（课标专用）2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.2简单的线性规划课件.pptx

7.2 简单的线性规划,高考文数 (课标专用),考点一 简单的线性规划问题,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2017课标全国,7,5分)设x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 D 解法一:作出约束条件表示的可行域如图: 平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,zmax =3,故选D. 解法二:由约束条件画出可行域(图略),求出三个顶点的坐标为(3,0),(1,0), ,分别代入目标 函数z=x+y,得到zmax =3.故选D.,2.(2017课标全国,7,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+y的最小值是 ( ) A.-15 B.-9 C.1 D.9,答案 A 根据线性约束条件画出可行域,如图. 作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值. 由 得点A的坐标为(-6,-3).zmin=2(-6)+(-3)=-15.故选A.,解题关键 正确画出可行域、找到最优解是求解关键.,3.(2017课标全国,5,5分)设x,y满足约束条件 则z=x-y的取值范围是 ( ) A.-3,0 B.-3,2 C.0,2 D.0,3,答案 B 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0). 由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2, 故z=x-y的取值范围是-3,2.故选B.,4.(2019课标全国,13,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=3x-y的最大值是 .,答案 9,解析 本题考查简单的线性规划问题;以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合 思想及运算求解能力;考查数学运算的核心素养. 作出可行域(如图阴影部分所示). 易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).将z=3x-y化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z经过点A(3,0)时,截距-z取得最小值,从而z取得最大值.zmax=33=9.,易错警示 因为目标函数中y的系数为负值,所以容易理解为在点C处取得最大值,导致错误.,5.(2018课标全国,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为 .,答案 6,解析 本题主要考查线性规划. 由x,y满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示). 由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(2,0)时,z取得最大值,zmax=23=6.,规律总结 线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略: (1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以 对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相 应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当常数 用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式 求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满 足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.,6.(2018课标全国,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为 .,答案 9,解析 本题考查简单的线性规划. 由约束条件画出可行域(如图所示的阴影部分), 由图可知,当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,最大值为9.,7.(2018课标全国,15,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=x+ y的最大值是 .,答案 3,8.(2016课标全国,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=x-2y的最小值为 .,答案 -5,解析 解法一:由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界). 当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=3-24=-5. 解法二:易知可行域为封闭区域, 所以线性目标函数的最值在交点处取得, 易求得交点分别为(3,4),(1,2),(3,0),依次代入目标函数可求得zmin=-5.,9.(2016课标全国,13,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+3y-5的最小值为 .,答案 -10,解析 可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过 (-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10.,10.(2015课标,15,5分)若x,y满足约束条件 则z=3x+y的最大值为 .,答案 4,解析 由线性约束条件画出可行域,如图. 解方程组 得 即A点坐标为(1,1). 当动直线3x+y-z=0经过点A(1,1)时,z取得最大值,zmax=31+1=4.,解后反思 当可行域是一个封闭的三角形区域时,将三角形的顶点坐标代入目标函数可快速 得到答案.,考点二 线性规划的实际应用 (2016课标全国,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一 件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0. 3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有 甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的 最大值为 元.,答案 216 000,解析 设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2 100x+900y. 根据题意得 即 作出可行域(如图中的整点). 由 得 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,zmax= 2 10060+900100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.,方法点拨 解决此类问题的关键:一是构建模型;二是判断二元一次不等式组表示的平面区 域;三是掌握求线性目标函数最值的一般步骤:一画二移三求.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域,1.(2016浙江,4,5分)若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行 直线间的距离的最小值是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 作出可行域如图. 由 得A(2,1), 由 得B(1,2). 斜率为1的平行直线l1,l2分别过A,B两点时它们之间的距离最小.过A(2,1)的直线l1:y=x-1,过B(1, 2)的直线l2:y=x+1,此时两平行直线间的距离d= = .故选B.,2.(2015重庆,10,5分)若不等式组 表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则m 的值为 ( ) A.-3 B.1 C. D.3,答案 B 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m-1,所围成的区域为 ABC,SABC=SADC-SBDC. 点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为 (1+m),C,D两点的横坐标分别为2,-2m, 所以SABC= (2+2m)(1+m)- (2+2m) (1+m) = (1+m)2= ,解得m=-3(舍去)或m=1.故选B.,考点二 简单的线性规划问题 1.(2019天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=-4x+y的最大值为 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6,答案 C 本题主要考查简单的线性规划问题.通过求线性目标函数的最大值考查学生的运 算求解能力,体现了数学运算的核心素养. 作出可行域(如图阴影部分), 平移直线-4x+y=0可知,目标函数z=-4x+y在P点处取最大值, 由 得P(-1,1). zmax=-4(-1)+1=5.故选C.,解题反思 对于目标函数z=Ax+By,当B0时,目标直线向上平移,z变大;当B0时,目标直线向下 平移,z变大.,2.(2019浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值是 ( ) A.-1 B.1 C.10 D.12,答案 C 本题考查简单的线性规划问题,考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核 心素养. 根据题意画出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示),画出直线l0:3x+2y=0,平移l0可 知,当l0经过点C(2,2)时,z取最大值,即zmax=32+22=10,故选C.,一题多解 根据线性约束条件得出平面区域为ABC及其内部(如上图所示),其中A(-1,1),B(1, -1),C(2,2),经检验,知目标直线经过点C(2,2)时,z取最大值10.故选C.,3.(2018天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x+5y的最大值为 ( ) A.6 B.19 C.21 D.45,答案 C 本题主要考查线性目标函数最值的求解. 由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示). 作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当经过点A(2,3)时,z取最大值,zmax=32+53=21,故选C.,4.(2017北京,4,5分)若x,y满足 则x+2y的最大值为 ( ) A.1 B.3 C.5 D.9,答案 D 本题考查简单的线性规划. 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分. 令z=x+2y, 当z=x+2y过A点时,z取最大值. 由 得A(3,3), z的最大值为3+23=9.故选D.,5.(2017山东,3,5分)已知x,y满足约束条件 则z=x+2y的最大值是 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3,答案 D 本题考查简单的线性规划. 画出可行域如图: 作直线l0:y=- x. 经平移可得z=x+2y在点A处取得最大值,由 解得A(-1,2),所以zmax=-1+22=3.故选D.,6.(2017浙江,4,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+2y的取值范围是 ( ) A.0,6 B.0,4 C.6,+) D.4,+),答案 D 本题考查线性规划中可行域的判断,最优解的求法. 不等式组形成的可行域如图所示. 平移直线y=- x,当直线过点A(2,1)时,z有最小值4.显然z没有最大值.故选D.,7.(2015广东,4,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+3y的最大值为 ( ) A.2 B.5 C.8 D.10,答案 B 作出不等式组所表示的平面区域,如图.z=2x+3y可化为y=- x+ ,当直线y=- x+ 经 过点A(4,-1)时,z最大,最大值为24+3(-1)=5.选B.,8.(2019北京,10,5分)若x,y满足 则y-x的最小值为 ,最大值为 .,答案 -3;1,解析 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.核心素养体现了直观想象. 由线性约束条件画出可行域,为图中的ABC及其内部.易知A(-1,-1),B(2,-1),C(2,3).设z=y-x,平 移直线y-x=0,当直线过点C时,zmax=3-2=1,当直线过点B时,zmin=-1-2=-3.,解题关键 正确画出可行域是求解的关键.,9.(2018浙江,12,6分)若x,y满足约束条件 则z=x+3y的最小值是 ,最大值是 .,答案 -2;8,解析 本小题考查简单的线性规划. 由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图. 当直线y=- x+ 过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8.,思路分析 (1)作出可行域,并求出顶点坐标. (2)平移直线y=- x,当在y轴上的截距最小时,z=x+3y取得最小值,当在y轴上的截距最大时,z=x+ 3y取得最大值.,考点三 线性规划的实际应用 1.(2015陕西,11,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所 需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万 元,则该企业每天可获得最大利润为 ( ),A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元,答案 D 设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z万元, 则由题设可得 z=3x+4y. 画出可行域(图略),利用线性规划知识可求得zmax=18,故选D.,2.(2017天津,16,13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每 次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:,已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于 30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出 的甲、乙两套连续剧的次数. (1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?,(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y. 考虑z=60x+25y,将它变形为y=- x+ ,这是斜率为- ,随z变化的一族平行直线. 为直线在y 轴上的截距,当 取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z= 60x+25y经过可行域上的点M时,截距 最大,即z最大. 图2 解方程组 得点M的坐标为(6,3). 所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.,方法技巧 解线性规划应用题的步骤:(1)转化设元,写出约束条件和目标函数,从而将实 际问题转化为线性规划问题;(2)求解解这个纯数学的线性规划问题;(3)作答将数学 问题的答案还原为实际问题的答案.,C组 教师专用题组 考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (2015浙江,14,4分)已知实数x,y满足x2+y21,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是 .,答案 15,解析 解法一:x2+y21表示单位圆及其内部的区域,如图,考点二 简单的线性规划问题 1.(2015湖南,4,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=2x-y的最小值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,答案 A 作出可行域,如图, 直线2x-y-z=0经过点A(0,1)时,直线的纵截距最小,zmin=20-1=-1.故选A.,2.(2015安徽,5,5分)已知x,y满足约束条件 则z=-2x+y的最大值是 ( ) A.-1 B.-2 C.-5 D.1,答案 A 作出可行域,如图所示, 当z=-2x+y经过点A时,z取得最大值,由 得A(1,1),则zmax=-21+1=-1.,3.(2015天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x+y的最大值为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.14,答案 C 由x,y的约束条件画出可行域(如图),其中A(2,3),B(2,1),当直线3x+y-z=0经过点A(2,3) 时,z取最大值9,故选C.,评析 正确画出可行域是解决本题的关键.,4.(2015四川,9,5分)设实数x,y满足 则xy的最大值为 ( ) A. B. C.12 D.16,答案 A 解法一:作出可行域,如图.设z=xy,则y= . y= 关于y=x对称, 当y= 与2x+y=10相切时,z有最大值. 把y=10-2x代入xy=z,得x(10-2x)=z,即2x2-10x+z=0,由=100-42z=0,得z= . 此时切点为 ,满足线性约束条件.xy的最大值为 . 解法二:作出可行域,如图. 易求得A(2,6),B(4,2). 设z=xy,若xy有最大值,则点(x,y)在第一象限,xy的几何意义为以可行域中的点对应的横坐标x, 纵坐标y为邻边长的矩形面积,所以z=xy的最大值在上边界或右边界取得.,当0x2时,z=xy=x =- (x-7)2-49, 当x=2时,z取得最大值,zmax=12. 当2x4时, z=xy=x(10-2x)=-2 + , 当x= 时,z取得最大值,zmax= . xy的最大值为 ,故选A.,5.(2015课标,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 .,答案 8,解析 由约束条件画出可行域(如图所示).解方程组 得A(3,2).当动直线2x+y-z=0经 过点A(3,2)时,zmax=23+2=8.,6.(2015湖北,12,5分)若变量x,y满足约束条件 则3x+y的最大值是 .,答案 10,解析 由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分(包括边界),令z=3x+y,则当直线y=-3x+z经过 点A时,z=3x+y取得最大值,解方程组 得点A的坐标为(3,1),则zmax=33+1=10.,7.(2015北京,13,5分)如图,ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z= 2x+3y的最大值为 .,答案 7,解析 由题意可知直线z=2x+3y经过点A(2,1)时,z取得最大值,即zmax=22+31=7.,8.(2015山东,12,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+3y的最大值为 .,答案 7,解析 如图,可行域为ABC及其内部. 由z=x+3y,得y=- x+ , 当 最大时,z最大,而 的几何意义是直线y=- x+ 在y轴上的截距, 所以当直线y=- x+ 通过点A(1,2)时,z最大. 所以zmax=1+32=7.,考点三 线性规划的实际应用 (2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲,种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:,现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示 计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.,解析 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分: 图1,(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y. 考虑z=2x+3y,将它变形为y=- x+ ,这是斜率为- ,随z变化的一族平行直线. 为直线在y轴上 的截距,当 取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经 过可行域上的点M时,截距 最大,即z最大.,图2 解方程组 得点M的坐标为(20,24). 所以zmax=220+324=112. 答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.,疑难突破 解决有关线性规划实际问题的关键是找出两变量之间所满足的关系式,利用图解 法进行解答.,评析 本题主要考查用线性规划的基础知识和基本方法解决简单实际问题的能力以及抽象 概括能力和运算求解能力.,考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018福建宁德期末,5)已知点A(2,1),B为不等式组 所表示平面区域上的任意一 点,则|AB|的最小值为( ) A. B. C.1 D.,答案 B 不等式组 表示的可行域如图: 由图可知|AB|的最小值为点A到直线x-y=0的距离,为 = .故选B.,2.(2019江西九江重点中学联考,4)已知实数x,y满足线性约束条件 则其表示的平面区 域外接圆的面积为 ( ) A. B.2 C.4 D.6,答案 C 由线性约束条件 画出可行域如图(ABC及其内部),x+y=2与y=x垂直, ABC为直角,即三角形ABC为直角三角形, AC为ABC外接圆的直径,又A(-1,3),C(-1,-1), AC=4,ABC外接圆的半径r=2, ABC外接圆的面积为r2=4,即所求平面区域外接圆的面积为4.故选C.,解题关键 根据三角形的形状确定外接圆的直径,从而求外接圆的半径,即可得到结论.,3.(2019河南天一大联考五,13)不等式组 表示的平面区域的面积为 .,答案 3,解析 依据不等式组画出可行域,如图阴影部分所示, 平面区域为ABC及其内部,其中A(2,0),B(0,2),C(2,3),所以所求面积为 2|AC|=3.,考点二 简单的线性规划问题 1.(2019广东佛山一模,3)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=2x+y的最大值为 ( ) A.7 B.8 C.15 D.16,答案 B 作出变量x,y满足约束条件 的可行域如图: 由图可知,目标函数z=2x+y在点A处取得最大值, 由 得A(3,2). 所以zmax=23+2=8. 故选B.,2.(2018广东揭阳期末,10)若x,y满足约束条件 则z= +y的最小值为 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2,答案 A 作出x,y满足约束条件 的平面区域如图所示: 由图易得,目标函数z= +y在点A处取最小值,为-1.故选A.,3.(2019福建漳州一模,5)若实数x,y满足 则x+y ( ) A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值 C.既有最小值也有最大值 D.既无最小值也无最大值,答案 A 如图即为实数x,y满足 的可行域, 由 得A . 由图易得:当x= ,y= 时,x+y有最小值 ,没有最大值.故选A.,4.(2019湖南长沙一模,6)若x,y满足 则z=2x-y的取值范围是 ( ) A.0,3 B.1,3 C.-3,0 D.-3,-1,技巧点拨 线性目标函数的最值一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性 规划问题,可以直接解出可行域的顶点坐标,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确 定目标函数的最值.,5.(2019江西九江一模,7)若x,y满足约束条件 若z=2x-3y的最大值为9,则正实数m的 值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.8,答案 A 作出x,y满足约束条件 表示的可行域如图, 由图可知z=2x-3y在点A处取得最大值, 由 解得A(3,m-3), 由zmax=23-3(m-3)=9,解得m=2.故选A.,6.(2018河南洛阳期末,8)已知点(x,y)满足 目标函数z=ax+y仅在点(1,0)处取得最小值, 则a的取值范围为 ( ) A.(-1,2) B.(-2,1) C. D.,答案 B 作出不等式组对应的平面区域,如图, 由z=ax+y可得y=-ax+z,直线的斜率k=-a, kAC=2,kAB=-1, 目标函数z=ax+y仅在点A(1,0)处取得最小值,则有kABkkAC,即-1-a2,-2a1, 即实数a的取值范围是(-2,1).故选B.,小题巧解 画出可行域同上,其中A(1,0),B(0,1),C(3,4),因为z=ax+y仅在点A(1,0)取得最小值,所 以 即 解得-2a1.故选B.,解后反思 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根 据条件目标函数z=ax+y仅在点(1,0)处取得最小值,确定直线的位置是解决本题的关键.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:25分钟 分值:40分) 一、选择题(每题5分,共35分),1.(2019安徽马鞍山一模,5)已知实数x、y满足 则x2+y2的最大值与最小值之和为 ( ) A.5 B. C.6 D.7,答案 B 作出不等式组 表示的可行域如图, x2+y2的几何意义是原点O到可行域内点的距离的平方, 由图可知,O到直线x+y-1=0的距离最小,为 . 可行域内的点B与坐标原点的距离最大,为 = . x2+y2的最大值与最小值之和为5+ = . 故选B.,易错警示 x2+y2的几何意义,即原点O到可行域内点的距离的平方,易忘记平方而出错.,2.(2019河南洛阳一模,9)已知实数x,y满足约束条件 则z= 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. ,答案 A 作出可行域如图所示, z= 表示可行域内的点(x,y)与定点C(5,0)连线的斜率, 易求得A(2,2),B(2,-4), 所以kAC=- ,kBC= , 则由图可知- z . 故选A.,3.(2018皖南八校4月联考,7)设x,y满足约束条件 则z=|x+3y|的最大值为 ( ) A.15 B.13 C.3 D.2,答案 A 画出约束条件所表示的可行域,如图所示, 设z1=x+3y,可化为y=- x+ , 当直线y=- x+ 经过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时z1取得最大值; 当直线y=- x+ 经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z1取得最小值,一题多解 画出约束条件表示的可行域(图略).z=|x+3y|= 表示可行域内的动点P(x, y)到直线x+3y=0的距离d的 倍,即z= d.由图可知,dmax= = ,zmax=15.故选A.,4.(2017山西晋中二模,7)已知D= ,给出下列四个命题: p1:(x,y)D,x+y+10; p2:(x,y)D,2x-y+20; p3:(x,y)D, -4; p4:(x,y)D,x2+y22. 其中