2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式练习（含解析）新人教A版.docx

一二维形式的柯西不等式基础巩固1已知a0,b0,且a+b=2,则()A.ab12B.ab12C.a2+b22D.a2+b23解析：(12+12)(a2+b2)(a+b)2=4,a2+b22.故选C.答案：C2已知4x+9y=2,x,y0,则x+y的最小值是()A.252B.254C.52D.5解析：由4x+9y=2,得x+y=(x)2+(y)22x2+3y2212x2x+y3y2=12(2+3)2=252,当且仅当x3y=y2x,即x=5,y=152时,等号成立.答案：A3已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是()A.56B.65C.2536D.3625解析：2x2+3y2=(2x)2+(3y)2(3)2+(2)21515(6x+6y)2=65(x+y)2=65,当且仅当2x=3y,即x=35,y=25时,等号成立.答案：B4函数y=22-x+2x-3的最大值是()A.3B.32C.3D.4解析：y2=22-x+2x-32222+(2)2(2-x)2+x-322=612=3,当且仅当2x-32=22-x,即x=53时,等号成立.故y的最大值为3.答案：C5已知x0,y0,且xy=1,则1+1x1+1y的最小值为()A.4B.2C.1D.14解析：1+1x1+1y=12+1x212+1y211+1x1y2=1+1xy2=22=4,当且仅当x=y=1时,等号成立.答案：A6设x,yR+,则(x+y)3x+2y的最小值是.答案：5+267已知a,bR+,且a+b=1,则12a+1b的最小值是.解析：因为a,bR+,且a+b=1,所以12a+1b=12a+1b(a+b),由柯西不等式得12a+1b(a+b)12aa+1bb2=22+12=32+2,当且仅当b2a=ab,a+b=1时,等号成立,此时a=2-1,b=2-2.答案：32+28函数y=3sin x+22(1+cos2x)的最大值是.解析：y=3sinx+22(1+cos2x)=3sinx+4cos2x(32+42)(sin2x+cos2x)=5,当且仅当3|cosx|=4sinx时,等号成立.答案：59已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证:|ax+by|1.证明：由柯西不等式,得|ax+by|a2+b2x2+y2=1,当且仅当ay=bx时,等号成立.10已知abc,求证:1a-b+1b-c4a-c.分析：原不等式可变形为(a-c)1a-b+1b-c4.又a-c=(a-b)+(b-c),利用柯西不等式证明即可.证明：(a-c)1a-b+1b-c=(a-b)+(b-c)1a-b+1b-c=(a-b)2+(b-c)21a-b2+1b-c2a-b1a-b+b-c1b-c2=4,当且仅当a-b1b-c=b-c1a-b,即a-b=b-c时,等号成立.故原不等式成立.能力提升1已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是()A.2B.2C.3D.3解析：2x+y=22x+1y(2)2+12(2x)2+y2=32x2+y2=3,当且仅当2y=2x,即x=y=33时,等号成立.故2x+y的最大值是3.答案：C2若x2+y2=8,则2x+y的最大值为()A.8B.4C.210 D.5解析：(x2+y2)(4+1)(2x+y)2,(2x+y)285=40,当且仅当x=2y时,等号成立,即(2x+y)max=210.答案：C3若a+b=1,则a+1a2+b+1b2的最小值为()A.1B.2C.252D.72解析：a+1a2+b+1b2=a2+2+1a2+b2+2+1b2.a+b=1,a2+b2=12(a2+b2)(1+1)12(a+b)2=12.又1a2+1b22ab8(a+b)2=8,以上两个不等式都是当且仅当a=b=12时,等号成立,a+1a2+b+1b212+2+2+8=252,当且仅当a=b=12时,等号成立.答案：C4已知正数a,b满足a+b=2,则a+b+1的最大值为()A.3B.2+1C.6D.3+1解析：正数a,b满足a+b=2,则a+b+1=3,则(1a+1b+1)2(12+12)(a)2+(b+1)2=6.故a+b+16,故选C.答案：C5设xy0,则x2+4y2y2+1x2的最小值为.解析：原式=x2+2y21x2+y2x1x+2yy2=9,当且仅当xy=2时,等号成立.故所求最小值为9.答案：96设实数x,y满足3x2+2y26,则2x+y的最大值为.解析：由柯西不等式得(2x+y)2(3x)2+(2y)2232+122=(3x2+2y2)43+126116=11,当且仅当3x=4y,即x=411,y=311时,等号成立.因此2x+y的最大值为11.答案：117函数f(x)=x2-8x+20-x2-6x+10的最大值为.解析：f(x)=x2-8x+20-x2-6x+10=(x-4)2+22-(x-3)2+1=(x-3)-12+1-(-1)2-(x-3)2+1212+(-1)2=2,当且仅当x=2时,等号成立.答案：28已知为锐角,a,b0,求证:(a+b)2a2cos2+b2sin2.证明：设m=acos,bsin,n=(cos,sin),则|a+b|=acoscos+bsinsin=|mn|m|n|=acos2+bsin21=a2cos2+b2sin2,当且仅当a=kcos2,b=ksin2,kR时,等号成立.故(a+b)2a2cos2+b2sin2.9在半径为R的圆内,求周长最大的内接长方形.解:如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为4R2-x2,于是长方形ABCD的周长l=2(x+4R2-x2)=2(1x+14R2-x2).由柯西不等式