2020版高中数学第二章随机变量及其分布2.3.1离散型随机变量的均值练习（含解析）新人教A版.docx

2.3.1离散型随机变量的均值课时过关能力提升基础巩固1设随机变量XB(40,p),且E(X)=16,则p=()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解析:E(X)=40p=16,p=0.4.答案:D2某一供电网络,有n个用电单位,每个单位在一天中使用电的机会是p,供电网络中一天平均用电的单位个数是()A.np(1-p)B.npC.nD.p(1-p)解析:供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布,故所求为np.答案:B3若X是一个随机变量,则E(X-E(X)的值为()A.无法求B.0C.E(X)D.2E(X)解析:只要认识到E(X)是一个常数,则可直接运用均值的性质求解.E(aX+b)=aE(X)+b,而E(X)为常数,E(X-E(X)=E(X)-E(X)=0.答案:B4若随机变量B(n,0.6),且E()=3,则P(=1)的值为()A.20.44B.20.45C.30.44D.30.64解析:E()=0.6n=3,n=5,B(5,0.6),P(=1)=C510.60.44=30.44.答案:C5某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为()A.100B.200C.300D.400解析:E(X)=10000.90+10000.12=200.答案:B6随机变量的分布列为123P0.20.5m则的均值是()A.2B.2.1C.2.3D.随m的变化而变化解析:0.2+0.5+m=1,m=0.3,E()=10.2+20.5+30.3=2.1.答案:B7已知随机变量的分布列为01234P0.10.20.3x0.1则x=,P(13)=,E()=.解析:由0.1+0.2+0.3+x+0.1=1得x=0.3.P(13)=P(=1)+P(=2)=0.5.E()=0.2+0.6+0.9+0.4=2.1.答案:0.30.52.18某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为代表参加演讲,若用随机变量表示选出的演讲者中女生的人数,则均值E()=.(结果用最简分数表示)解析:可取0,1,2,因此P(=0)=C52C72=1021,P(=1)=C51C21C72=1021,P(=2)=C22C72=121,E()=01021+11021+2121=47.答案:479随机抛掷一枚骰子,所得点数X的均值为.解析:因为X的分布列为P(X=k)=16(k=1,2,3,4,5,6),所以E(X)=16(1+2+3+4+5+6)=3.5.答案:3.510若对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲解出该题的概率为23,乙解出该题的概率为45,设解出该题的人数为,求E().解:记“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B,的可能取值为0,1,2.P(=0)=P(A)P(B)=1-231-45=115,P(=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=231-45+1-2345=25,P(=2)=P(A)P(B)=2345=815.所以,的分布列为012P11525815故E()=0115+125+2815=2215.能力提升1设随机变量的分布列如下表:0123P0.1ab0.1且E()=1.6,则a-b等于()A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4解析:根据题意,0.1+a+b+0.1=1,00.1+1a+2b+30.1=1.6,解得a=0.3,b=0.5.故a-b=-0.2.答案:C2一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6.现有4发子弹,则命中后剩余子弹数的均值为()A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4解析:记命中后剩余子弹数为,则的可能取值为0,1,2,3.P(=0)=0.44+0.430.6=0.064,P(=1)=0.420.6=0.096,P(=2)=0.40.6=0.24,P(=3)=0.6.所以,E()=00.064+10.096+20.24+30.6=2.376.答案:C3有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X的均值是()A.7.8B.8C.16D.15.6解析:X的取值为6,9,12,P(X=6)=C83C103=715,P(X=9)=C82C21C103=715,P(X=12)=C81C22C103=115.E(X)=6715+9715+12115=7.8.答案:A4在一次商业活动中,某人获利300元的概率为0.6,亏损100元的概率为0.4,此人在这样的一次商业活动中获利的均值是.解析:设此人获利为随机变量X,则X的取值是300,-100,其概率分布列为X300-100P0.60.4故E(X)=3000.6+(-100)0.4=140.答案:1405有5支竹签,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3支,以X表示取出竹签的最大号码,则E(X)的值为.解析:随机变量X取值为3,4,5.P(X=3)=C33C53=110,P(X=4)=C32C53=310,P(X=5)=C42C53=610=35,则随机变量X的分布列为345P11031035故E(X)=3110+4310+535=4.5.答案:4.56一个随机变量的概率分布列如下表:x123P(=x)?!?某同学计算的均值,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,该同学给出了正确答案:E()=.解析:设P(=1)=P(=3)=a,P(=2)=b,则2a+b=1,于是E()=a+2b+3a=2(2a+b)=2.答案:27某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:t)的频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x的值;(2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在34 t 的居民数X的分布列和均值.解: (1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.(2)由题意知,XB(3,0.1).因此P(X=0)=C300.93=0.729,P(X=1)=C310.10.92=0.243,P(X=2)=C320.120.9=0.027,P(X=3)=C330.13=0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的均值为E(X)=30.1=0.3.8在某电视节目的一期比赛中,有6位歌手(16)登台演出,由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星.各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机地选2名;媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机地选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率;(2)用X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及均值.解: (1)设A表示事件:“媒体甲选中3号歌手”,B表示事件:“媒体乙选中3号歌手”,C表示事件:“媒体丙选中3号歌手”,则P(A)=C41C52=25,P(B)=C42C53=35,媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P(AB)=251-35=425.(2)P(C)=C52C63=12,由已知得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=P(ABC)=1-251-351-12=325.P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=251-351-12+1-25351-12+1-251-3512=1950,P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25351-12+251-3512+1-253512=1950,P(X=3)=P(ABC)=253512=325,X的分布列为X0123P32519501950325E(X)=0325+11950+21950+3325=32.9购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.999104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的均值不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).解:各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10000人中出险的人数为,则B(104,p).(1)记事件A表示“保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金”,则A发生当且仅当=0,P(A)=1-P(A)=1-P(=0)=1-(1-p)104.又P(A)=1-0.999104,所以p=0.001.(2)该险种总收入为10000a元,支出是赔偿金总额