2019_20学年高中数学第二章解析几何初步2.3.1空间直角坐标系的建立2.3.2空间直角坐标系中点的坐标课件.pptx

3 空间直角坐标系,3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标,1.空间直角坐标系的建立 (1)定义:在平面直角坐标系的基础上,通过原点O,再增加一条与xOy平面垂直的z轴,这样就建立了三个维度的空间直角坐标系,其中点O叫作原点,x,y,z轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的平面叫作坐标平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系时,一般使xOy=135(或45),yOz=90. (3)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,再让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正向.也称这个坐标系为右手系.,2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有序数组(x,y,z)来表示,其中第一个是x坐标,第二个是y坐标,第三个是z坐标;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系.,【做一做】 如图,长方体OABC-D1A1B1C1的长、宽、高分别为4,3,5,以长方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系,将长方体的各个顶点用坐标表示出来.,解:建立如图所示的空间直角坐标系. 因为|AB|=4,|BC|=3,|CC1|=5, 所以各顶点的坐标分别为O(0,0,0),A(3,0,0),B(3,4,0), C(0,4,0),A1(3,0,5),D1(0,0,5),B1(3,4,5),C1(0,4,5).答案不唯一.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c). ( ) (2)在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c). ( ) (3)在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记作(0,0,c). ( ) (4)在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标是(a,0,c). ( ) (5)在空间直角坐标系中,点(x0,y0,z0)关于x轴对称的点坐标为(-x0,-y0,-z0). ( ),探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一根据点的坐标确定点的位置 【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(2,-6,4). 分析:可以先确定点(2,-6,0)在xOy平面的位置,再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置. 解:(方法一)先确定点M(2,-6,0)在xOy平面上的位置,因为点M的竖坐标为4, 则|MM|=4,且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧,这样就可确定点M的位置(如图所示).,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法二:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为2,6,4的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上,则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略).,反思感悟1.根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置. 2.以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1点(-2,-1,0)在空间直角坐标系中的位置是( ) A.在z轴上 B.在xOy平面上 C.在xOz平面上 D.在yOz平面上 解析:因为点(-2,-1,0)的z轴坐标为0, 所以点(-2,-1,0)在xOy平面上. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究二已知点的位置写出它的坐标,【例2】 M-OAB是棱长为a的正四面体,顶点M在底面OAB上的射影为H,请建立适当的空间直角坐标系,并分别写出点O,A,B,H,M的坐标.,分析:以O为原点,射线OA为y轴正方向建立空间直角坐标系,点B在平面xOy内.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:以AOB的顶点O为坐标原点,射线OA为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,点B在平面xOy内. 由题意知|MO|=|MA|=|MB|=|OA|=|OB|=|AB|=a,本题答案不唯一.,反思感悟选择一个合适的点作为空间直角坐标系的原点,是求解空间点的坐标问题的关键,本题还可以建立以H点为原点的空间直角坐标系.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为8,E是A1C1的中点,且|BF|=3|FB1|.建立空间直角坐标系,并求点A,C1,B1,E,F的坐标.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:如图,以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.易得A(8,0,0),C1(0,8,8),B1(8,8,8).由于点E在xOy平面上的投影为AC的中点,所以H(4,4,0), 又|EH|=8,所以点E的z坐标为8. 因此点E的坐标为(4,4,8). 点F在平面xOy上的投影为B(8,8,0), 因为|BB1|=8,|BF|=3|FB1|,所以|BF|=6,即点F的z坐标为6.所以点F的坐标为(8,8,6).,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究三空间中的对称点问题,【例3】在长方体OABC-DABC中,|OA|=3,|OC|=4,|OD|=2,以O为原点,以OA,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. (1)求线段AC的中点M的坐标; (2)求点B关于y轴对称点的坐标,关于yOz平面对称点的坐标; (3)求点B关于点P(2,-1,-4)对称点的坐标.,探究一,探究二,探究三,思想方法,分析:类比平面直角坐标系中点的对称问题,根据对称点的变化规律结合中点坐标公式即可求解. 解:(1)由于|OA|=3,|OC|=4,|OD|=2,(2)易知B的坐标为(3,4,2). 所以B关于y轴对称点的坐标为(-3,4,-2);B关于yOz平面对称点的坐标为(-3,4,2). (3)设B关于P(2,-1,-4)对称的点为B1(x0,y0,z0),则P是线段BB1的中点,解得x0=1,y0=-6,z0=-10, 于是B1(1,-6,-10), 即点B关于点P(2,-1,-4)对称点的坐标为(1,-6,-10).,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟空间直角坐标系中点的对称 1.关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点:,2.求对称点的问题可以用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的口诀来记忆.如关于x轴对称的点的坐标就是横坐标不变,其余的两个变成相反数;关于坐标平面xOy的对称点,横、纵坐标不变,竖坐标变成原来的相反数.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3),求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点对称的点的坐标. 解:点M(1,-2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1,-2,-3),关于坐标平面xOz对称的点是(1,2,3),关于坐标平面yOz对称的点是(-1,-2,3). 点M(1,-2,3)关于x轴对称的点是(1,2,-3),关于y轴对称的点是(-1,-2,-3),关于z轴对称的点是(-1,2,3). 点M(1,-2,3)关于原点对称的点是(-1,2,-3).,探究一,探究二,探究三,思想方法,空间直角坐标系的应用 【典例】 如图,点A的坐标是(1,1,0),对于z轴正半轴上任意一点P,在y轴正半轴上是否存在一点B,使得PAAB恒成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由. 思路点拨:由立体几何知识可知欲使PAAB,只需使OAAB,空间问题转化为平面问题.欲证OAAB,只需证明|OA|2+|AB|2=|OB|2,从而将几何问题转化为代数计算问题.,探究一,探究二,探究三,思想方法,设P(0,0,c),B(0,b,0), 对于z轴正半轴上任意一点P, 假设在y轴正半轴上存在一点B,使得PAAB恒成立, 连接OA,则由线面垂直可知只需证OAAB, 即只需证|OA|2+|AB|2=|OB|2. 在平面xOy内的点的坐标为A(1,1),B(0,b),O(0,0), 令(1-0)2+(1-0)2+(1-0)2+(1-b)2=(0-0)2+(0-b)2,解得b=2. 所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PAAB恒成立. 方法点睛空间直角坐标系是解决几何问题的有利工具,利用它往往能将一个复杂的立体几何问题简单化,把几何问题转化为代数问题,可降低解题的难度.,解:存在点B,使得PAAB恒成立. 理由如下:,1,2,3,4,5,1.点P(3,0,4)位于( ) A.x轴上 B.y轴上 C.xOz平面内 D.xOy平面内 答案:C,1,2,3,4,5,2.在空间直角坐标系中,点M(1,2,3)关于x轴对称的点N的坐标是( ) A.N(-1,2,3) B.N(1,-2,3) C.N(1,2,-3) D.N(1,-2,-3) 答案:D,1,2,3,4,5,3.在空间直角坐标系中,下列各点位于yOz平面内的是 ( ) A.(3,2,1) B.(2,0,0) C.(5,0,2) D.(0,-1,-3) 解析:位于yOz平面内的点,其x坐标为0,其余坐标任意,故(0,-1,-3)在yOz平面内. 答案:D,