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基本不等式的证明,无锡辅仁高中 魏 民,问 题 情 境 1,对任意实数x、y，有 恒成立，即 .,探究： 1. 分别用 代替上面不等式中的x、y， 会得到什么式子 ？,2. 对上述实数a、b，须有何限制条件？,3. 上述不等关系中，何时取到“=”？,问 题 情 境 2,如图, AB为半圆的直径, C为圆周上一动点, H为垂足. 设AH=a, HB=b,半弦CH不大于半径CO,把 称为a, b的算术平均数，,把 称为a, b的几何平均数.,探究： 1试指出图中哪些线段的长度分别等于a, b的算术平均数 和几何平均数？,2能否比较出两者的大小关系？,（二）发现基本不等式,数：,形：半弦不大于半径,（三）构建基本不等式,如果 ，那么 （当且仅当a=b时取“=”）.,这个不等式称为基本不等式.,刚才，我们从数和形两个角度找到也证明了基本不等式. 那么, 这个基本不等式还有其他哪些证明方法呢?,（四）基本不等式的证明（比较法）,证明不等式本质上就是比较大小， 那么比较大小最常用的方法是什么呢？,比较法，作差(或作商),（三）基本不等式的证明（比较法）,说明：比较法证明不等式的步骤： 作差（或作商）， 变形：通分、因式分解、配方等， 判断差式的符号， 结论.,(当且仅当a=b时取“=”).,基本不等式的证明（分析法）,求证:,刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的， 确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的 例如,请看,基本不等式的证明（分析法）,要证 ，,只要证 ，,只要证 ，,只要证 ，,因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,只要证 .,当且仅当a=b时取“=”.,基本不等式的证明（分析法）,要证 ,只要证 ,只要证 ,只要证 .,因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立,当且仅当a=b时取“=”.,基本不等式的证明（分析法）,基本不等式的证明（分析法）,不过，有的同学觉得还是习惯于传统的从已知条件出发推导出要证的结论.,基本不等式的证明（综合法）,(当且仅当a=b时取“=”).,证明：,综合法： 从已知或事实出发，根据不等式的性质推导出要证的不等式.,基本不等式的证明（综合法）,分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，易于发现思路. 综合法的优点是易于表述，条理清楚，形式简洁. 证明不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程,（五）基本不等式的简单应用,如果 ，那么 （当且仅当a=b时取“=”）.,这个不等式称为基本不等式.,基本不等式的变式：,（五）基本不等式的简单应用,例 证明下列不等式 （1） (a0)；,思考1： 第（1）题若将a0 改为a0 ，要证的不等式有何变化？ 如何证明？,（五）基本不等式的简单应用,结论： (a0) ；,(a0) .,（五）基本不等式的简单应用,例 证明下列不等式 （2） (a1).,思考2： 第（2）题若将 a 1改为a 1，求 的取值范围.,课 堂 小 结,在应用基本不等式时，要注意哪些问题?,不等式的证明有哪几种常用的方法呢？,基本不等式成立的条件是a0，b0， 及当且仅当a=b时等号成立,比较法，分