2020版高中数学第一章计数原理1.2.2组合练习（含解析）新人教A版.docx

1.2.2组合课时过关能力提升基础巩固1C62+C75的值为()A.72B.36C.30D.42解析:C62+C75=6521+7621=15+21=36.答案:B2某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有()A.16种B.36种C.42种D.60种解析:若选择了2个城市,则有C42C32A22=36种投资方案;若选择了3个城市,则有C43A33=24种投资方案,因此共有36+24=60种投资方案.答案:D3某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有()A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为C83-C53-C33=45.答案:A4氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的排列顺序,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为()A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有C73=35种取法,比如选出a,b,c3种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种改变方法,故不同的改变方法有235=70种.答案:C5某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分配方法有()A.80种B.90种C.120种D.150种解析:有两类情况:(1)其中一所学校3名教师,另两所学校各1名教师的分法有C53A33=60种;(2)其中一所学校1名教师,另两所学校各2名教师的分法有C51C422A33=90种,故共有150种不同的分配方法.答案:D6在直角坐标系xOy平面上,平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条,则由这12条直线组成的图形中,矩形共有个.解析:从平行于x轴的6条直线中任取两条,再从平行于y轴的6条直线中任取两条,就能组成一个矩形,所以共有矩形C62C62=225个.答案:2257某书店有11种杂志,2元1本的有8种,1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志(每种至多买1本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数为.(用数字作答)解析:由已知分两类情况:(1)买5本2元的买法种数为C85.(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C84C32.故不同的买法种数为C85+C84C32=266.答案:2668从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有种.(用数字作答)解析:第一步安排周六有C73种方法,第二步安排周日有C43种方法,故不同的安排方案共有C73C43=140种.答案:1409用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有C31A33+C32A33C41=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有C32A33C41+C31C32A33C31=234个,共有90+234=324个.答案:324108人排成一排,其中甲、乙、丙3人中有2人相邻,则这3人不同时排在一起的排法有多少种?解:先排甲、乙、丙以外的5人有A55种排法;再从甲、乙、丙3人中选2人排在一起并插入已排好的5人的6个间隔中有C61A32种排法,余下的1人可以插入另外5个间隔中有C51种排法,由分步乘法计数原理知,共有A55C61A32C51=21600种排法.11(1)求证:Cm+2n=Cmn+2Cmn-1+Cmn-2;(2)解方程:3Cx-3x-7=5Ax-42.(1)证明:由组合数的性质Cn+1m=Cnm+Cnm-1可知,右边=(Cmn+Cmn-1)+(Cmn-1+Cmn-2)=Cm+1n+Cm+1n-1=Cm+2n=左边.右边=左边,所以原式成立.(2)解:原式可变形为3Cx-34=5Ax-42,即3(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)4321=5(x-4)(x-5),所以(x-3)(x-6)=542=85.所以x=11或x=-2(舍去负根).经检验,x=11符合题意,所以方程的解为x=11.能力提升15个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是()A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类:一类是除甲球外,A盒还放其他球,共A44=24种放法;另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有C42A33=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C2某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为()A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得C63-Cx3=16,即x(x-1)(x-2)+166=654.解得x=4,故女生有2人.答案:A3考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A.4225B.2225C.275D.475解析:甲、乙各能连成C62=15条直线,如图,其中有6对平行线,所求概率P=1211515=475.故选D.答案:D4已知一组曲线y=13ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为()A.9B.10C.12D.14解析:y=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有C22组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有C32组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有C42组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有C32组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有C22组.故共有C22+C32+C42+C32+C22=14组曲线,它们在x=1处的切线相互平行.答案:D5如图,一只电子蚂蚁在网格线上由原点O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,nN*),记可能的爬行方法总数为f(m,n),则f(m,n)=.解析:从原点O出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为1,向右为0,则爬到点(m,n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m,n)是m个0和n个1的不同排列方法数.m个0和n个1共占(m+n)个位置,只要从中选取m个放0即可.故f(m,n)=Cm+nm.答案:Cm+nm6如图,工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的两个螺丝.则不同的固定方式有种.(用数字作答)解析:第一阶段,先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有C61种方法,再随意拧第三个螺丝,和其对角线上的,有C41种方法,然后随意拧第五个螺丝,和其对角线上的,有C21种方法;第二阶段,先随意拧一个螺丝,有C61种方法,再随意拧不相邻的,若拧的是对角线上的,则还有4种拧法,若拧的是不相邻斜对角线上的,则还有6种拧法.所以总共的固定方式有C61C41C21C61(4+6)=2880种.答案:2 8807在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为.(用数字作答)解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4C53种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2C43种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4C21种取法.因此,满足题意的不同取法共有4C53+2C43+4C21=56种.答案:568在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有C42=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有C41=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有C40=1个信息.由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.9在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解: (1)先选内科医生有C63种选法,再选外科医生有C42种选法,故选派方法的种数为C63C42=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为C61C44+C62C43+C63C42+C64C41=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为C105-C65=