（江苏专用）2020版高考数学一轮复习第四章三角函数4.2三角恒等变换课件.pptx

4.2 三角恒等变换,高考数学 (江苏省专用),A组 自主命题江苏卷题组,五年高考,1.(2019江苏,13,5分)已知 =- ,则sin 的值是 .,答案,解析 本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式等知识,考查学生的运算求 解能力,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. =- , tan =- tan =- , 整理得3tan2-5tan -2=0, tan =- 或tan =2. sin = (sin 2+cos 2) = = . 当tan =- 时,sin = ;,当tan =2时,sin = . 所以答案为 .,一题多解 =- , =- . =- . =- . sin = .,2.(2017江苏,5,5分)若tan = ,则tan = .,答案,解析 本题考查两角和的正切公式. 因为tan = , 所以tan =tan = = = .,3.(2015江苏,8,5分)已知tan =-2,tan(+)= ,则tan 的值为 .,答案 3,解析 解法一:tan =tan(+)-= = =3. 解法二:tan(+)= = = ,解得tan =3.,4.(2018江苏,16,14分)已知,为锐角,tan = ,cos(+)=- . (1)求cos 2的值; (2)求tan(-)的值.,解析 本题主要考查同角三角函数关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力. (1)因为tan = ,tan = ,所以sin = cos . 因为sin2+cos2=1,所以cos2= , 所以cos 2=2cos2-1=- . (2)因为,为锐角,所以+(0,). 又因为cos(+)=- , 所以sin(+)= = , 因此tan(+)=-2. 因为tan = ,所以tan 2= =- . 因此tan(-)=tan2-(+) = =- .,方法提炼 应用三角公式解决问题的三个变换角度: (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”“升幂与降 幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常 有“常值代换”“逆用变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,1.(2019课标全国文改编,5,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零点个数为 .,答案 3,解析 本题考查函数零点个数的判断,以三角函数为背景同时考查三角函数式的求值与化简, 以及学生的运算求解能力和函数与方程思想的应用,考查了数学运算的核心素养. 由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0得sin x=0或cos x=1, x=k,kZ,又x0,2,x=0,2,即零点有3个.,解题关键 遵循角度统一原则,利用二倍角的正弦公式展开计算是解决本题的关键.,2.(2019课标全国理改编,10,5分)已知 ,2sin 2=cos 2+1,则sin = .,答案,解析 本题考查了三角恒等变换以及同角三角函数的基本关系;考查了学生对方程的思想方 法的综合运用,以及运算求解能力;通过三角恒等变换考查了逻辑推理、数学运算的核心素养. 由二倍角公式可知4sin cos =2cos2. ,cos 0, 2sin =cos ,tan = ,sin = .,技巧点拨 常见与“1”有关的三角恒等变换:1+sin 2=(sin +cos )2;1-sin 2=(sin -cos )2;1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2; = ; = .,3.(2018课标全国理改编,4,5分)若sin = ,则cos 2= .,答案,解析 由sin = ,得cos 2=1-2sin2=1-2 =1- = .,4.(2018课标全国文,15,5分)已知tan = ,则tan = .,答案,解析 本题主要考查两角差的正切公式. tan = = = , 解得tan = .,5.(2017山东文改编,4,5分)已知cos x= ,则cos 2x= .,答案,解析 本题考查二倍角的余弦公式. 因为cos x= ,所以cos 2x=2cos2x-1=2 -1= .,6.(2017课标全国文,15,5分)已知 ,tan =2,则cos = .,答案,解析 因为 ,且tan = =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所以sin = ,cos = ,则cos =cos cos +sin sin = + = .,易错警示 在求三角函数值时,常用到sin2+cos2=1和tan = ,同时要注意角的范围,以确 定三角函数值的正负.,7.(2016课标全国理改编,9,5分)若cos = ,则sin 2= .,答案 -,解析 解法一:cos = , sin 2=cos =cos =2cos2 -1=2 -1=- . 解法二:cos = (cos +sin )= cos +sin = 1+sin 2= ,sin 2=- .,导师点睛 求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示: (1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差; (2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关 系”.,8.(2016课标全国改编,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos 的最大值为 .,答案 5,解析 f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 + ,当sin x=1时, f(x)取得最大值5.,思路分析 利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos 转化为关于sin x的二次 函数,通过配方法来求最值,注意不要忘记sin x-1,1.,9.(2016课标全国改编,6,5分)若tan =- ,则cos 2= .,答案,解析 解法一:因为tan =- ,所以cos 2=cos2-sin2= = = . 解法二:由tan =- ,可得sin = , 因而cos 2=1-2sin2= .,评析 本题考查化归与转化的能力.属中档题.,10.(2016四川理,11,5分)cos2 -sin2 = .,答案,解析 由二倍角公式易得cos2 -sin2 =cos = .,1.(2015四川,12,5分)sin 15+sin 75的值是 .,C组 教师专用题组,答案,解析 sin 15+sin 75=sin 15+cos 15= sin(15+45)= sin 60= .,2.(2015重庆改编,9,5分)若tan =2tan ,则 = .,答案 3,解析 = = = = , tan =2tan , = =3.,3.(2014课标全国改编,8,5分)设 , ,且tan = ,则2-= .,答案,解析 由tan = 得 = ,即sin cos =cos +sin cos ,所以sin(-)=cos ,又cos =sin ,所以sin(-)=sin ,又因为 , ,所以- - ,0 - , 因此-= -,所以2-= .,4.(2013课标全国理,15,5分)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos = .,答案 -,解析 由辅助角公式得f(x)= = sin(x-),其中sin = ,cos = ,由x =时, f(x)取得最大值得:sin(-)=1,-=2k+ ,kZ,即=+ +2k,kZ,cos =cos =-sin =- .,评析 本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.,5.(2014江苏,15,14分)已知 ,sin = . (1)求sin 的值; (2)求cos 的值.,解析 (1)因为 ,sin = , 所以cos =- =- . 故sin =sin cos +cos sin = + =- . (2)由(1)知sin 2=2sin cos =2 =- , cos 2=1-2sin2=1-2 = , 所以cos =cos cos 2+sin sin 2 = + =- .,思路分析 (1)先根据的范围及sin 的值求出cos ,然后用两角和的正弦公式求解即可.(2)出 现二倍角,联想到利用二倍角公式求解,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019扬州中学检测,7)已知 , ,sin(+)=- ,cos =- ,则sin 的值等于 .,答案,解析 由00, cos(+)=- =- , sin = = . sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin = - = .,2.(2019南京六校联合体联考,9)已知tan =- , ,则sin 的值是 .,答案,解析 tan =- , , tan =tan = = , 故sin = ,cos = , sin = sin + cos = .,评析 本题考查了两角和的正弦、正切公式,同角三角函数的基本关系式,考查了计算能力,属 于基础题.,3.(2019扬州中学检测,8)已知tan(+)=1,tan(-)=2,则 的值为 .,答案 1,解析 tan(+)=1,tan(-)=2, = = = = =1.,思路分析 分析条件与结论中角之间的关系发现:2=(+)+(-),2=(+)-(-),这样就可以 将 用条件中的角表示出来.,4.(2019海安期末,10)已知sin(2+)=psin ,tan(+)=ptan ,其中p为正的常数,且p1,则p的值 为 .,答案 +1,解析 由sin(2+)=psin 得sin(+)=psin(+-), 即sin cos(+)+cos sin(+)=psin(+)cos -cos(+)sin , 即(p+1)sin cos(+)=(p-1)sin(+)cos , 即 tan =tan(+), 所以 =p,即p2-2p-1=0,解得p=1 . 又p为正的常数,所以p= +1.,思路分析 三角函数的变换可以从角的关系入手找思路,第一个条件是2与的关系,第二个 条件是+与的关系,只需把前面的角用+与表示即可.于是就有了以下处理方法:由sin(2 +)=psin 得sin(+)=psin(+-),然后左右展开,弦化切,从而得到关于p的方程,解得常数p 的值.,5.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,9)已知cos =- , ,则sin = .,答案,解析 cos =- , (cos -sin )=- ,cos -sin =- , , , 则1-2sin cos = ,sin 2= , 又 2,cos 2=- . sin =sin 2cos -cos 2sin = - = .,6.(2019海安中学检测,9)若cos xcos y+sin xsin y= ,sin 2x+sin 2y= ,则sin(x+y)= .,答案,解析 cos xcos y+sin xsin y= ,cos(x-y)= . 又sin 2x+sin 2y= , sin(x+y)+(x-y)+sin(x+y)-(x-y) =2sin(x+y)cos(x-y)= , sin(x+y)= .,7.(2019海安高级中学检测,9)若cos =2cos ,则tan = .,答案,解析 cos =2cos , cos =2cos , 展开得cos cos +sin sin =2 , 所以有cos cos =3sin sin , tan = = = = = .,8.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,15)已知a=(cos ,1),b=(1,sin ), ,若ab= . (1)求sin 的值; (2)求cos 的值.,解析 (1)由题意知ab=cos +sin = sin = ,所以sin = . (2分) 因为 ,所以+ , 所以cos =- =- . (5分) 所以sin =sin = sin - cos = - = . (7分) (2)由(1)知sin = ,cos =- , 所以cos =1-2sin2 = , sin =2sin cos =- , (10分),所以cos =cos = cos + sin =- . (14分),评分细则 第(1)问角的范围不写扣1分,结果多解扣1分;第(2)问其他方法酌情给分,整个解答 过程无公式的展示扣2分,但不重复扣分.,一、填空题(每小题5分,共35分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：25分钟 分值：50分),1.(2019无锡期中,9)已知sin = ,则sin +sin 的值为 .,答案,解析 sin =sin =sin = , sin =sin =cos =cos =1-2sin2 =1-2 = , 所以sin +sin = .,2.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),12)已知sin =3sin ,则tan = .,答案 2 -4,解析 由sin =3sin ,可得 sin =3sin , 整理可得sin cos =-2cos sin , 所以tan =-2tan =-2tan =-2 =2 -4.,解后反思 本题的求解关键是将sin =3sin 变形为sin =3sin .,3.(2019扬州期末,12)设a,b是非零实数,且满足 =tan ,则 = .,答案,解析 tan =tan = = , tan = = ,所以 = .,4.(2017扬州期末,10)已知 , + =2 ,则sin = .,答案,解析 由 + =2 得sin +cos =2 sin cos ,两边平方得1+sin 2=2sin22, 解得sin 2=- 或sin 2=1, ,2(,2), -1sin 20,sin 2=- , sin -cos = = ,sin +cos =- , cos 2=(cos +sin )(cos -sin )= , 则sin =sin 2cos +cos 2sin =- + = .,5.(2019海安高级中学期中,14)在ABC中,已知sin A=13sin Bsin C,cos A=13cos Bcos C,则tan A +tan B+tan C的值为 .,答案 196,解析 cos A,cos B,cos C均不为0,sin A=13sin Bsin C,cos A=13cos Bcos C, tan A=tan Btan C, cos A=13cos Bcos C,且cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C, sin Bsin C=14cos Bcos C,tan Btan C=14, tan B+tan C=tan(B+C)(1-tan Btan C) =-tan A(1-tan Btan C)=-tan A+tan Atan Btan C, tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C=196.,名师点睛 三角形中的常见结论是tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,于是本题就把条件与 正切联系去寻找解题思路.,6.(2019南京、盐城二模,14)在ABC中,若sin C=2cos Acos B,则cos2A+cos2B的最大值为 .,答案,解析 因为sin C=2cos Acos B,所以sin(A+B)=2cos Acos B, 化简,得tan A+tan B=2. cos2A+cos2B= + = + = = = . 易知(tan Atan B)2-2tan Atan B+50, 令6-2tan Atan B=t(t0), cos2A+cos2B= = (当且仅当t=4 时取等).,7.(2019泰州期末,14)在ABC中,已知sin Asin Bsin(C-)=sin2C,其中tan = ,若 + + 为定值,则实数= .,答案,解析 由tan = ,得sin = ,cos = , 由sin Asin Bsin(C-)=sin2C,得 sin Asin B =sin2C, 即 = . + + = + + = + = + = + = - + , 设 + + =k(k为定值),即2 sin C- cos C+10cos C=5ksin C, 即 (2sin C-cos