（课标专用）2020届高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积及平面向量的应用课件.pptx

5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用,高考文数 (课标专用),1.(2019课标全国,8,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D.,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 B 本题考查向量的运算及向量的夹角;考查了运算求解能力和数形结合的思想;考查 的核心素养是数学运算. 解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos = ,又0,所以= ,故选B.,解法二:如图, 令 =a, =b, 则 = - =a-b, 因为(a-b)b,所以OBA=90, 又|a|=2|b|,所以AOB= ,即= .故选B.,思路分析 由两向量垂直的充要条件建立方程求解;另外一个思路是在直角三角形中,由题设 直接得到两向量的夹角.,2.(2019课标全国,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= ( ) A. B.2 C.5 D.50,答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. a=(2,3),b=(3,2), a-b=(-1,1), |a-b|= = ,故选A.,一题多解 a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,则|a-b|= = = .故选A.,3.(2018课标全国,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)= ( ) A.4 B.3 C.2 D.0,答案 B 本题考查数量积的定义和运算. a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选B.,解题关键 掌握数量积的运算是求解关键.,4.(2016课标全国,3,5分)已知向量 = , = ,则ABC= ( ) A.30 B.45 C.60 D.120,答案 A cosABC= = ,所以ABC=30,故选A.,5.(2015课标,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,答案 C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=11+0(-1)= 1.故选C.,6.(2019课标全国,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos= .,答案 -,解析 本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运 算法则与运算方法的素养要素. 由题意知cos= = =- .,7.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .,答案 7,解析 解法一:a=(-1,2),b=(m,1), a+b=(m-1,3),(a+b)a, (a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 解法二:由已知可得(a+b)a=aa+ba=1+4-m+2=0,解得m=7. 解法三:如图,设a= ,b= ,a+b= ,由于向量a+b与a垂直,可知COB为直角三角形,故|a|2+|a +b|2=|b|2,即1+4+(m-1)2+32=m2+1,解得m=7.,8.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= .,答案 2,解析 ab,ab=0, 又a=(-2,3),b=(3,m), -6+3m=0,解得m=2.,9.(2016课标全国,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,则x= .,答案 -,解析 因为ab,所以ab=0,即x+2(x+1)=0,解得x=- .,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 平面向量的数量积,1.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A 设a与b的夹角为.因为ab=|a|b|cos =|a|b|,所以cos =1,即a与b的夹角为0,故a b;而当ab时,a与b的夹角为0或180, 所以ab=|a|b|cos =|a|b|,所以“ab=|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件,故选A.,2.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中 的是 ( ) A.|ab|a|b| B.|a-b|a|-|b| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2,答案 B 设向量a,b的夹角为,因为ab=|a|b|cos ,所以|ab|=|a|b|cos |a|b|,A成立;由向量 的运算律易知C,D成立.故选B.,3.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 因为a(2a+b),所以a(2a+b)=0, 得到ab=-2|a|2,设a与b的夹角为, 则cos = = =- , 又0,所以= ,故选C.,4.(2019北京,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m= .,答案 8,解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0, m=8.,易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆.,5.(2018北京,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m= .,答案 -1,解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,ab=-1, 由a(ma-b)得a(ma-b)=0, 即ma2-ab=0, 即m-(-1)=0,m=-1.,6.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1, ),b=( ,1),则a与b夹角的大小为 .,答案,解析 cos= = = , 又0,a与b夹角的大小为 .,7.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2= .若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|= .,答案,解析 令e1与e2的夹角为,e1e2=|e1|e2|cos =cos = ,又0180,=60.因为b(e1-e2)=0, 所以b与e1、e2的夹角均为30,从而|b|= = .,8.(2015湖北,11,5分)已知向量 ,| |=3,则 = .,答案 9,解析 = + , ,| |=3, = ( + )= + =32+0=9.,9.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且 | |=2,则 的最小值为 .,答案 -3,解析 本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2, 0), =(1,m), =(-2,n). =-2+mn,又知| |=2,|m-n|=2. 当m=n+2时, =mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3. 当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时, 取得最小值-3. 当m=n-2时, =mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3. 当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时, 取得最小值-3. 综上可知, 的最小值为-3.,10.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 与 的夹 角为,且tan =7, 与 的夹角为45.若 =m +n (m,nR),则m+n= .,答案 3,解析 解法一:tan =7,0, cos = ,sin = , 与 的夹角为, = , =m +n ,| |=| |=1,| |= , = , 又 与 的夹角为45, = = , 又cosAOB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45 = - =- , =| | |cosAOB=- ,1.(2018天津,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120, =2 , =2 , 则 的值为 ( ) A.-15 B.-9 C.-6 D.0,考点二 平面向量的应用,答案 C 本题考查向量的运算. 解法一:连接OA. = - =3 -3 =3( - )-3( - )=3( - ), =3( - ) =3( -| |2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.故选C. 解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分 别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 因为MON=120,ON=2,OM=1, 所以O ,C ,M ,B . 故 = =- - =-6.故选C.,2.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于 点O.记I1= ,I2= ,I3= ,则 ( ) A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I3,3.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2 ,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长 线上,且AE=BE,则 = .,答案 -1,解析 本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考 查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面考查了学生 逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,EAB=30, 在EAB中,AB=2 ,EA=EB=2.,4.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 =6 ,则 的值是 .,答案,5.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B 上方,M为抛物线上一点, = +(-2) ,则= .,答案 3,解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由 = +(-2) 得(x,y)=(1,2)+(-2) (1,-2)=(2-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2-2),解得=3.,6.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则 的最大值为 .,答案 6,解析 解法一: 表示 在 方向上的投影与| |的乘积,当P在B点时, 有最大 值,此时 =23=6. 解法二:设P(x,y),则 =(2,0)(x+2,y)=2x+4, 由题意知-1x1,x=1时, 取最大值6, 的最大值为6.,7.(2017天津,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 , = - (R),且 =-4,则的值为 .,答案,解析 由 =2 得 = + , 所以 = ( - )= - + - , 又 =32cos 60=3, =9, =4, 所以 =-3+ -2= -5=-4,解得= .,思路分析 根据 =2 得 = + ,利用 =-4以及向量的数量积建立关于的 方程,从而求得的值.,一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2, BAC=60,所以B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以D ,所以 = ,而 = - = (1, )-(3,0)=(-3, ),因此 = (-3)+ = -5=-4,解得= .,8.(2015安徽,15,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 =2a, =2a+b,则下 列结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号) a为单位向量; b为单位向量; ab; b ; (4a+b) .,答案 ,解析 =2a,| |=2, 2|a|=2, |a|=1,故正确. 由 = - =2a+b-2a=b,知正确, 又|b|=| |=2,故不正确. 由ab= = 22 =-1,知不正确. 由(4a+b) =(2 + ) =2 + =222 +4=0,知正确. 综上,结论正确的是.,考点一 平面向量的数量积,C组 教师专用题组,1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,向量b满足 b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是 ( ) A. -1 B. +1 C.2 D.2-,答案 A 设 =a, =b, =e,以O为原点, 的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则 E(1,0).不妨设A点在第一象限,a与e的夹角为 ,点A在从原点出发,倾斜角为 ,且在第一象 限内的射线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运 动.而 =a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y= x (x0)的距离减去圆的半径,|a-b|min= -1.选A.,一题多解 将b2-4eb+3=0转化为b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 设 =e, =a, =b, =3e, =2e,则 , 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. |a-b|=| |,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离 减去圆的半径. | |=2,AOM= , |a-b|min=2sin -1= -1.,2.(2014大纲全国,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,答案 B (2a-b)b=2ab-|b|2=211cos 60-12=0,故选B.,3.(2014课标,4,5分)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则ab= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5,答案 A 解法一:|a+b|= ,a2+2ab+b2=10. 又|a-b|= ,a2-2ab+b2=6. -,得4ab=4,即ab=1,故选A. 解法二:记m=a+b,n=a-b,则|m|= ,|n|= ,且a= (m+n),b= (m-n),则ab= (m+n)(m-n)= (|m|2- |n|2)=1.,4.(2011课标全国,3)设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=- ,则|a+2b|= ( ) A. B. C. D.,答案 B |a+2b|= = = = .,5.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形, =(1,-2), = (2,1),则 = ( ) A.5 B.4 C.3 D.2,答案 A 四边形ABCD是平行四边形, = + =(3,-1), =23+1(-1)=5. 选A.,6.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),则实数t的值为 .,答案 -5,解析 因为a(ta+b),所以a(ta+b)=0,即ta2+ab=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|= ,ab=16 +(-1)(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.,评析 本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考 查学生的运算求解能力以及方程思想的应用.,7.(2013课标,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,则t= .,答案 2,解析 解法一:bc=bta+(1-t)b=tab+(1-t)b2 =t|a|b|cos 60+(1-t)|b|2= +1-t=1- . 由bc=0,得1- =0,所以t=2. 解法二:由题意作 =a, =b,且=60,| |=| |=1.设 =c,由c=ta+(1-t)b及bc=0,得 C在BA的延长线上,且BOC=90,所以A为BC的中点,即a= b+ c,即c=2a+(1-2)b,所以t=2.,8.(2012课标全国,15,5分)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|= ,则|b|= .,答案 3,解析 把|2a-b|= 两边平方得4|a|2-4|a|b|cos 45+|b|2=10.|a|=1,|b|2-2 |b|-6=0. |b|=3 或|b|=- (舍去).,评析 本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量转化为向量的数 量积是求解的关键.,考点二 平面向量的应用 1.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于 ( ) A.- B.- C. D.,答案 A c=a+kb=(1+k,2+k).由bc,得bc=0,即1+k+2+k=0,解得k=- .故选A.,2.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9,答案 B 因为点A,B,C在圆x2+y2=1上,且ABBC,所以AC为圆x2+y2=1的直径, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x1,-y1).又P(2,0), 所以 =(x1-2,y1), =(x2-2,y2), =(-x1-2,-y1), 所以 + + =(x1-2+x2-2-x1-2,y1+y2-y1)=(x2-6,y2), 所以| + + |= = = ,又-1x21,所以| + + |的最大值为 =7.故选B.,3.(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则 的值为 ( ) A.- B. C. D.,疑难突破 利用公式ab=|a|b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系, 利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.,4.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点, =4, =-1,则 的值是 .,答案,解析 解法一: = =( + )( - ) = - , 同理, = - , = - , 因为E,F是AD上的两个三等分点, 所以 =9 , =4 , 由-可得8 =5,即 = . 由可得 = +3 =-1+ = . 解法二:由已知可得 = + = + = - = ( - )- ( + )= - , = + = + = - = ( - )- ( + )= - , = + = + = ( - )- ( + ),= - , = + = + = ( - )- ( + )= - , 因为 =4,所以 =4, 则 = = - - + = - ( + )= 4- ( + )=-1, 所以 + = , 从而 = =- - + =- ( + )+ =- + 4= = .,5.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.点E和F分别在 线段BC和DC上,且 = , = ,则 的值为 .,答案,解析 解法一:由题意可知CD=1,AD=BC=1,又因为 = , =2 ,所以 = ,在 ADF中, = + = + ,在梯形ABCD中, = + + =- + + =- + ,在ABE中, = + = + = + = + ,所以 = = + + = 22+ 21 + 12= .,解法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的坐标系, 由于AB=2,BC=1,ABC=60,所以CD=1,等腰梯形ABCD的高为 , 所以A(0,0),B(2,0),D ,C ,所以 = , =(1,0),又因为 = , = ,所以E ,F ,因此 = = + = + = .,评析 本题考查数量积的运算,向量共线的表示等基础知识,考查学生的运算求解能力和数形 结合思想的应用.,6.(2013课标,14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 = .,答案 2,解析 解法一: = ( - )= - +0=22- 22=2. 解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2). =(1,2), =(-2,2). 从而 =(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.,思路分析 解法一:以 与 为基底表示出 、 ,再利用向量的运算求得答案.解法二:建 立平面直角坐标系,表示出A,B,C,D,E的坐标,利用向量的坐标运算即可求得答案.,考点一 平面向量的数量积,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019湖北汉阳模拟,8)在ABC中,|BC|=4,( + ) =0,则 = ( ) A.4 B.-4 C.-8 D.8,答案 D 设M为BC的中点, 则 + =2 , ( + ) =0, 2 =0, , ABC是等腰三角形且AB=AC, 则 =| | |cosB=BMBC=24=8,故选D.,思路分析 设M为BC的中点,则由向量加法的平行四边形法则可得, + =2 ,然后结合 向量数量积的定义及锐角三角函数的定义可求得答案.,2.(2019河南新乡二模,5)已知a=(1,2),b=(m,m+3),c=(m-2,-1),若ab,则bc= ( ) A.-7 B.-3 C.3 D.7,答案 B a=(1,2),b=(m,m+3),ab,1(m+3)-2m=0,m=3,bc=m(m-2)-(m+3)=-3,故选B.,3.(2019河南非凡联盟4月联考,4)在等腰三角形ABC中,点D是底边AB的中点,若 =(1,2), = (2,t),则| |= ( ) A. B.5 C.2 D.20,答案 A 由题意知 ,12+2t=0,t=-1,| |= = .,解题关键 由等腰三角形的性质得出 是关键.,4.(2019湖北恩施2月质检,6)已知平面向量a,b满足(a-2b)(3a+b),且|a|= |b|,则向量a与b的夹角 为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 设a与b的夹角为. 因为|a|= |b|,所以|b|=2|a|. 因为(a-2b)(3a+b),所以(a-2b)(3a+b)=3a2-5ab-2b2=3|a|2-5|a|b|cos -2|b|2=3|a|2-5|a|2|a|cos - 2(2|a|)2=-5|a|2-10|a|2cos =0,解得cos =- .又0,所以= .故选C.,5.(2019广东一模,5)a,b为平面向量,已知a=(2,4),a-2b=(0,8),则a,b夹角的余弦值等于 ( ) A.- B.- C. D.,答案 B a=(2,4),a-2b=(0,8),b= a-(a-2b)=(1,-2), ab=2-8=-6.设a,b的夹角为,ab=|a|b|cos =2 cos =10cos , 10cos =-6,cos =- ,故选B.,6.(2019福建厦门一模,4)已知a=(1,1),b=(2,m),a(a-b),则|b|= ( ) A.0 B.1 C. D.2,答案 D 由题意知a-b=(-1,1-m).a(a-b),a(a-b)=-1+1-m=0,m=0,b=(2,0),|b|=2.故 选D.,思路分析 由题意可求出a-b=(-1,1-m),根据a(a-b)可得出a(a-b)=0,从而可求出m,进而求出b 的坐标,从而求出|b|.,7.(2019河南安阳二模,7)如图所示,直角梯形ABCD中,ABCD,ABAD,AB=AD=4,CD=8.若 =-7 ,3 = ,则 = ( ) A.11 B.10 C.-10 D.-11,答案 D 以A为坐标原点,建立直角坐标系如图. 则A(0,0),B(4,0),E(1,4),F(5,1),所以 =(5,1), =(-3,4),则 =-15+4=-11.故选D.,8.(2019河北衡水模拟二,13)已知向量a=( cos 75,cos 75),b=(0,sin 75),则|a+2b|= .,答案,解析 由题意得a+2b=( cos 75,cos 75+2sin 75),则(a+2b)2=3cos275+(cos 75+2sin 75)2=4cos275+4sin275+4sin 75cos 75=4+2sin 150=5,|a+2b|= .,9.(2019江西临川九校3月联考,13)已知平面向量a=(2m-1,2),b=(-2,3m-2),且ab,则|2a-3b|= .,答案,解析 ab,ab=-2(2m-1)+2(3m-2)=0,解得m=1, a=(1,2),b=(-2,1),2a-3b=(2,4)-(-6,3)=(8,1), |2a-3b|= = .,10.(2018皖南八校三模,13)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,则(a+2b)a= .,答案 1+,解析 因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45, 所以(a+2b)a=a2+2ab=|a|2+2|a|b|cos 45=1+ .,考点二 平面向量的应用 1.(2019广东湛江一模,5)已知向量a=(1,3),b=(2,m),且a与b的夹角为45,则m= ( ) A.-4 B.1 C.-4或1 D.-1或4,答案 C cos= ,cos 45= = ,解得m=1或m=-4.故选C.,2.(2019河北衡水模拟三,7)已知向量a=(1,k),b=(2,4),则“k=- ”是“|a+b|2=a2+b2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 C 由|a+b|2=a2+b2,得a2+2ab+b2=a2+b2,得ab=0,得(1,k)(2,4)=0,解得k=- ,所以“k=- ” 是“|a+b|2=a2+b2”的充要条件.故选C.,3.(2019安徽蚌埠一模,6)设向量a=(m,0),b=(1,1),且|b|2=|a|2-|a-b|2,则m等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B a=(m,0),|a|2=m2.b=(1,1),|b|2=2.a-b=(m-1,-1),|a-b|2=(m-1)2+1, 2=m2-(m-1)2-1,解得m=2.故选B.,4.(2017湖南长沙长郡中学12月模拟,4)已知向量a=(m,2),b=(-1,n)(n0),且ab=0,点P(m,n)在圆x2 +y2=5上,则|2a+b|= ( ) A. B.4 C.4 D.3,答案 A ab=0,-m+2n=0, P(m,n)在圆x2+y2=5上,m2+n2=5, n0,联立解得m=2,n=1, a=(2,2),b=(-1,1),2a+b=(3,5), |2a+b|= ,故选A.,5.(2019湖北武汉模拟,9)已知向量a,b满足|a|=4,b在a方向上的投影为-2,则|a-3b|的最小值为 ( ) A.12 B.10 C. D.2,答案 B 设a与b的夹角为.由于b在a方向上的投影为-2,所以|b|cos = =-2,所以ab=-8,又 |b|cos =-2,所以|b|2,则|a-3b|= = =10,即|a-3b|的最小值为1 0,故选B.,6.(2019安徽滁州一模,11)ABC中,AB=5,AC=10, =25,点P是ABC内(包括边界)的一动 点,且 = - (R),则| |的最大值是 ( ) A. B. C. D.,答案 B ABC中,AB=5,AC=10, =25,510cos A=25,cos A= ,A=60,BC= =5 ,AB2+BC2=AC2,B=90.以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如 图所示的坐标系, 则A(0,0),B(5,0),C(5,5 ),设点P为(x,y),0x5,0y5 , = - , (x,y)= (5,0)- (5,5 )=(3-2,-2 ), y= (x-3),直线BC的方程为x=5, 联立 解得 此时| |最大, 为 = .故选B.,思路分析 以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,根据向量的坐标运算求 得点P所在直线的方程为y= (x-3),当该直线与直线BC相交时,| |取得最大值.,7.(2019山西吕梁四月模拟,7)如图,| |=2,| |= ,| |=4, 与 的夹角为135,若 = +4 ,则= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B | |=2,| |= , 与 的夹角为135, =2 =-2, = +4 , =2 +16 +8 , 16=42+162+8(-2),=2.故选B.,8.(2019河南郑州一模,13)已知e1,e2为单位向量且夹角为 ,设a=3e1+2e2,b=3e2,则a在b方向上的 投影为 .,答案,解析 根据题意得,ab=9e1e2+6 =911 +6=- +6= ,又|b|=3,a在b方向上的投影为 = = .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:25分钟 分值:50分) 一、选择题(每题5分,共35分),1.(2019广东广雅中学模拟,10)如图所示,等边ABC的边长为2,AMBC,且AM=6.若N为线段 CM的中点,则 =( ) A.24 B.23 C.22 D.18,答案 B 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,过点A作垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示 的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1, ), 因为ABC为等边三角形,且AMBC, 所以MAB=120, 所以M(-3,3 ). 因为N是CM的中点,所以N(-1,2 ), 所以 =(-1,2 ), 又 =(-5,3 ), 所以 =23.,一题多解 依题意知| |=| |=2, 与 的夹角为60,且 =3 , = ( + )= (3 + )= ( - )+ =2 - . = - =3 - =3( - )- =3 -4 .则 = (3 -4 )= 6 +6 -8 - =23.,2.(2018河南六市联考,8)在ABC中,ACB=90,AB=2BC=4,M,N是边AB上的两个动点,且|MN| =1,则 的取值范围为 ( ) A. B.5,9 C. D.,答案 A 以C为原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴建立坐标系如图所示:,思路分析 建立直角坐标系,设AN=a,用a表示出 , ,得出 关于a的表达式,从而得 出范围.,3.(2018安徽师大附中二模,7)在ABC中,AB=2AC=6, = ,点P是ABC所在平面内一 点,则当 + + 取得最小值时, = ( ) A. B.- C.9 D.-9,答案 D =| | |cosABC=| |2, | |cosABC=| |=6, ,即BAC= , 以A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则B(6,0),C(0,3),设P(x,y), 则 + + =x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2 =3x2-12x+3y2-6y+45 =3(x-2)2+(y-1)2+10, 当x=2,y=1时, + + 取得最小值, 此时 =(2,1)(-6,3)=-9,故选D.,思路分析 由题意可得BAC= ,以A为坐标原点建立坐标系,设P(x,y),根据 + + = 3(x-2)2+(y-1)2+10得到当x=2,y=1时, + + 取得最小值,然后求出 .,4.(2017河北张家口期末,6)已知向量a=(1,x-1),b=(y,2),其中x0,y0,若ab,则xy的最大值为 ( ) A.- B. C.1 D.2,答案 B 因为a=(1,x-1),b=(y,2),ab, 则ab=y+2(x-1)=0, 即2x+y=2, 因为x0,y0, 所以2=2x+y2 , 解得xy