（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用课件.pptx

7.3 基本不等式及不等式的应用,高考理数 (课标专用),自主命题省(区、市)卷题组 考点一 基本不等式 1.(2019天津,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则 的最小值为 .,五年高考,答案 4,解析 本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运 算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. x+2y=5,x0,y0, = = =2 + 2 =4 ,当且仅当 即 或 时,原式取得最小值4 .,2.(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+ 的最小值为 .,答案,解析 本题主要考查运用基本不等式求最值. 由已知,得2a+ =2a+2-3b2 =2 =2 = ,当且仅当2a=2-3b时等号成立, 由a=-3b,a-3b+6=0,得a=-3,b=1, 故当a=-3,b=1时,2a+ 取得最小值 . 易错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值,易失误的原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要 利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使满足基本不等式中“正” “定”“等”的条件.,3.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总 存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,答案 30,4.(2017天津,12,5分)若a,bR,ab0,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立), =4ab+ , 由于ab0,4ab+ 2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 , 故当且仅当 时, 的最小值为4. 规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须 一致.,考点二 不等式的综合应用 1.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)= 设aR,若关于x的不等式f(x) 在R上恒 成立,则a的取值范围是( ) A. B. C.-2 ,2 D.,答案 A 本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题. 当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于-x2+x-3 +ax2-x+3在R上恒成 立,即有-x2+ x-3ax2- x+3在R上恒成立.由y=-x2+ x-3图象的对称轴为x= ,可得在x = 处取得最大值- ;由y=x2- x+3图象的对称轴为x= ,可得在x= 处取得最小值 ,则 - a . 当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于- +ax+ 在R上恒成立, 即有- a + 在R上恒成立,由于x1,所以- -2 =-2 ,当且仅当x= 时取得最大值-2 ;因为x1,所以 x+ 2 =2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2 a2. 由可得- a2,故选A. 思路分析 讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+ x-3ax2- x+3,再由二次函数的最值求法,得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得- a + ,再利用 基本不等式可得最值,从而得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.,2.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、 西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果 进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李 明会得到支付款的80%. 当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值 为 .,答案 130 15,解析 本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数 学知识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生 活与学习的密切联系. x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元. 设每笔订单金额为m元,则只需考虑m120时的情况. 根据题意得(m-x)80%m70%, 所以x ,而m120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x ,而 =15,x 15. 所以x的最大值为15. 解题关键 正确理解“每笔订单得到的金额”与“促销前总价的七折”是解题关键.,教师专用题组 考点一 基本不等式 (2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .,答案 8,解析 sin A=2sin Bsin C, sin(B+C)=2sin Bsin C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C) =- = , 又ABC为锐角三角形, tan A= 0,tan B+tan C0,tan Btan C1, tan Atan Btan C= tan Btan C = , 令tan Btan C-1=t,则t0,tan Atan Btan C= =2 2(2+2)=8,当且仅当t= , 即tan Btan C=2时,取“=”. tan Atan Btan C的最小值为8.,考点二 不等式的综合应用 (2013课标,11,5分)已知函数f(x)= 若|f(x)|ax,则a的取值范围是 ( ) A.(-,0 B.(-,1 C.-2,1 D.-2,0,答案 D 由题意作出y=|f(x)|的图象: 由图象易知,当a0时,y=ax与y=ln(x+1)的图象在x0时必有交点,所以a0.当x0时,|f(x)|ax 显然成立; 当x0时,要使|f(x)|=x2-2xax恒成立,则ax-2恒成立,又x-2-2,a-2.综上,-2a0,故选D. 思路分析 根据解析式作出y=|f(x)|的图象,由图象得出a0,此时分析出当x0时,|f(x)|ax恒成 立,当x0时,可将|f(x)|ax恒成立转化为ax-2恒成立,求出x-2的范围即可得a的取值范围.方法总 结 对于不等式恒成立问题,常采用数形结合或分离参变量构造函数求最值的方法解决.,一题多解 由题意作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为 过原点的直线,旋转该直线可知:当直线介于l和x轴之间时符合题意,下面求l的斜率:函数y=|f(x)| 的图象在第二象限的部分对应的解析式为y=x2-2x,求其导数可得y=2x-2,因为x0,故y-2,故 直线l的斜率为-2,故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可,即a-2,0.故选D.,考点一 基本不等式 1.(2017河南平顶山一模,6)若对任意x0, a恒成立,则a的取值范围是 ( ) A.a B.a C.a D.a,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 A 因为对任意x0, a恒成立, 所以对x(0,+),a , 而对x(0,+), = = , 当且仅当x= 时等号成立,a .,2.(2019福建厦门3月联考,9)对任意m,nR+,都有m2-amn+2n20,则实数a的最大值为 ( ) A. B.2 C.4 D.,答案 B 对任意m,nR+,都有m2-amn+2n20,m2+2n2amn,即a = + 恒成 立, + 2 =2 ,当且仅当 = 时取等号,a2 ,故a的最大值为2 ,故选B.,3.(2019广东江门一模,9)实数x、y满足|x+y|+|x-y|=2,若z=4ax+by(a0,b0)的最大值为1,则 + 有 ( ) A.最大值9 B.最大值18 C.最小值9 D.最小值18,答案 C 根据|x+y|+|x-y|=2,可得点(x,y)满足的图形是以A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-1)、D(1,-1)为 顶点的正方形,可知x=1,y=1时,z=4ax+by取得最大值,故4a+b=1,所以 + = (4a+b)=5+ + 9,当且仅当 = ,即a= ,b= 时取“=”.故 + 有最小值9.故选C.,4.(2019河南信阳一模,8)已知正项等比数列an满足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an,使得 =32,则 + 的最小值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由等比数列的性质得 =a2a8=16a5.因为a50,所以a5=16,又因为a3+a5=20,所以a3=4, 所以a1=1,公比q=2,因为 =32,所以 =32=25,所以m+n=12,则 + = (m+n) = 当且仅当 = ,即m=4时,取等号 ,则 + 的最小值为 ,故选A.,考点二 不等式的综合应用 1.(2018湖北孝感模拟,12)设f(x)满足f(-x)=-f(x),且在-1,1上是增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)t2- 2at+1对所有的x-1,1,当a-1,1时都成立,则t的取值范围是( ) A.- t B.t2或t=0或t-2 C.t2或t- 或t=0 D.-2t2,答案 B 由已知易得f(x)在-1,1上的最大值是1, 故由题意可知t2-2at+11对a-1,1恒成立,即2at-t20对a-1,1恒成立. 设g(a)=2at-t2(-1a1), 欲满足题意,则 t2或t=0或t-2.,2.(2019广东惠州三调,10)在ABC中,点D是AC上一点,且 =4 ,P为BD上一点,向量 = + (0,0),则 + 的最小值为 ( ) A.16 B.8 C.4 D.2,答案 A 由题意可知, = +4 ,又B,P,D共线,由三点共线的充分必要条件可得+4= 1,又因为0,0,所以 + = (+4)=8+ + 8+2 =16,当且仅当= ,= 时等号成立,故 + 的最小值为16.故选A.,3.(2019河南安阳模拟,12)已知 ,若满足不等式sin3-cos3ln ,则的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A sin3-cos3ln , sin3-cos3ln =ln cos -ln sin ,即sin3+ln sin cos3+ln cos ,则sin 0且cos 0, ,0且 , .设f(x)=x3+ln x,x0,则不等式sin3+ln sin cos3+ln cos 等价于f(sin )f(cos )恒成立.f (x)=3x2+ ,则当x0时, f (x)0恒成立,故f(x)在定义域上为增 函数,则f(sin )f(cos )等价于sin cos 恒成立. , 1,即tan 1, ,即的取值范围是 ,故选A. 解后反思 本题主要考查不等式恒成立的求解,根据条件转化为统一的形式,构造函数,求函数 的导数,利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.本题综合性较强,质量较高.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:20分钟 分值:20分 一、选择题(每题5分,共15分),1.(2019福建龙岩一模,9)已知x0,y0,且 + = ,则x+y的最小值为 ( ) A.3 B.5 C.7 D.9,答案 C x0,y0,且 + = ,x+1+y=2 (x+1+y)=2 2 =8,当且仅当 = ,即x=3,y=4时取等号,x+y7,故x+y的最小值为7,故 选C.,2.(2019河南信阳模拟,9)已知角,的顶点都为坐标原点,始边都与x轴的非负半轴重合,且都为 第一象限的角,的终边上分别有点A(1,a),B(2,b),且=2,则 +b的最小值为 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 C 由已知可得tan =a,tan = ,=2,tan =tan 2,a= ,即a= ,由a0, b0得 0,则00,b0求取等号的条件.,3.(2019广东汕尾3月联考,6)若直线ax-by+2=0(a0,b0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则 + 的最小值为 ( ) A.4 B. C. D.6,二、填空题(每题5分,共5分) 4.(2019湖南长沙模拟,15)如图,在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1. 设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M- PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)= ,且 + 8恒成立,则正实数a的最小值为 .,解析 PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1, VP-ABC= 321=1= +x+y. x+y= ,则2x+2y=1. a0, + = (2x+2y)=2+2a+ + 2+2a+4 8 ,解得a1,正实数a的最小值为1.,答案 1,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(2019湖南郴州二模,11)已知A=(x,y)|x-2|+|y-2|2,0x2(x,y)|(x-2)2+(y-2)24,x2,若 P(x,y)A,且使z=x2+y2-2 x-2 y-2-a的最大值为b(a0,b0),则 + 的最小值为 ( ) A.4 B.2 C. D.,答案 C A=(x,y)|x-2|+|y-2|2,0x2(x,y)|(x-2)2+(y-2)24,x2,其几何意义为如图所 示的封闭区域,设右半部分半圆的圆心为M,则M(2,2),z=x2+y2-2 x-2 y-2-a=(x- )2+(y- )2- 6-a,设t= ,其几何意义为区域中任意一点