2020版高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大（小）值与导数练习（含解析）新人教A版.docx

1.3.3函数的最大(小)值与导数课时过关能力提升基础巩固1.函数f(x)=2x+sin x在区间0,上的()A.最小值为0,最大值为+1B.最小值为0,最大值为2C.最小值为+1,最大值为2D.最小值为0,最大值为2解析:f(x)=2+cosx0,所以f(x)在区间0,上单调递增,因此f(x)的最小值为f(0)=0,最大值为f()=2.答案:B2.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间-2,-1上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为()A.-5B.7C.10D.-19解析:f(x)=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3)=-3(x+1)(x-3).令f(x)=0,得x=-1或x=3.f(-1)=1+3-9+a=a-5,f(-2)=8+12-18+a=a+2.由题意知f(-2)=f(x)max=2+a=2,a=0,f(x)min=f(-1)=a-5=-5.答案:A3.函数f(x)=xe-x在区间0,4上的最大值为()A.0B.1eC.4e2D.2e2解析:f(x)=1-xex,令f(x)=0,得x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x0(0,1)1(1,4)4f(x)+0-f(x)01e4e-4所以f(x)的最大值为f(1)=1e.答案:B4.函数f(x)=2x+1x,x(0,5)的最小值为()A.2B.3C.174 D.22+12解析:由f(x)=1x-1x2=x32-1x2=0,得x=1.当x(0,1)时,f(x)0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=3.答案:B5.函数f(x)=4xx2+1()A.有最大值2,无最小值B.无最大值,有最小值-2C.最大值为2,最小值为-2D.无最值解析:f(x)=4(1-x2)(x2+1)2,令f(x)=0,得x=1,容易验证当x=-1时,函数f(x)取极小值f(-1)=-2,当x=1时函数f(x)取极大值f(1)=2,此即为函数f(x)的最小值和最大值.答案:C6.若函数f(x)=x3+2ax2+1在区间0,1上的最小值为f(1),则a的取值范围为.解析:f(x)=3x2+4ax,f(x)在0,1上的最小值为f(1),说明f(x)在0,1上单调递减,所以当x0,1时,f(x)0恒成立,即3x+4a0恒成立.所以a-34x恒成立.故a-34.答案:-,-347.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间-3,0上的最大值和最小值分别是.解析:f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f(x)=0,则x=-1或x=1(舍去).f(-1)=3,f(0)=1,f(-3)=-17,所以f(x)max=f(-1)=3,f(x)min=f(-3)=-17.答案:3,-178.求函数y=f(x)=x3-32x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.解:先求导数,得y=3x2-3x.令y=0,即3x2-3x=0,解得x1=1,x2=0.因为f(-2)=-9,f(0)=5,f(1)=92,f(2)=7,故ymax=7,ymin=-9.9.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,cR),(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x-2,6时,f(x)2|c|恒成立,求c的取值范围.解:(1)f(x)=3x2-2ax+b.函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.-1+3=2a3,-13=b3,a=3,b=-9.(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f(x)=3x2-6x-9.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,3)3(3,6)6f(x)+0-0+f(x)c-2极大值c+5极小值c-27c+54而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,当x-2,6时,f(x)的最大值为c+54,要使f(x)2|c|恒成立,只要c+542|c|即可,当c0时,c+5454;当c0时,c+54-2c,c0时,f(x)=ex-10,当x0时,f(x)=ex-10,则必有()A.f(0)+f(2)2f(1)解析:当x1时,f(x)0,函数f(x)在(1,+)内是增函数;当x1时,f(x)f(1),f(2)f(1),得f(0)+f(2)2f(1).答案:D4.若f(x)=ax3-3x+1对于x-1,1总有f(x)0成立,则a的值为()A.2B.4C.6D.8解析:当-1x0时,a3x-1x3=3x2-1x3在-1,0)内恒成立,而当-1x0,则y=3x2-1x3为-1,0)内的增函数,从而3x2-1x3的最小值为4.于是a4.当x=0时,f(x)0总成立.当00).令(t)=t2-lnt(t0),所以(t)=2t-1t=2t2-1t.所以当t0,22时,(t)单调递减;当t22,+时,(t)单调递增.所以当t=22时,(x)min=12+12ln20,即|MN|min=(x)min.故当|MN|取得最小值时t=22.答案:D6.已知两个和为48的正整数,若第一个数的立方与第二个数的平方之和最小,则这两个正整数分别为.解析:设第一个数为x,则第二个数为(48-x),记y=x3+(48-x)2=x3+x2-96x+2304(0x0.(1)讨论f(x)在其定义域内的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时x的值.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=1+a-2x-3x2.令f(x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,x1x2.所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx2时,f(x)0;当x1x0.故f(x)在区间(-,x1)和(x2,+)内单调递减,在区间(x1,x2)内单调递增,即f(x)在区间-,-1-4+3a3和-1+4+3a3,+内单调递减,在区间-1-4+3a3,-1+4+3a3内单调递增.(2)因为a0,所以x10.当a4时,x21.由(1)知,f(x)在区间0,1上单调递增.所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在区间0,x2上单调递增,在区间x2,1上单调递减.所以f(x)在x=x2=-1+4+3a3处取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时,f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1a0时,判断f(x)在定义域上的单调性;(2)若f(x)在区间1,e上的最小值为32,求a的值;(3)设g(x)=ln x-a,若g(x)0,x0,所以f(x)0,因此f(x)在区间(0,+)内是增函数.(2)由(1)知f(x)=x+ax2.若a-1,则x+a0,从而f(x)0(只有当a=-1,x=1时,f(x)=0),即f(x)0在区间1,e上恒成立,此时f(x)在区间1,e上为增函数.所以f(x)的最小值为f(1)=-a=32,即a=-32,不符合题意,舍去.若a-e,则x+a0,从而f(x)0(只有当a=-e,x=e时,f(x)=0),即f(x)0在区间1,e上恒成立,此时f(x)在区间1,e上为减函数.所以f(x)的最小值为f(e)=1-ae=32,即a=-e2,不符合题意,舍去.若-ea-1,由f(x)=0,得x=-a,当1x-a时,f(x)0,即f(x)在区间(1,-a)内为减函数;当-ax0,即f(x)在区间(-a,e)内为增函数,所以x=-a是函数f(x)在区间(1,e)内的极小值点,也就是它的最小值点,因此f(x)的最小值为f(-a)=ln(-a)+1=32,即a=-e.综上,a=-e.(3)g(x)x2即lnx-alnx-x2,故g(x)lnx-x2在(0,e上恒成立