2020版高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法练习（含解析）新人教A版.docx

一数学归纳法基础巩固1设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)k2成立D.若f(4)=25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立答案：D2满足12+23+34+n(n+1)=3n2-3n+2的自然数n等于()A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4解析：经验证当n=1,2,3时均正确,但当n=4时,左边=12+23+34+45=40,而右边=342-34+2=38,故选C.答案：C3设f(n)=1+12+13+13n-1(nN+),则f(n+1)-f(n)等于()A.13n+2B.13n+13n+1C.13n+1+13n+2D.13n+13n+1+13n+2解析：因为f(n)=1+12+13+13n-1,所以f(n+1)=1+12+13+13n-1+13n+13n+1+13n+2.所以f(n+1)-f(n)=13n+13n+1+13n+2.答案：D4用数学归纳法证明：1+a+a2+an+1=1-an+21-a(a1),在验证n=1时,左边计算所得的项为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析：令n=1,则等式左边=1+a+a2.答案：C5观察式子:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;则得出结论:.答案：n+(n+1)+(3n-2)=(2n-1)26用数学归纳法证明时:设f(k)=14+27+k(3k+1)=k(k+1)2,则f(k+1)=.答案：14+27+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)27用数学归纳法证明1+2+3+n2=n4+n22时,当n=k+1时,应在n=k时的左端加上.解析：n=k时,左端为1+2+3+k2,n=k+1时,左端为1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.答案：(k2+1)+(k2+2)+(k+1)28用数学归纳法证明34n+1+52n+1(nN+)能被14整除,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1应变形为.解析：34(k+1)+1+52(k+1)+1=34k+5+52k+3=8134k+1+2552k+1=8134k+1+8152k+1-5652k+1=81(34k+1+52k+1)-5652k+1.答案：81(34k+1+52k+1)-5652k+19用数学归纳法证明12-22+32-42+52-+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN+).证明：(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1(21+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).则当n=k+1时,12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-2(k+1)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-2(k+1)2=-2k2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=-(k+1)2(k+1)+1,即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对任意nN+,等式成立.10已知数列an满足a1=1,an=3n-1+an-1(n2).(1)求a2,a3;(2)证明：:an=3n-12(nN+).解: (1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)证明：当n=1时,a1=1=31-12.故命题成立.假设当n=k(k1)时命题成立,即ak=3k-12.那么当n=k+1时,ak+1=ak+3k=3k-12+3k=3k-1+23k2=3k+1-12,即当n=k+1时,命题也成立.由知,命题对nN+都成立,即an=3n-12(nN+).能力提升1在数列an中,a1=2-1,前n项和Sn=n+1-1,先算出数列的前4项的值,根据这些值归纳猜想数列的通项公式是()A.an=n+1-1B.an=nn+1-1C.an=2n-nD.an=n+1-n解析：由题意,可知S2=a1+a2=3-1.a1=2-1,a2=3-1-2+1=3-2,S3=a1+a2+a3=4-1.a3=S3-S2=4-3.同理,可得a4=S4-S3=5-4,故可猜想an=n+1-n.答案：D2一个关于自然数n的命题,如果验证当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k1且kN+)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综上所述,对于()A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C.一切正偶数命题成立D.以上都不对答案：B3设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(k)+k+1B.f(k+1)=f(k)+k-1C.f(k+1)=f(k)+kD.f(k+1)=f(k)+k+2解析：当n=k+1时,任取其中1条直线,记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点).又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f(k)+k=f(k+1).答案：C4已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第60个数对是.解析：设每个数对内的两数之和为k,则组成数对的个数为ak=k-1,k=2,3,由不等式Sk=(1+k-1)(k-1)2=k(k-1)260,得k(k-1)120,则k的最大值为11,且S11=11102=55,第56个数对之和为12,即(1,11),后面的依次为(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),所以第60个数对为(5,7).答案：(5,7)5如图,第n个图形是由正(n+2)边形“扩展”而来(n=1,2,3,),则第(n-2)个图形中共有条边.解析：设an为第n个图形的边数,则由题图可知:第1个图形有12条边,a1=12;第2个图形有20条边,a2=20;第3个图形有30条边,a3=30;第4个图形有42条边,a4=42;第5个图形有56条边,a5=56;则an=(n+2)(n+3),故an-2=n(n+1)=n2+n.答案：n2+n6设an=1+12+13+1n(nN+),是否存在关于n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+an-1=g(n)(an-1)对大于1的一切自然数n都成立?证明你的结论.解:假设g(n)存在,则当n=2时,a1=g(2)(a2-1),即1=g(2)1+12-1,故g(2)=2.当n=3时,a1+a2=g(3)(a3-1),即1+1+12=g(3)1+12+13-1,故g(3)=3.当n=4时,a1+a2+a3=g(4)(a4-1),即1+1+12+1+12+13=g(4)1+12+13+14-1,故g(4)=4.由此猜想g(n)=n(n2,nN+).下面用数学归纳法证明当n2,nN+时,等式a1+a2+an-1=n(an-1)成立.(1)当n=2时,a1=1,g(2)(a2-1)=21+12-1=1,结论成立.(2)假设当n=k(kN+,k2)时结论成立,即a1+a2+ak-1=k(ak-1)成立.那么当n=k+1时,a1+a2+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1=(k+1)ak+1k+1-1=(k+1)(ak+1-1),说明当n=k+1时,结论成立.由(1)(2)可知,对一切大于1的自然数n,存在g(n)=n,使等式a1+a2+an-1=g(n)(an-1)成立.7已知数列114,147,1710,11013,1(3n-2)(3n+1),计算数列和S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.解:S1=114=14,S2=14+147=27,S3=27+1710=310,S4=310+11013=413.上面四个结果中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想Sn=n3n+1.证明：(1)当n=1时,左边=S1=14,右边=131+1=14,猜想成立.(2)假设当n=k(kN+)时猜想成立,即114+147+1(3k-