2019_20学年高中数学第三章导数及其应用习题课——导数的综合应用课件新人教A版.pptx

习题课导数的综合应用,1.利用导数研究方程的根或函数零点 (1)方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,亦即f(x)图象与x轴交点的横坐标; (2)方程f(x)=a的根就是函数g(x)=f(x)-a的零点,亦即f(x)图象与直线y=a交点的横坐标; (3)方程f(x)=g(x)的根就是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点,亦即f(x)图象与g(x)图象交点的横坐标. 2.利用导数解决不等式恒成立问题 (1)不等式f(x)恒成立,则f(x)max; (2)不等式f(x)恒成立,则f(x)min.,【做一做1】 方程x3-3x2-2=0实根的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:令f(x)=x3-3x2-2,则f(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以f(x)有极大值f(0)=-2,极小值f(2)=-6,结合函数图象可知其与x轴有一个交点,因此方程只有一个实数根. 答案:B 【做一做2】 已知函数f(x)=x3- x2-2x+5,若当x-1,2时,f(x)7,即实数m的取值范围为(7,+). 答案:B,解析:函数定义域为(0,+),由f(x)=0得x=4, 因此f(x)在(0,4)上单调递减,在(4,+)上单调递增, 所以f(x)有唯一极小值f(4)=m-2ln 2+1,要使函数没有零点,须有m-2ln 2+10,解得m2ln 2-1. 答案:(2ln 2-1,+),探究一,探究二,规范解答,利用导数研究方程的根或函数的零点 【例1】 已知函数f(x)=x3-x2-x+a,g(x)=x3-2x-ln x+3,其中aR. (1)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,求实数a的取值范围. 思路点拨:(1)方程f(x)=0只有一个实数根,就是函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,因此可分析函数的单调性与极值,通过极值满足的条件建立关于a的不等式求解;(2)函数h(x)有两个零点,就是其图象与x轴有两个交点.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,因此h(x)在x=1取得极大值h(1)=a-3,即为函数h(x)的最大值. 要使函数h(x)有两个零点,其图象与x轴应有两个交点,因此极大值h(1)=a-30.解得a3.,探究一,探究二,规范解答,反思感悟方程f(x)=0的根,就是函数y=f(x)的零点,以及函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.因此与方程的根(函数的零点)有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间与极值点,并结合特殊点,得到函数的大致图象,结合图象讨论它与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围.,探究一,探究二,规范解答,变式训练1已知函数f(x)=x2-aln x(aR),当x=1时f(x)取得极值. (1)求a的值; (2)求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+k(kR)的图象的交点个数.,探究一,探究二,规范解答,解:(1)函数f(x)定义域为(0,+), 因为当x=1时,f(x)取得极值, 所以f(1)=2-a=0,即a=2. (2)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-2ln x+x2-2x-k=2x2-2ln x-2k-k, 所以 因为x0,所以2x+10. 令F(x)=0,则x=1,当x(0,1)时,F(x)0. 因此函数F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增. 所以F(x)min=F(1)=-k. 当-k0,即k0时,两图象交点个数为2.,探究一,探究二,规范解答,利用导数解决不等式恒成立问题 【例2】已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若对任意x(0,+),2f(x)g(x)+2恒成立,求实数a的取值范围. 思路点拨:对于(1)可通过解不等式f(x)0和f(x)0得到单调区间;对于(2),应先将不等式进行参数分离,把欲求范围的参数a移至不等式的一边,然后利用导数求另一边函数的最值,从而求得参数的取值范围.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,反思感悟有关不等式的恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题,求解时,要确定这个函数,看哪一个变量的范围已知,即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数,然后利用导数研究其最值,最后求得参数的取值范围.一般地,f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.,探究一,探究二,规范解答,变式训练2已知函数f(x)= x3-2x2+ax+b(a,bR),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且只有一条切线l与直线y=x+3垂直. (1)求实数a的值; (2)若方程f(x)=0有3个不同的实数根,求实数b的取值范围. 解:(1)因为f(x)= x3-2x2+ax+b, 所以f(x)=x2-4x+a. 直线y=x+3的斜率等于1, 依题意知在曲线y=f(x)的所有切线中,有且只有一条切线l的斜率等于-1, 故方程x2-4x+a=-1有且只有一个实数根, 于是=16-4(a+1)=0,解得a=3.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,利用导数解决参数的综合问题,【审题策略】 (1)将a的值代入,先求极值,再得到最值;(2)将所给不等式进行转化,化为f(x2)-ax2f(x1)-ax1,从而可构造函数g(x)=f(x)-ax,通过g(x)的单调性,利用导数转化为不等式恒成立问题即可求得.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】 (1)第1步:确定函数定义域. 第2步:求导数. 第3步:分析极值情况. 第4步:得到最值.,探究一,探究二,规范解答,(2)第1步:假设结论成立. 第2步:将所给不等式转化. 第3步:构造新函数g(x). 第4步:将问题转化为g(x)在(0,+)上为增函数. 第5步:利用导数转化为g(x)0在(0,+)上恒成立. 第6步:分离参数求最值. 第7步:得到结果.,探究一,探究二,规范解答,【失误警示】 通过阅卷统计分析,失分主要出现在第二问,造成失分的原因是: (1)不能将所给不等式转化,为构造新函数奠定基础; (2)虽能对不等式转化,但不能将转化后的不等式合理变形,从而构造新函数; (3)构造新函数后,无法根据题意推出其单调性; (4)在得到新函数的单调性后,无法利用导数转化为恒成立问题求解; (5)分离参数后无法准确求得函数最值.,探究一,探究二,规范解答,跟踪训练设函数f(x)= -kln x(k0). (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间 上仅有一个零点.,探究一,探究二,规范解答,1.若不等式2x+cos x-m-4-1 B.m1 D.m2x+cos x,令f(x)=2x+cos x, 则f(x)=