（江苏专用）2020版高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积及其应用课件.pptx

5.2 平面向量的数量积及其应用,高考数学 (江苏省专用),五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,1.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 =6 ,则 的值是 .,答案,解析 本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查 学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算. 过D作DFEC,交AB于F. D为BC的中点,F为BE的中点, 又BE=2EA, EF=EA, 又DFEO, AO= AD, = = ( + )., = ( + ) = . =6 , = - + , =3 , | |= | |, = .,一题多解 由于题目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90,AB=c,AC=b,建立如图所示 的平面直角坐标系. 则E ,D ,易得lAD:y= x,lEC: + =1, 联立得 解得 则O . 由 =6 得6 =0, c2=3b2,c= b, = .,2.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点, =4, =-1,则 的值是 .,答案,解析 解法一: = =( + )( - ) = - , 同理, = - , = - , 因为E,F是AD上的两个三等分点, 所以 =9 , =4 , 由-可得8 =5,即 = . 由可得 = +3 =-1+ = . 解法二:由已知可得 = + = + = - = ( - )- ( + )= - , = + = + = - = ( - )- ( + ),= - , = + = + = ( - )- ( + ) = - , = + = + = ( - )- ( + ) = - , 因为 =4,所以 =4, 则 = - = - - + = - ( + ),= 4- ( + )=-1, 所以 + = , 从而 = - =- - + =- ( + )+ =- + 4= = .,3.(2015江苏,14,5分)设向量ak= (k=0,1,2,12),则 (akak+1)的值为 .,答案 9,解析 akak+1= cos ,sin +cos =cos cos + =cos cos +sin sin +sin cos +cos sin +cos cos =cos +sin +cos cos = +sin + cos2 - cos sin = +sin + - sin = +sin + cos . 因为y=sin ,y= cos 的周期皆为6,一个周期内的函数值和皆为零, 因此 (akak+1)= 12=9 .,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 平面向量的数量积,1.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m= .,答案 8,解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0,m=8.,易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆.,2.(2019课标全国理改编,3,5分)已知 =(2,3), =(3,t),| |=1,则 = .,答案 2,解析 本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方程的 思想方法.考查的核心素养为数学运算. = - =(1,t-3), | |= =1,t=3, =(2,3)(1,0)=2.,思路分析 先利用| |=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积.,3.(2019课标全国理改编,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为 .,答案,解析 本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思想; 考查的核心素养是数学建模和数学运算. 解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos = ,又知0,所以= . 解法二:如图,令 =a, =b,则 = - =a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以 AOB= ,即= .,思路分析 本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形 中,由题设直接得到两向量的夹角.,4.(2019课标全国理,13,5分)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a- b,则cos= .,答案,解析 本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、 夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养. |a|=|b|=1,ab=0, ac=a(2a- b)=2a2- ab=2, |c|=|2a- b|= = =3. cos= = .,5.(2018课标全国理改编,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)= .,答案 37,解析 因为|a|=1,ab=-1, 所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.,6.(2017课标全国理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .,答案 2,解析 本题考查平面向量的模与数量积的计算,考查学生的运算求解能力. 解法一(公式法):由题意知ab=|a|b|cos 60=21 =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4 =12.所以|a+2b|=2 . 解法二(坐标法):根据已知条件建立恰当的坐标系,由题意,不妨取a=(2,0),b= ,则a+2b= (3, ),所以|a+2b|= =2 .,7.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|ae|+|be| ,则ab的最 大值是 .,答案,解析 对任意单位向量e,均有 |ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|,|a+b| ,当且仅当a+b与e 共线时,等号成立.a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2,ab ,即ab的最大值为 .,考点二 数量积的综合应用,1.(2019课标全国文改编,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= .,答案,解析 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|= = .,一题多解 a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,则|a-b|= = = .,2.(2019天津理,14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2 ,AD=5,A=30,点E在线段CB的延 长线上,且AE=BE,则 = .,答案 -1,解析 本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考 查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学 生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,EAB=30, 在EAB中,AB=2 ,EA=EB=2. 以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示. 则A(0,0),D(5,0),E(1, ),B(3, ), =(2,- ), =(1, ), =(2,- )(1, )=-1. 解法二:同解法一,得AB=2 , 以 , 为一组基底, 则 = - , = + = - , =( - ) = - + - = - - = 52 -12- 25=-1.,3.(2018北京理改编,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的 .(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”或“既不充分又不必要 条件”),答案 充分必要条件,解析 本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断. |a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b22a2+3ab-2b2=0,又|a|=|b|=1,ab=0 ab.,4.(2018天津文改编,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120, =2 , =2 ,则 的值为 .,答案 -6,解析 本题考查向量的运算. 解法一:连接OA. = - =3 -3 =3( - )-3( - )=3( - ), =3( - ) =3( -| |2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6. 解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分 别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为MON=120,ON=2,OM=1,所以O ,C ,M ,B . 故 = =- - =-6.,5.(2018天津理改编,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD =1.若点E为边CD上的动点,则 的最小值为 .,答案,解析 本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0), B ,C(0, ),令E(0,t),t0, , =(-1,t) =t2- t+ ,t0, ,当t =- = 时, 取得最小值,( )min= - + = . 解法二:令 = (01),由已知可得DC= , = + , = + = + + , =( + )( + + ) = +| |2+ +2| |2,=32- + . 当=- = 时, 取得最小值 .,方法总结 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可 用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.,6.(2018浙江改编,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,向量b 满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是 .,答案 -1,解析 本题考查平面向量的数量积、坐标运算、向量模的最值和点到直线的距离. 设 =a, =b, =e,以O为原点, 的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0).不妨 设A点在第一象限,a与e的夹角为 ,点A在从原点出发,倾斜角为 ,且在第一象限内的射 线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而 = a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y= x(x0)的距 离减去圆的半径,所以|a-b|min= -1.,一题多解 将b2-4eb+3=0转化为b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 设 =e, =a, =b, =3e, =2e,则 , 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. |a-b|=| |,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离 减去圆的半径. | |=2,AOM= ,|a-b|min=2sin -1= -1.,7.(2017课标全国理改编,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点, 则 ( + )的最小值是 .,答案 -,而 = = , 当P与E重合时, 有最小值0,故此时 ( + )取最小值, 最小值为-2 =-2 =- .,方法总结 在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用 = - 可快 速求出最值.,一题多解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图, 则A(-1,0),B(1,0),C(0, ),设P(x,y),取BC的中点D,则D . ( + )=2 =2(-1-x,-y) =2 =2 . 因此,当x=- ,y= 时, ( + )取得最小值,为2 =- .,8.(2015福建改编,9,5分)已知 ,| |= ,| |=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且 = + ,则 的最大值等于 .,答案 13,解析 以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B (t0),C (0,t),P(1,4), = (-1,t-4)=17- 17-22=13 ,故 的最大值为13.,9.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分别 在线段BC和DC上,且 = , = ,则 的最小值为 .,答案,解析 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C ,D . 由 = 得E ,由 = 得F .,从而 = = + + +2 = 当且仅当= 时,取等号 .,C组 教师专用题组,考点一 平面向量的数量积,1.(2014课标全国改编,3,5分)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则ab= .,答案 1,解析 由|a+b|= 得a2+b2+2ab=10, 由|a-b|= 得a2+b2-2ab=6, -得4ab=4,ab=1.,2.(2013课标全国,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t= .,答案 2,解析 解法一:bc=0, bta+(1-t)b=0,tab+(1-t)b2=0, 又|a|=|b|=1,=60, t+1-t=0,t=2.,解法二:由题意作 =a, =b,=60,| |=| |=1,设 =c,则由c=ta+(1-t)b及bc=0,知 A、B、C三点共线且BOC=90,如图,可知C在BA的延长线上,所以A为BC的中点,即a= b+ c,所以c=2a-b,所以t=2.,思路分析 可以利用向量的数量积运算列方程求得t值;也可以将题中满足条件的向量用共起 点的有向线段表示,从而画出符合条件的几何图形,通过分析图形中向量终点间的位置关系求 得t的值.,3.(2013课标全国,14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 = .,答案 2,解析 解法一: = ( - )= - +0=22- 22=2. 解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2). =(1,2), =(-2,2). 从而 =(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.,评析 本题考查了向量的基本运算.向量的运算可以利用运算法则也可以利用坐标运算.,4.(2012江苏,9,5分)如图,在矩形ABCD中,AB= ,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若 = ,则 的值是 .,答案,解析 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,设F(x,2), =(x,2), =( ,0), = x= , F(1,2), = .,5.(2012课标,13,5分)已知向量a,b的夹角为45,且|a|=1,|2a-b|= ,则|b|= .,答案 3,解析 |2a-b|= ,(2a-b)2=10,4+|b|2-4|a|b|cos 45=10,|b|=3 .,6.(2011课标全国文改编,3,5分)设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=- ,则|a+2b|= .,答案,解析 因为|a|=|b|=1,ab=- ,所以|a+2b|= = = .,考点二 数量积的综合应用,1.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为 .,答案 7,解析 解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径. 故 + =2 =(-4,0)(O为坐标原点). 设B(cos ,sin ), =(cos -2,sin ), + + =(cos -6,sin ),| + + |= = =7,当 且仅当cos =-1时取等号,此时B(-1,0),故| + + |的最大值为7. 解法二:同解法一得 + =2 (O为坐标原点),又 = + ,| + + |=|3 + | 3| |+| |=32+1=7,当且仅当 与 同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故| + + | max=7.,评析 本题考查向量的坐标运算,向量的模等基础知识,对能力要求较高.,2.(2009江苏,15,14分)设向量a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ),c=(cos ,-4sin ). (1)若a与(b-2c)垂直,求tan(+)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tan tan =16,求证:ab.,解析 (1)a与(b-2c)垂直, a(b-2c)=ab-2ac=0, 即4cos sin +4sin cos -8cos cos +8sin sin =0, 即4sin(+)-8cos(+)=0,tan(+)=2. (2)b+c=(sin +cos ,4cos -4sin ), |b+c|2=sin2+2sin cos +cos2+16cos2-32cos sin +16sin2=17-30sin cos =17-15sin 2,其最 大值为32,所以|b+c|的最大值为4 . (3)证明:由tan tan =16,得sin sin =16cos cos , 即4cos 4cos -sin sin =0, 所以ab.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 平面向量的数量积,1.(2019无锡期中,5)已知向量a,b的夹角为120,|a|=4,|b|=3,则|2a+b|的值为 .,答案 7,解析 因为ab=|a|b|cos 120=-6, 所以|2a+b|= = = =7.,2.(2019南通基地学校3月联考,10)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A( ,1)在以原点O为圆心 的圆上.已知圆O与y轴正半轴的交点为P,延长AP至点B,使得AOB=90,则 = .,答案 2,解析 由题意可知圆的半径为r= =2,则P(0,2),由AOB=90可得 =0,故 =( + ) = + =(0,2)( ,1)=2.,3.(2019连云港期中,12)在三角形ABC中,AB=3,AC=1,A= ,AD是A的平分线,则 = .,答案,解析 如图所示,AD是A的平分线, = =3, = + = + = + ( - )= + , = = + = + 31cos = .,一题多解 AD为A的平分线,A= , BAD=CAD= , SABD+SACD=SABC, ABADsinBAD+ ACADsinCAD= ABACsinBAC, 3AD+AD=3,AD= , =3 cos = .,4.(2019靖江检测,11)在等腰梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=1,DAB=60,若 =3 , = ,且 =-1,则实数的值为 .,答案,解析 解法一: =( + )( + ) = ( + ) = ( + ) = ( - ) = | |2- | |2+ | | |cos 60 = - + =-1. 解得= . 解法二:如图,建立平面直角坐标系,则E ,F(2,0),D ,则 = , = , 所以 = + =-1. 解得= .,评析 基底法与建系法是解决向量问题的两种常用方法,要会根据条件选择合适的方法,简化 解题过程.,5.(2019南京、盐城二模,12)已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高,点P在DA的延长线上, 且满足( + ) =4 .若AD= ,则 的值为 .,答案 2,解析 由ADBC,得 = =0, 因为( + ) =4 ,所以(2 + + ) =4 , 所以 =2 ,即| | |cos 0=2 ,所以| |=2, 所以 =( + )( + )= + = +| | |cos = -| | |=| |2-| |2=4-2=2.,考点二 数量积的综合应用,1.(2017江苏六校联考,12)在ABC中,已知AB=8,AC=6,点O为三角形的外心,则 = .,答案 14,解析 设AB,AC的中点分别为M,N,连接OM,ON, 由题意知MOAB,ONAC, 从而( - ) =0,( - ) =0, 即 =0, =0, 所以 = =32, = =18, 所以 =( - ) = - =-18+32=14.,2.(2019如皋期末,12)如图,在四边形ABCD中,已知AB=2,CD与以AB为直径的半圆O相切于点D, 且BCAD,若 =-1,则 = .,答案,解析 因为 =-1,所以( + ) =-1,所以 + =-1,因为AB为直径,BC AD,所以BDBC,所以 =0,所以 =-1, 所以| | |cos(-ABD)=-1, 可得| |=1,在RtABD中,易得AD= ,OBD= ,又OB=OD,所以OBD为等边三角形,所以 BOD= ,所以ADO= , 所以 =| | |cos = 1 = .,思路分析 根据题意以及圆的直径所对的圆周角为直角,可得 =-1,求得| |=1,然后求 得OBD为等边三角形,求出BOD= ,得ADO= ,再利用数量积求得结果.,3.(2019海安高级中学检测,13)如图,已知AC=8,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC的同侧 作半圆,M,N分别为两半圆上的动点(不含端点A,B,C),且BMBN,则 的最大值为 .,答案 4,解析 设NBC=, ,因为BMBN,所以MBA= -,则BM=ABcos =4sin , 则 =( - )( - ) = - - + =- - -16=-16+ + =16sin2+16cos -16=-16 +44, 所以 的最大值为4.,一题多解 以BC所在直线为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设NBC=, , 因为BMBN,所以MBA= -, 则BM=ABcos =4sin , 则A(-4,0),C(4,0),N(4cos ,4sin ), 所以M(2cos 2-2,2sin 2), =(2cos 2+2,2sin 2), =(4cos -4,4sin ), 则 =(2cos 2+2)(4cos -4)+2sin 24sin =8cos 2cos +8sin 2sin +8cos -8cos 2-8 =-16 +44, 所以 的最大值为4.,4.(2019扬州期中,12)在ABC中,AH是边BC上的高,点G是ABC的重心,若ABC的面积为 +1,AC= ,tan C=2,则( + )( + )= .,答案 1,解析 在RtAHC中,tan C=2,AC= , 所以 解得AH=2,HC=1, 故AHC的面积为1,又ABC的面积为 +1, 所以ABH的面积为 ,所以BH= . 延长BG交AC于点D,因为G为ABC的重心,所以D为AC的中点,以H为原点建立平面直角坐标 系,如图. 则H(0,0),A(0,2),C(1,0),B(- ,0), 由中点坐标公式,得D ,设G(x,y),由 = ,得(x+ ,y)= , 所以x= ,y= ,所以G . 则 + =(0,-2)+(1+ ,0)=(1+ ,-2), + = + = , 所以( + )( + )=(1+ ,-2) = + =1.,5.(2019南京、盐城二模,15)设向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),其中0,0 ,且a+b与 a-b相互垂直. (1)求实数的值; (2)若ab= ,且tan =2,求tan 的值.,解析 (1)由a+b与a-b互相垂直,可得(a+b)(a-b)=a2-b2=0, 所以cos2+2sin2-1=0. (2分) 又因为sin2+cos2=1,所以(2-1)sin2=0. (4分) 因为00,所以=1. (6分) (2)由(1)知a=(cos ,sin ). 由ab= 得cos cos +sin sin = ,即cos = . (8分) 因为0 ,所以- -0, 所以sin(-)=- =- . (10分) 所以tan(-)= =- , (12分) 因此tan =tan(-)+= = . (14分),6.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,16)已知向量a=(2cos ,2sin ),b=(cos -sin ,cos +sin ). (1)求向量a与b的夹角; (2)若(b-a)a,求实数的值.,解析 (1)设向量a与b的夹角为, 因为|a|=2,|b|= = , (4分) 所以cos = = = = . (7分) 考虑到0,则向量a与b的夹角为 . (9分) (2)若(b-a)a,则(b-a)a=0,即ba-a2=0, (12分) 因为ba=2,a2=4, 所以2-4=0,解得=2. (14分),一、填空题(每小题5分,共40分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：40分钟 分值：55分),1.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,13)如图,在等腰直角三角形ABC中,CAB=90,AB=2,以 AB为直径在ABC外作半圆O,P为半圆弧AB上的动点,点Q在斜边BC上,若 = ,则 的最小值为 .,答案 -,解析 以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2),设P (cos ,sin ),Q(x,y), = ,即(2,0)(x+1,y)= ,Q , 则 = , =(cos +1,sin +2), 故 = cos + - sin - = cos - sin = sin(-),其中tan =2, 0, 的最小值为- .,2.(2019宿迁期末,12)如图所示,矩形ABCD的边AB=4,AD=2,以点C为圆心,CB为半径的圆与CD 交于点E,若点P是圆弧EB(含端点B、E)上的一点,则 的取值范围是 .,答案 8-8 ,0,解析 以C为原点,建立如图所示的平面直角坐标系. 点P的轨迹方程为x2+y2=4(x0,y0),设P(2cos ,2sin ) ,又A(-4,-2),B(0,-2), 则 =(-4-2cos ,-2-2sin ), =(0-2cos ,-2-2sin ), 所以 =8cos +8sin +8=8 sin +8, 因为 , 所以+ ,sin ,则 8-8 ,0. 所以 的取值范围是8-8 ,0.,3.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,12)如图,在ABC中,a、b、c分别是 角A、B、C所对的边,E,F是AB上的两个三等分点,G,H是AC上的两个三等分点,( + )( - )=- ,则bcos C的最小值为 .,答案 1,解析 因为 = - , = - , = - , = - , 所以( + )( - )= =- ( + )( - )=- , 所以AC2-AB2=1,作AMBC,垂足为M, 则AC2-AB2=MC2-BM2=1,则bcos C=CM= 1. 所以bcos C的最小值为1.,思路分析 从条件看,考虑用基底法去研究,因为等分点在AB,AC上,所以考虑用 , 作为基 底表示其余向量,找到两边关系,然后构造直角三角形,去转化理解bcos C的意义,题目就能够顺 利解决.,4.(2019如皋检测,10)在平行四边形ABCD中,A= ,AB=2,AD=1,若M、N分别是边BC、CD上 的点,且满足 = ,则 的取值范围是 .,答案 2,5,解析 以AB所在直线为x轴,过A点且垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系,过D 点作DE垂直于x轴,垂足为E, 则A(0,0),D ,B(2,0),C . 设 = =,0,1, M ,N , 故 =-2-2+5=-(+1)2+62,5.,5.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,12)在平面四边形ABCD中,AB=1,DA=DB, =3, =2,则| +2 |的最小值为 .,答案 2,解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 则A(0,0),B(1,0), 又DA=DB,所以设D , 因为 =| |cosCAB=3,所以设C(3,n), 又 =2,所以mn= , 故| +2 |= = = =2 .,当且仅当 即 或 时,取“=”. 故| +2 |的最小值为2 .,6.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,14)如图,在ABC中, = , = ,CD与BE交于点P, AP=1,BC=4, =2,则 的值为 .,答案,解析 设 = = , = + =(1-) + =(2-2) + . D,P,C三点共线,2-2+ =1,解得= . = + . AP=1,BC=4, =2, 解得 = .,7.(2018南通第一次调研,12)如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,AD=1.点P,Q分别在边BC,CD上, 且PAQ=45,则 的最小值为 .,答案 4 -4,解析 解法一:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B(2,0),D(0,1).设PAB=,则 =(2,2tan ), = tan ,1 , 因为 =(2,2tan ) =2tan +2tan = +2tan = +2tan -2= +2(tan +1)-44 -4,当且仅当tan = -1时“=”成立, 所以 的最小值为4 -4. 解法二:设PAB= , 则DAQ= -, 则AP= ,AQ= , =| | |cos = ,= = = = 4 -4. 所以 的最小值为4 -4.,评析 第一种解法是建立坐标系,第二种解法是求出两个向量的模,然后利用数量积转化为三 角函数求最值的问题进行求解.,8.(2018苏北四市一模,14)如图,在ABC中,已知AB=3,AC=2,BAC=120,D为边BC的中点.若 CEAD,垂足为E,则 的值为 .,答案 -,解析 解法一:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(-1, ),D . 则直线AD的方程为y= x,直线CE的方程为y=-