2020版高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习（含解析）新人教A版.docx

2.2.2反证法课时过关能力提升基础巩固1.实数a,b,c不全为0是指()A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至少有一个为0C.a,b,c中至多有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0解析:“不全为0”并不是“全不为0”,而是“至少有一个不为0”.答案:D2.当用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于60”时,应假设()A.三角形的三个内角都不大于60B.三角形的三个内角都大于60C.三角形的三个内角至多有一个大于60D.三角形的三个内角至多有两个大于60解析:因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”,所以“三角形三个内角至少有一个不大于60”的否定是“三角形三个内角没有一个不大于60”,即“三角形三个内角都大于60”,故选B.答案:B3.当用反证法证明命题“若系数为整数的关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有有理数根,则a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为()A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都不是偶数C.a,b,c中至多有一个偶数D.a,b,c中至多有两个偶数解析:“a,b,c中存在偶数”,即“a,b,c中至少有一个偶数”,其否定为“a,b,c都不是偶数”.故选B.答案:B4.当用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:A5.当用反证法证明命题“在ABC中,若AB,则ab”时,应假设.答案:ab6.命题“关于x的方程ax=b(a0)的解是唯一的”的结论的否定是.答案:关于x的方程ax=b(a0)无解或至少有两个解7.当用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa,且xb”时,应当假设.答案:x=a或x=b8.当用反证法证明“已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12”时的假设应为_.解析:“至少有一个”的反设词为“一个也没有”.答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于129.已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证:1a,1b,1c不可能成等差数列.分析:本题题设条件较少,且求证的结论中有“不可能”这个词,故考虑用反证法证明.证明假设1a,1b,1c成等差数列,则2b=1a+1c,所以2ac=bc+ab.因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.把代入,得2ac=b(a+c)=b2b.所以b2=ac.由平方,得4b2=(a+c)2.把代入,得4ac=(a+c)2,所以(a-c)2=0.所以a=c.代入,得b=a,故a=b=c,所以数列a,b,c的公差为0.这与已知矛盾,因此假设错误.故1a,1b,1c不可能成等差数列.能力提升1.当用反证法证明“已知a,b,c均为实数,且a=x2-2y+2,b=y2-2z+3,c=z2-2x+6,求证:a,b,c中至少有一个大于0”时,正确的假设是()A.a,b,c均小于0B.a,b,c均不大于0C.a,b,c中至多有一个不大于0D.a,b,c中至多有一个小于0答案:B2.已知两条相交直线l,m都在平面内且都不在平面内.命题甲:l和m中至少有一条与平面相交,命题乙:平面与相交,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若已知与相交,设交线为a,假设l,m都与平面平行,则al,am,所以lm,这与已知l与m相交矛盾,所以乙甲.若已知l,m中至少有一条与平面相交,不妨设l=A,则点A,且点A,所以点A必在与的交线上,即甲乙.故选C.答案:C3.已知实数a,b,c满足a+2b+c=2,则()A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一个不小于12解析:假设a,b,c均小于12,则a+2b+c180,这与三角形的内角和为180矛盾,故假设错误.所以一个三角形不能有两个直角.假设ABC中有两个直角,不妨设A=90,B=90.上述步骤的正确顺序为.(只填序号)解析:根据反证法知,上述步骤的正确顺序应为.答案:6.如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直.证明如图,连接AB,假设AC平面SOB.因为直线SO平面SOB,所以ACSO.因为SO底面圆O,所以SOAB.又因为ABAC=A,所以SO平面ABC.所以平面ABC底面圆O.这显然与AB底面圆O矛盾,所以假设不成立.故AC与平面SOB不垂直.7.已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解:不存在.理由如下:假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O,则OPOQ.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由方程组ax-y=1,x2-2y2=1消去y,整理得(1-2a2)x2+4ax-3=0,则x1+x2=-4a1-2a2,x1x2=-31-2a2.因为x1x2+y1y