ya(xm)2h的图象和性质0998.ppt

,二次函数y=a(x+m)2 +h的图象和性质,y=ax2,y=a(x+m)2,y=ax2+c,y=ax2,c0,c0,上移,下移,左加,右减,说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。,顶点x轴上,顶点y轴上,问题不在坐标轴上的二次函数又如何呢？,y=a(x-m)2,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x + m )2,上下平移,左右平移,向右平移6个单位,向左平移6个单位,向下平移6个单位,回顾练习:填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开 口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线 y= -3x2 向 平移 个单位得到的；开 口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有 最 值，是 .,（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .,思考,1.函数y=-x2+6x-9的顶点坐标是_,2.求抛物线y=2(x-5)2关于y轴对称的抛物线的解析式是_,3.求抛物线y=2(x-5)2关于x轴对称的抛物线的解析式是_,例题,例3.画出函数 的图像.指出它的开口 方向、顶点与对称轴、,解: 先列表,画图,再描点画图.,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,直线x=1,解: 先列表,再描点、连线,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,讨论,抛物线 的开口方向、对称轴、顶点?,(2)抛物线 有什么关系?,可以看出,抛物线 的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点是(1, 1).,向左平移1个单位,向下平移1个单位,向左平移1个单位,向下平移1个单位,平移方法1:,平移方法2:,二次函数图像平移,x=1,我思，我进步,y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,我思，我进步,y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2,想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看,由函数 图象经过怎样平移得到函数 的图像?,想一想:,向左平移2个单位,向上平移3个单位,归纳,一般地,抛物线y=a(xm)2k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x m)2k.平移的方向、距离要根据m、k的值来决定.,向左(右)平移|m|个单位,向上(下)平移|m|个单位,y=ax2,y=a(xh)2,y=a(xm)2+k,y=ax2,y=a(xm)2+k,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2+k,向左(右)平移|m|个单位,平移方法:,抛物线y=a(xm)2+k有如下特点:,(1)当a0时, 开口向上;,当a0时,开口向上;,(2)对称轴是直线x=m;,(3)顶点是(m,k).,y=a(x+m)2+k的图象：,对称轴是 _，顶点坐标是 _。,直线x=-m,(-m, k),当k0时,向上平移,当k0时,向下平移,y=a(x+ m)2+k,当m0时,向左平移,当m0时,向右平移,要点:,练习,向上,( 1 , 2 ),向下,向下,( 3 , 7),( 2 , 6 ),向上,直线x=3,直线x=1,直线x=3,直线x=2,(3, 5 ),y=3(x1)22,y = 4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下列表格:,2.请回答抛物线y = 4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?,3.抛物线y =4(x3)27能够由抛物线y=4x2平移得到吗?,我思考，我进步,在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x和 y=-3(x-1)2的图象,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.,顶点分别是 (1,2)和(1,-2).,二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么?,开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2).,想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x+1)2,y,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.,顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2),二次函数y=-3(x+1)2+2与 y=-3(x+1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x+1)2有什么关系? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向下, 当x=-1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值= - 2).,先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,x=1,练习,y= 2（x+3）2-2,画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。,y= 2（x-3）2+3,y= 2（x-2）2-1,y= 3（x+1）2+1,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x - m )2,y = a( x - m )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,结论: 一般地，抛物线 y = a(x-m)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。,各种形式的二次函数的关系,如何平移：,二次函数y=a(x-m)2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-m)2+k(a0),y=a(x-m)2+k(a0),（m，k）,（m，k）,直线x=m,直线x=m,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=m时,最小值为k.,当x=m时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,（1）与抛物线y=2x2的形状相同,且顶点是(-2,3) 的抛物线是_,（2）顶点是(2,-3) ,且过(-1,2)的抛物线是_,（3)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于y轴对称后的抛物线是_,（4)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于x轴对称后的抛物线是_,1、 如果抛物线 的顶点坐标 是（-1，5）则,能力提高题：,它的对称轴是,、 如果一条抛物线的形状与 的形状相同，且顶点坐标是（，-） 则函数关系式是,能力提高题,3、已知二次函数 的图象如图所示，则函数,的图象只可能是（ ）,例题,C(3,0),B(1，3),例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?,A,解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.,因此可设这段抛物线对应的函数是,这段抛物线经过点(3,0), 0=a(31)23,解得:,因此抛物线的解析式为:,y=a(x1)23 (0x3),当x=0时,y=2.25,答:水管长应为2.25m.,一个运动员推铅球，铅球出手点在A处，出手时球离地面 ，铅球运行所经过的路线是抛物，已知铅球在运动员前4处达到最高点，最高点高为3，你能算出该运动员的成绩吗？,4米,3米,一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面高 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈中