自动控制原理微分方程

2.1 控制系统的微分方程,2.1.1 线性系统与非线性系统,2.1.2 微分方程的列写,2.1.3 系统元件间的负载效应,2.1.4 系统非线性微分方程的线性化,2.1.1 线性系统与非线性系统,对于任意系统，都可以用下方程来描述,1、任取系数ai和bj是常数时，系统为线性定常系统 。,2、任取系数ai和bj是时间t的函数时，系统为线性时变系统 。,3、任取系数ai和bj是输入量、输出量及它们的导函数，或是时间t的其他函数形式时，系统为非线性系统 。,叠加原理,设有一个物理系统，,单独对它施加输入xi1(t)时， 输出为x01(t)；,单独施加输入为xi2(t)时， 输出为x02(t)；,同时施加输入axi1(t)和bxi2(t)时， 若输出为ax01(t)+bx02(t) ，,则系统为线性的。,线性、非线性这一系统特性并不随 系统的表示方法而改变，因为它只是 系统本身的固有特性。,线性系统与非线性系统的根本区别表 现为：,线性系统满足叠加原理,非线性系统则不满足叠加原理,对一个线性系统，一个输入的存在并不影响 由另一个输入引起的输出，即对线性系统而 言，各个输入产生的输出是互不影响的。,因此，在分析多个输入加在系统上而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后把这些输出叠加起来即可。,当输入作用在系统不同部位时，系统的输出仍然是各输入所引起的输出的叠加。,意义：,2.1.2 微分方程的列写,例1 机械方面:组合机床动力滑台铣平面,例2 电学方面:无源网络,列写微分方程的步骤,例1 机械方面:组合机床动力滑台铣平面,根据牛顿第二定律F=ma，得,其中， F轴切削力的轴向分量 Fc阻尼力 Fk弹性恢复力,同时进行等量的代换（变量更换）：,例2 电学方面:无源网络,由基尔霍夫定律和欧姆定律,对（4）求导,列写微分方程的步骤:,1、据系统的工作原理明确输入量、输出量。,2、将系统划分成若干环节，从输入端开始， 根据物理学定律每一个环节列写一个方 程。（考虑负载效应）,3、将各方程中的中间变量消去，求出描述 输入量和输出量之间关系的微分放程。,标准形式如下:,5、在列写元件的微分方程或求出系统的微 分方程时，对非线性项应加以线性化。,2.1.3 系统元件间的负载效应,在列写微分方程时，要考虑相邻元件的 负载效应。,那么，什么是负载效应?,对于由两个物理元件组成的系统而言， 若其中一个元件的存在，使另一元件在 相同输入下的输出受到影响，则如前者 对后者施加了负载。,因此，这一影响称为负载效应或称耦合。,例1:两个由质量、弹簧串联而成的振动系统。,1) 当m2,k2不存在 即m1,k1是一单自由度系统,其动力学方程为：,2)将m2,k2接在m1与k1上时，组成图示 两自由由度系统。,则有：,其动力学方程为：,3)若不计m2的运动对m1的影响。,则有：,则动力方程为：,例2：有两级串联的RC电路组成的滤波网络,1)计R2与C2存在影响R1与C1的输出电流i1,2)不计R2与C2存在影响R1与C1的输出电流i1,若R=R=R、C=C=C，并记RC=T，则,所以未计负载效应是错误的,2.1.4 系统非线性微分方程的线性化,系统通常都有一个预定工作点即系统处 于某一平衡位置。,对于自动调节系统或 随动系统，只要系统的工作状态稍一偏 离此平衡位置，整个系统就会立即作出 反应，并力图恢复原来的位置。,系统各变量偏离预定工作点的偏差一般很小。,因此只要作为非线性函数的各变量在预 定工作点处有导数或偏导数存在，那么 就可以在预定工作点处将系统的着一非 线性函数以其自变量的偏差形式展开成 泰勒级数。,如果此偏差很小，则级数中 此偏差的高次项可以忽略只剩下一次项， 最后获得此偏差为变量的线性函数。,例:单摆系统,拉普拉斯变换,1.定义：设函数f(t)当t=0时有定义，而且积分,存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。简称拉氏变换,f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：,2.常用函数的拉氏变换：,3.拉氏变换的基本性质,(1)线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。,则有,f