验 记录 数据整理 统计 推断 结论 其中，推断是需要有概率保证的 因为我们希望知道，这种推断是否可靠、可信度有多大、会不会犯错误、犯错的可能性又有多大,因此，可以说，统计学的基础就是概率，没有概率和概率保证，统计和统计推断就成了无根之木，无源之水 事实上，概率在一般生活中也无处不在,第一节 概率论初步,一、随机现象和随机事件 （一）现象 必然现象（inevitable phenomenon） 不可能现象（impossible phenomenon） 随机现象（random phenomenon）,（二）随机试验（random experiment） 对随机现象进行观测，就是试验，满足以下三个条件的试验即为随机试验（随机试验简称试验）： 1、允许在相同条件下重复 2、每次试验其结果不一定相同 3、试验前并不知道试验会产生什么样的结果,（三）随机事件（random event） 试验所产生的中间或终了结果就称为事件 随机试验的结果就是随机事件（简称事件） 用大写的拉丁字母 A、B、C 等来表示事件 必然事件用 U 表示；不可能事件用 V 表示,二、事件间的关系 和事件、积事件 互斥事件、对立事件 完全事件系、事件的独立性,三、随机事件的概率（probability） 随机事件的出现，带有很大的偶然性；但这种偶然性也有一定的规律：有些随机事件出现的可能性大一些，有些则小一些 因此需要用一个数值来表示这种可能性，这一数值就是概率 即随机事件的概率就是对随机事件可能性大小的度量 对某一试验进行 n 次重复，试验中事件 A 出现 a 次，事件 A 出现的频率（frequency）为：,当 n无限增大，f 将趋向于一个定值 p，p 即为随机事件的概率： 事实上，由于 n总是无限大的，因此 p 一般不可能得到，因此在实际工作中，总是将 n 充分大时的 f 值近似地作为 p 值，即 n 足够大时的频率就是近似的概率，或用频率值来估计概率 概率也可以是一个理论值,抛一个均质硬币，其落地时，正面朝上和反面朝上具有同等的机会，即 同样的例子还有：,显然， 即 ， 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0 概率与频率的区别和联系： 1、频率的稳定就是概率 2、随机事件发生的频率是一个变量，而概率是一个常量，一个定值，或一个理论值 3、频率是概率的随机表现 4、每一次试验可以得到一个频率，但希望通过一次试验就得到概率是不可能的,5、如果已经知道随机事件A发生的概率，就可以预测事件A在将要进行的试验中出现的可能性 6、可以通过一个大样本的频率，或多个样本的频率来估计或预测概率,小概率原理： 表示随机事件 A是不可能事件；若 很小，如 或 等等，表示随机事件 A 在某一次试验中出现的概率很小，即不可能出现的概率很大，以至于可以这样认为，在一次试验中事件 A实际上是不可能事件，即 ，这就是概率论中的小概率事件实际不可能性原理，简称为小概率原理 小概率原理是统计学中进行假设检验的基本原理，在以后的学习中经常会碰到，也经常应用,四、随机变量 作一次试验，试验的可能结果可以是多样的： *有些试验结果是几个确定的结果，这些确定的结果可以一一列出 #有些试验结果是一个范围 如用 x表示变量，那么 x的取值的表示： 或者可用一实数来表示（*者：x=0 x=1 etc.） 或者可用一个范围来表示（#者：1.5x2.1 etc.）,1、当随机变量 x 的取值是一个确定的实数，且每一实数发生的概率也是确定的，这种类型的变量就称为 离散型随机变量（discrete random variable） 如：设生男孩为 ，生女孩为 ，则 其含义是：生男孩的概率为 0.52，生女孩的概率为0.48 又如： 为猪丹毒治愈， 为未治愈，则,设一个布袋里装有1个白球、2个红球、3个黑球、4个黄球，充分混匀， 为取得白球， 为取得红球， 为取得黑球， 为取得黄球，则 将随机变量 x 所有可能取值及其对应的概率一一列出，可形成离散型随机变量的概率分布列： 变量 x： x1 x2 x3 xn 概率 p1 p2 p3 pn,上例中： 从布袋中取得各色球x： 0 1 2 3 概 率 0.1 0.2 0.3 0.4,2、当变量 x的取值是一个范围，且x在这一范围内的概率是确定的，这种类型的变量就称为连续型随机变量（continuous random variable） 对于连续型随机变量，研究其取某一定值的概率是没有意义的 对于随机变量 x，若存在非负可积函数f（x）， （-x+） 对于任意a、b（ab），都有 则称 x为连续型随机变量，f（x）为 x的概率密度函数，或称分布密度，因此，它的分布由密度函数所确定,若已知密度函数，则通过定积分可求得连续型随机变量在某一区间内的概率 人体身高、动物的体重、人类及动物体内许多酶的活力、生理生化指标等都可以认为是连续型随机变量 设 x为人体身高，若在一个人群中： x145cm的概率为0.05 145x155cm的概率为0.10 155x165cm的概率为0.30 165x175cm的概率为0.35 175x185cm的概率为0.15 x185cm的概率为0.05,则：,一个随机变量完整地描述了一个随机试验，它不仅告诉了我们随机试验的所有可能结果，而且告诉了我们每一种结果出现的可能性及其大小；这样，对随机试验概率分布的研究，就转化成了对随机变量的概率分布的研究了,第二节 理论分布（概率分布）,一、二项分布（binomial distribution） 二项分布是离散型随机变量最常见的、典型的一种分布 有些试验只有非此即彼（alternative）的两种结果，即某一性状，其个体只可能有两种结果；这种非此即彼的现象又称为二者必居其一性状 在这里，此和彼构成了一个完全事件系，如 禽蛋和鱼卵的孵化与否；雄性和雌性；化验结果的阳性（+）和阴性（-）；疾病的治愈与否；动物体的存活与死亡；等等,由这种具有非此即彼性状的事件所构成的总体就称为二项总体 如果给此 事件以变量1，其概率设为 p，彼 事件以变量0，其概率设为 q，显然我们有： ， 且 p+q1 每次在一个二项总体中独立抽取 n 个个体，观察一次抽取的结果，就称为一次贝努里试验 若 i 为此事件出现的次数，则变量 x 有 0、1、2、n，共有 n+1 种可能的结果,显然，对于变量 x 每一种可能的结果都有一个概率值，由这种在二项总体中事件A出现的次数及其概率所形成的分布，就称为二项概率分布，简称为二项分布 二项分布是离散型资料一种最重要的理论分布,设在一个很大的口袋中放入二种颜色的球：红球和白球；红球和白球的比例为1：2，并充分混匀 即任何一个球被随机摸到的机会是相等的，因此，摸到一个红球的概率是1/3，而摸到白球的概率就是2/3 记A为摸到一个红球，显然，其概率为 记 为摸到一个白球，显然，其概率为 现随机地从这个口袋中摸出3个球，如果不考虑先后次序则一共有4种情况：三红、二红一白、一红二白、三白（如考虑先后次序则有8种情况）,因此 三红无白的概率是 二红一白的概率是 一红二白的概率是 无红三白的概率是 这四种情况相加之和为1,抽取三个球共有四种组合，这四个组合各个组合出现的概率值恰好是二项式 的展开： 各式前面的系数为1：3：3：1，即 用随机变量 x 的不同取值来表示上述试验，记 x=0为三红、x=1为二红一白、x=2为一红二白、x=3为三白,则,由于这一随机变量每一取值及其相应概率可一一列出，因此这是一个离散型随机变量，写出其分布列： 变量 ： 0 1 2 3 概率值： P3(0) P3(1) P3(2) P3(3) 本例的分布列为： 变量 ： 0 1 2 3 概率值： 其中，任何一项的概率值其公式为：,红球、白球试验的概率值图： 三红 二红一白 一红二白 三白,这样的一个分布列称为离散型随机变量的概率分布列 由于这一分布列的各概率值正是二项式 展开后的各项，因此变量 x 的分布又称为二项分布,下面将二项分布作一完整的描述： 独立地进行 n 次试验，每次试验只可能有 A 与 两种结果，发生 A 的概率为 p，发生 的概率为 q1-p n 次试验可有 n+1 种可能的结果，这样的试验称为Bernoulli 试验，在这 n次 试验中，事件 A 共发生 m 次的概率分布列为： 0 1 2 m n Pn(0) Pn(1) Pn(2) Pn(m) Pn(n),其中： m=0，1，2，n 是杨辉三角形中第 m 行相应列中的系数,二项分布有两个参数：n 和 p n 为正整数，表示属于贝努里概型的试验次数 p 为正实数 如果一个随机变量 x 服从试验次数为 n， 的二项分布，即记为 ，读作具有试验次数 n、概率为 p 的二项分布 二项分布的平均数为 方差为 标准差为,而服从二项分布的随机变量 x 的平均数为 方差为 ，标准差为 只有 2 种可能结果的属性资料，如存活、治愈、性别、阴阳性等（以百分率表示）均服从二项分布 二项分布当 n 较大、且 np5 及 nq5 时接近正态分布，当 n 时，服从正态分布 即正态分布是二项分布的极限,例1：用某一常规药物治疗猪瘟病，其正常治愈率为 0.7，对 20头罹患猪瘟的种猪用该种药物进行常规性治疗，问其中 16 头病猪被治愈的概率是多少？ 此例中，p = 0.7，n = 20，m = 16 该例中， 200.7 14， 2 200.70.3 4.2 2.05 例2：某药物对体外寄生虫的正常杀灭率为 0.9，人工培养该种寄生虫 50 头，用该药物进行常规性杀灭试验，问希望一次杀灭 48 头的概率？ 此例中，p = 0.9，n = 50，m = 48 该例中， 500.9 45， 2 500.90.1 4.5 2.12,二、泊松分布（poisson distribution） 当二项分布中的 n 、而 p 0时，二项分布将成为另一种新的分布：泊松分布（普哇松分布） 即试验（或称观察）次数很大、而某事件出现的概率很小，则离散型随机变量 x 服从于泊松分布 若随机变量 x 的分布列为： 0 1 2 m p0 p1 p2 pm ,其中： （0,且np，m=0,1,2, ） 而 泊松分布只有一个参数：，np 既是泊松分布的平均值，又是其方差 标准差为 即,当随机变量 x服从于参数为 的泊松分布时 记为 泊松分布的图形决定于，1时，P(x=0)为最大， 12时，P(x=1)为最大， 23时，P(x=2)为最大，以此类推 泊松分布主要描述小概率事件发生的概率分布 如：致死率不高的某些疾病引起的死亡情况，遗传性疾病，散发性疾病，镜检时视野内病原菌或微生物的分布，稀有疾病的分布，生物体非传染性疾病的分布,泊松分布的实例描述步骤： 一般首先对观察结果进行分类，并统计每一类的频数；其次是利用加权法计算整个样本的加权平均数 ，并将加权平均数 暂时看作值；再次将值代入 中；最后求出各 x 的理论概率值,当无限增大时， 泊松分布将逼近正态分布；事实上，当 时，泊松分布已与正态分布很接近 当 时，泊松分布与正态分布已无多大区别 因此正态分布也是泊松分布的极限,实例：在某地作破伤风杆菌调查，取样并进行培养后记录了 90 个显微镜视野内的细菌数，见下表 90 个显微镜视野下破伤风杆菌的频数分布 细菌数x 观测频数n nx P(x) 理论频数 0 6 0 0.0657 5.913 1 15 15 0.1789 16.101 2 23 46 0.2435 21.915 3 19 57 0.2210 19.890 4 14 56 0.1504 13.536 5 8 40 0.0819 7.371 6 4 24 0.0371 3.339 7 1 7 0.0144 1.296 7 0 0 0.0071 0.639 90 245 1.00 90.00,首先计算每一视野内的破伤风杆菌平均值，并将其暂作为值： 将值代入 中各式，得各个 P(x)，见上表的第四列，将各个 P(x)与总频数相乘，即得理论频数，即上表的最后一列 如 依此类推 每个视野中破伤风杆菌数大于7个的也应计算理论频数，即上表中的最后一行 镜检视野内破伤风杆菌的分布图见下一页,频 数 破伤风杆菌数 0 1 2 3 4 5 6 7,三、正态分布（normal distribution） 连续型随机变量是日常工作中最多见的一种变量，这一类变量为可加、或呈线性时，一般服从正态分布 将这一类资料整理成直方图或折线图时，其图形总呈中间多、两边少的钟型（bell-shape）分布特征 假设将样本容量n无限扩大，分组更细，即n 组距 0，则每一组的频数将趋向于一个定值，即一概率值，此时，呈现在我们面前的将是一条中间高、向两边均匀对称下降的光滑曲线；这一类资料的概率分布就称为正态分布,和正态分布相对应的曲线称为正态分布密度曲线 用来描述这条曲线的函数称为正态分布密度函数 正态分布是数理统计中最重要的一种理论分布 呈正态分布的随机变量 x其密度函数 f（x）为： 上式中，为随机变量 x 的平均值， 2 为方差， 为标准差，任何一个正态分布均由参数 和 2 所决定,一个随机变量 x 服从平均值为、方差2为的正态分布时，记为 正态分布的特点是： 1、正态分布曲线以直线 x为对称，且在该处达到顶峰，x时 为最大值 2、曲线有两个拐点： 在这两个拐点处，曲线改变方向 3、正态分布曲线在 x 轴上的的位置由决定，而曲线高矮、胖瘦的形状由决定 4、正态分布密度曲线向-、 +无限延伸,正态分布密度曲线与 x 轴所包围的面积恒为1，即服从正态分布的随机变量 x 在（ -， +）间内取值的概率为1 而随机变量 x 在区间（a，b）内取值的概率也可以