泛函分析答案张恭庆.pdf

1 1.4.1 在1.4.1 在R 2 中，中， z=a, b ，令，令 z1=|a|+|b| ; z2=a2+ b2; z3=max|a|, |b| ; z4=a4+ b4 1 2. (1) 求证(1) 求证 i, i=1, 2, 3, 4 都是都是R 2 上范数；(2) 画出上范数；(2) 画出 R 2, ii =1, 2, 3, 4 各空间中的单位球面图形；(3) 取各空间中的单位球面图形；(3) 取 O=0, 0,A=1, 0,B=0, 1 ，试在上述四种不 同范数下求出 ，试在上述四种不 同范数下求出OAB三边的长度.三边的长度. |AB|1=|1 0| + |0 1|=2. |AB|2=2 . |AB|3=max|1 0|, |0 1|=1. |AB|4=2 1 4. 1.4.2 1.4.2 C0, 1表示表示 0, 1 上连续且有界的函数上连续且有界的函数 xt 全体 对 全体 对 xC0, 1 ，令，令 x=sup 0n f mx fnx 2 =20 1 x2+ 1 m2 x2+ 1 n2 2 + x2 1 x2+ 1 m2 1 x2+ 1 n2 2dx =I1+ I2 I1=2 1 n2 1 m2 2 0 1 1 x2+ 1 m2 +x2+ 1 n2 2dx 2 n2 0n. I2=20 1 x2 1 x2+ 1 m2 1 x2+ 1 n2 2dx =20 1 x2 x2+ 1 n2 x2+ 1 m2 2 x2+ 1 m2 x2+ 1 n2 dx 4 2 n4 0 1 1 x2+ 1 n2 x2+ 1 n2 +x dx 0 1 1 x2+ 1 n2 x2+ 1 n2 +x dx=0 1 n + 1 n 1 0 1 n 1 x2+ 1 n2 x2+ 1 n2 +x dxn3 1 n 1 1 x2+ 1 n2 x2+ 1 n2 +x dx 1 n 1 dx 2 n2 2 +1 n 1 1 n n3n3 I2 2 n 0n. 但是但是 fnx|x|C10, 1. 1.4.4 在1.4.4 在 C0, 1 中，对每个中，对每个 xC0, 1 令令 x1= 0 1 |xt|2dt 1 2 ; x2= 0 1 1 + t|xt|2dt 1 2 , 求证求证 1 和和 2 是是 C0, 1 中两个等价范数. 证明 显然 中两个等价范数. 证明 显然 x1x2. x2 2 =0 11 + t|xt|2 dt =0 1 |xt|2dt +0 1 t |xt|2dt20 1|xt|2 dt=2x1 2 x22 x1. 1.4.5 设1.4.5 设 BC0, 表示表示 0, 上连续且有界的函数上连续且有界的函数 fx 全体，对于每个全体，对于每个 fBC0, 及及a0,定义定义 fa= 0 eax|fx|2dx 1 2 . (1)求证 . (1)求证 a 是是 BC0, 上的范数 (2)若 上的范数 (2)若a, b0, ab 5 求证求证 a, b 作为作为 BC0, 上的范数是不等价的 证明 不妨假设 上的范数是不等价的 证明 不妨假设ba0,显然有显然有 fbfa, 由 此可见,为了证明 不等价性, 只要证不存在 由 此可见,为了证明 不等价性, 只要证不存在c0,使得使得 facfbfBC0, . 只需证只需证 fnBC0, , 使得使得 f na 2 f nb 2 . gnx def = eax, 0xn eaxn + 1 x, nxn + 1 0, xn + 1 fnx def =gnx fa 2 0 n eax eaxdx=n, fb 2 0 ebx eaxdx=0 ebaxdx= 1 ba f na 2 f nb 2 n ba +. 1.4.6 设1.4.6 设 X1, X2 是两个线性赋范空间，定义是两个线性赋范空间，定义 X=X1X2=x1, x2 | x1X1, x2X2 称 为 称 为 X1 与与 X2 的 Decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下： 的 Decard笛卡尔空间. 规定线性运算如下： x1, x2 +y1, y2=x1+y1,x2+y2 6 ,K,x1, y1X1,x2, y2X2 ，并赋以范数，并赋以范数 x1, x2=maxx11, x22 其中其中 1 和和 2 分别是分别是 X1 和和 X2 的范数，求证：如果的范数，求证：如果 X1, X2 是B空间，那末是B空间，那末X也是B空间. 证明 设 也是B空间. 证明 设 xn 是是X中的基本列.则中的基本列.则 xn xm 0 n, m x1 n x1 m 1 0 n, m x2 n x2 m 2 0 n, m 因为因为 X1 是是B空间,所以空间,所以 x1X1 使得使得 x1 n x1; 又因为又因为 X2 是是B空间所以空间所以 x2X2 使得使得 x2 n x2. x def =x1, x2. 下证下证xn x.事实上, 事实上, 0, N使得使得 xn xm N x1 n x1 m 1 N x2 n x2 m 2 N m x1 n x1 1 2 nN x2 n x2 2 2 nN xn x=max x1 n x1 1, x2 n x2 2 2 N. 1.4.7 设1.4.7 设X是是B 空间,求证：空间,求证：X是是B空间，必须且仅须 对 空间，必须且仅须 对 7 xnX, n=1 xnNk, 有有 xn xm nkNk, 使得使得 xnk xnk+1 1 2k , 取取 yk=xnkk=1, 2, . 改写改写 yk=y1+ i=1 k yi+1 yi, 因为因为 i=1 yi+1 yi 1 1 |a|1 -2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 0.5 1.0 1.5 2.0 a min a1 x0 ae1 =1, 最佳逼近元最佳逼近元 ae1|a|1, 不唯一.不唯一. 2, 非严格凸, 如图所示, 非严格凸, 如图所示, x=y= x+y 2 =1. xy 2 xy+ + 1.4.11 设1.4.11 设X是线性赋范空间， 函数是线性赋范空间， 函数 :x1 称为 凸的，如果不等式 称为 凸的，如果不等式 x + 1 xx + 1 x 成立. 求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值 证明 用反证法. 设 成立. 求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值 证明 用反证法. 设 x0 是局部极小点, 则是局部极小点, 则 x1Ux0x1x0. 如果如果 x2X 9 使得使得 x21 . 于是取于是取 = 1c 2 0, 便有便有 y,X0 1+c 2 c+c 2 =c. 矛盾矛盾 11 1.4.14 设1.4.14 设 C0 表示以表示以0为极限的函数全体，并在为极限的函数全体，并在 C0 中赋 以范数 中赋 以范数 x=max n1 |n |. 又设又设 M defdef =x=n | n=1 C0| n=1 n 2n =0 (1) 求证: (1) 求证: M是是 C0 的闭线性子空间 (2) 设 的闭线性子空间 (2) 设 x02, 0, , 0, ，求证: ，求证: inf zMx 0 z=1, 但是但是 yM, x0 y