（课标专用）2020届高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念及其表示课件.pptx

第六章 数 列 6.1 数列的概念及其表示,高考文数 (课标专用),考 点 数列的概念及其表示 (2016课标全国,17,12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求an的通项公式.,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,解析 (1)由题意得a2= ,a3= . (5分) (2)由 -(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1). 因为an的各项都为正数,所以 = . 故an是首项为1,公比为 的等比数列,因此an= . (12分),思路分析 (1)根据数列的递推公式,由a1可求出a2,由a2求出a3.(2)把递推公式因式分解得出an 是等比数列,求出其通项公式.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考 点 数列的概念及其表示,1.(2019上海,8,5分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5= .,答案,解析 n=1时,S1+a1=2,a1=1. n2时,由Sn+an=2得Sn-1+an-1=2, 两式相减得an= an-1(n2), an是以1为首项, 为公比的等比数列, S5= = .,2.(2015江苏,11,5分)设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),则数列 前10项的和为 .,答案,解析 由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,an-an-1=n-1+1(n2),则有an-a1=1+2+3+ n-1+(n-1)(n2),因为a1=1,所以an=1+2+3+n(n2),即an= (n2),又当n=1时,a1=1也适合 上式,故an= (nN*),所以 = =2 ,从而 + + + =2 +2 +2 +2 =2 = .,3.(2016浙江,17,15分)设数列an的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*. (1)求通项公式an; (2)求数列|an-n-2|的前n项和.,解析 (1)由题意得 则 又当n2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得an+1=3an. 所以,数列an的通项公式为an=3n-1,nN*. (2)设bn=|3n-1-n-2|,nN*,则b1=2,b2=1. 当n3时,由于3n-1n+2,故bn=3n-1-n-2,n3. 设数列bn的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3. 当n3时,Tn=3+ - = , 所以Tn=,易错警示 (1)当n2时,得出an+1=3an,要注意a1与a2是否满足此关系式. (2)在去掉绝对值时,要考虑n=1,2时的情形.在求和过程中,要注意项数,最后Tn应分n=1与n2 两段来写.,1.(2019浙江,10,4分)设a,bR,数列an满足a1=a,an+1= +b,nN*,则 ( ) A.当b= 时,a1010 B.当b= 时,a1010 C.当b=-2时,a1010 D.当b=-4时,a1010,C组 教师专用题组,答案 A 本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体,考查学生挖掘事物本质以及推理 运算能力;考查的核心素养为逻辑推理,数学运算;体现了函数与方程的思想,创新思维的应用. 令an+1=an,即 +b=an,即 -an+b=0,若有解, 则=1-4b0,即b , 当b 时,an= ,nN*,即存在b ,且a= 或 ,使数列an为常数列, B、C、D选项中,b 成立,故存在a= ,a6 ,a10 , 而 = =1+ + +=1+4+ +10.故a1010.,2.(2014课标,16,5分)数列an满足an+1= ,a8=2,则a1= .,答案,解析 解法一:由an+1= ,得an=1- , a8=2,a7=1- = , a6=1- =-1,a5=1- =2, an是以3为周期的数列,a1=a7= . 解法二:根据an+1= 递推得a8= = =1- =1- =a5= = =1- =1- =a2= ,因为a8=2,所以a1= .,3.(2015浙江,17,15分)已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nN*),b1+ b2+ b3+ bn= bn+1-1(nN*). (1)求an与bn; (2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.,解析 (1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(nN*). 由题意知: 当n=1时,b1=b2-1,故b2=2. 当n2时, bn=bn+1-bn, 整理得 = , 所以bn=n(nN*). (2)由(1)知anbn=n2n, 因此Tn=2+222+323+n2n, 2Tn=22+223+324+n2n+1, 所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(nN*).,评析 本题主要考查数列的通项公式,等差和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本 思想方法,以及推理论证能力.,4.(2014大纲全国,17,10分)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式.,解析 (1)证明:由an+2=2an+1-an+2得, an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1. 所以bn是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)得bn=1+2(n-1), 即an+1-an=2n-1. 于是 所以an+1-a1=n2, 即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.,考点 数列的概念及其表示,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019安徽江淮十校第三次联考,4)已知数列an满足 =2,a1=20,则 的最小值为 ( ) A.4 B.4 -1 C.8 D.9,答案 C 由an+1-an=2n知:a2-a1=21,a3-a2=22,an-an-1=2(n-1),n2, 以上各式相加得an-a1=n2-n,n2,所以an=n2-n+20,n2, 当n=1时,a1=20符合上式, 所以an=n2-n+20,nN*,所以 =n+ -1,nN*, 所以n4时 单调递减,n5时 单调递增, 因为 = ,所以 的最小值为 = =8,故选C.,2.(2018江西重点中学盟校第一次联考,7)在数列an中,a1=- ,an=1- (n2,nN*),则a2 018的 值为 ( ) A.- B.5 C. D.,答案 B 在数列an中,a1=- ,an=1- (n2,nN*),所以a2=1- =5,a3=1- = ,a4=1- =- , 所以an是以3为周期的周期数列,所以a2 018=a6723+2=a2=5,故选B.,3.(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,4)已知数列an满足:m,nN*,都有anam=an+m, 且a1= ,那么a5= ( ) A. B. C. D.,答案 A 数列an满足:m,nN*,都有anam=an+m,且a1= ,a2=a1a1= ,a3=a1a2= .那么a5= a3a2= .故选A.,4.(2019山西太原模拟(一),9)已知数列an的前n项和Sn满足Sn+an=2n(nN*),则a7= ( ) A. B. C. D.,答案 B 当n2时,Sn-1+an-1=2n-2,又Sn+an=2n,所以2an-an-1=2,2(an-2)=an-1-2,故an-2是首项为 a1-2, 公比为 的等比数列, 又S1+a1=2,故a1=1,所以an= - +2,故a7=2- = ,故选B.,5.(2018河南郑州毕业班第二次质量预测,11)已知f(x)= 数列an(nN*)满足an =f(n),且an是递增数列,则a的取值范围是 ( ) A.(1,+) B. C.(1,3) D.(3,+),答案 D 因为an是递增数列, 所以 解得a3, 则a的取值范围是(3,+).,6.(2018广东江门3月模拟(一模),13)记数列an的前n项和为Sn,若nN*,2Sn=an+1,则a2 018= .,答案 -1,解析 2Sn=an+1, 2Sn-1=an-1+1(n2), 2Sn-2Sn-1=2an=an-an-1(n2), 即an=-an-1(n2),又2S1=2a1=a1+1, a1=1,a2 018=a2=-a1=-1.,7.(2017河北唐山一模,14)设数列an的前n项和为Sn,且Sn= ,若a4=32,则a1= .,答案,解析 Sn= ,a4=32, - =32,a1= .,8.(2019广东汕头一模,15)已知数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3(nN*), 则S10= .,答案 363,解析 因为an+2=3Sn-Sn+1+3, 所以Sn+2-Sn+1=3Sn-Sn+1+3,整理得Sn+2=3Sn+3, 当n=2时,S4=3S2+3=9+3=12; 当n=4时,S6=3S4+3=36+3=39; 当n=6时,S8=3S6+3=117+3=120; 当n=8时,S10=3S8+3=360+3=363.,9.(2019河北省级示范性高中4月联考,15)数列an满足a1=3,且对于任意的nN*都有an+1-an=n+ 2,则a39= .,答案 820,解析 因为an+1-an=n+2,所以a2-a1=3, a3-a2=4,a4-a3=5, an-an-1=n+1(n2),上面(n-1)个式子左右两边分别相加 得an-a1= (n2),即an= (n2),当n=1时,a1=3适合上式,所以an= , nN*,所以a39= =820.,10.(2019河南焦作第四次模拟,14)已知数列an的通项公式为an=2n,记数列anbn的前n项和为 Sn,若 +1=n,则数列bn的通项公式为bn= .,答案 n,解析 因为 +1=n,所以Sn=(n-1)2n+1+2.所以当n2时,Sn-1=(n-2)2n+2,两式相减,得anbn=n2n, 所以bn=n;当n=1时,a1b1=2,所以b1=1.综上所述,bn=n,nN*.故答案为n.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:25分钟 分值:55分) 一、选择题(每题5分,共30分),1.(2019江西宜春期末,9)已知函数f(x)= 若数列an满足a1= ,an+1=f(an)(nN*),则 a2 019= ( ) A. B. C. D.,答案 D 由题意,知a2=f = ,a3=f = ,a4=f = ,a5=f = ,a6=f = ,a7=f = , ,故数列an从第三项起构成周期数列,且周期为3,故a2 019=a3= .故选D.,思路分析 由题中条件可求出数列的前几项,结合递推关系可知数列an从第三项起构成周 期数列,则a2 019=a3,即可得到答案.,2.(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考,4)在数列an中,a1=2, = +ln ,则 an= ( ) A.2+nln n B.2n+(n-1)ln n C.2n+nln n D.1+n+nln n,答案 C 由题意得 - =ln(n+1)-ln n, - =ln n-ln(n-1), - =ln(n-1)-ln(n-2), - =ln(n-2)-ln(n-3), - =ln 2-ln1,累加得 - =ln n-ln 1=ln n, =2+ln n,an=2n+nln n, 选C.,3.(2018山西晋中高考适应性调研,9)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传 教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西 森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国 剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到 2 018这2 018个整数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an, 则此数列共有 ( ) A.98项 B.97项 C.96项 D.95项,答案 B 能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故an=21n-20,由1an2 018 得1n97 ,又nN*,故此数列共有97项.故选B.,4.(2019广东广州天河毕业班综合测试(一),11)数列an满足a1=1,对任意nN*,都有an+1=1+an+n, 则 + + = ( ) A. B.2 C. D.,答案 C 由an+1=1+an+n,得an+1-an=n+1, 则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+1= , 则 = = - , 则 + + =2 =2 = .故选C.,5.(2019湖南邵东创新实验学校第五次月考,11)已知数列an的通项为an=2n+3(nN*),数列 bn的前n项和为Sn= (nN*),若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列cn,则满足 cn2 012的n的最大整数值为 ( ) A.338 B.337 C.336 D.335,答案 D 对于bn,当n=1时,b1=S1=5; 当n2时,bn=Sn-Sn-1= - =3n+2, 它和数列an的公共项构成的新数列cn是首项为5,公差为6的等差数列,则cn=6n-1.令cn2 012, 可得n335.5,因为nN*,所以n的最大值为335.,6.(2017湖南永州二模,11)已知数列an的前n项和Sn=3n(-n)-6,若数列an单调递减,则的取值 范围是 ( ) A.(-,2) B.(-,3) C.(-,4) D.(-,5),答案 A Sn=3n(-n)-6, Sn-1=3n-1(-n+1)-6,n2, -得an=3n-1(2-2n-1)(n2), 当n=1时,a1=3-9,不适合上式, an= an为单调递减数列,anan+1(n2),且a1a2, 3n-1(2-2n-1)3n(2-2n-3)(n2),且2,化为n+2(n2),且2, 2,的取值范围是(-,2).故选A.,方法总结 解决数列的单调性问题可用以下三种方法: (1)用作差比较法,根据an+1-an的符号进行判断. (2)用作商比较法,根据 (an0或an0)与1的大小关系进行判断. (3)结合相应函数的图象直观判断.,二、填空题(每题5分,共25分) 7.(2019广东湛江二模,14)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪) 的数学著作孙子算经卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三 三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这 个整数为a,当a2,2 019时,符合条件的a共有 个.,答案 135,解析 解法一:由题设a=3m+2=5n+3,m,nN,则3m=5n+1,m,nN, 当m=5k时,n不存在;当m=5k+1时,n不存在;当m=5k+2时,n=3k+1,满足题意; 当m=5k+3时,n不存在;当m=5k+4时,n不存在.其中kN. 故2a=15k+82 019,解得- k ,则k=0,1,2,134,共135个,即符合条件的a共有135 个.故答案为135. 解法二:一个整数除以三余二,这个整数可以为2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38, 一个整数除以五余三,这个整数可以为3,8,13,18,23,28,33,38,则同时除以三余二、除以五余 三的整数为8,23,38,构成首项为8,公差为15的等差数列,通项公式为an=8+15(n-1)=15n-7,由 15n-72 019得15n2 026,n135 ,因为nN*,所以n=1,2,3,135,共有135个.,8.(2019第一次(3月)全国大联考,15)在数列an中,已知a1=1, = +1(nN*),则使得ak 378 成立的正整数k的最小值为 .,答案 7,解析 因为 = +1,所以 +1=2 ,所以数列 是首项为2,公比为2的等比数 列,所以 +1=2n,an=(2n-1)n,易知数列an是递增数列,a5=(25-1)5=155,a6=(26-1)6=378,所以使 得ak 378成立的正整数k的最小值为7.,