对偶经济的意义和影子价格

对偶的经济意义和影子价格,前提条件,供给-需求函数 供给增加，价格下降，需求增加，价格上升。 均衡理论,P,需求,供给,Q,均衡点,工厂的例子,Products A B profit $6 $7 machine one time 2 3 24 machine two time 2 1 16 How many A and B should we product to fits the maximized profit while time is limited?,变量：x表示A的台数，y表示B的台数 目标函数：利润最大 max f(x,y)=6x7y s.t. 2x+3y=0,另一个问题,如果工厂把机器出租，以A与B产品为比较，机器1和机器2应该以什么利润出租才合算。,分析,对于产品A所需的工时，应产生不小于$6的利润，对于产品B所需的工时，应产生不小于$7的利润，而机器1和机器2分别有24和16个工时。为了保证完全租出所有的机器时间，出租的单位利润应该尽量低。设出租利润分别为z1和z2，有： Min g(z1,z2)=24z1+16z2 s.t. 2z1+2z2=6 3z1+z2=7 z1,z2=0,max f(x,y)=6x7y s.t. 2x+3y=0,原问题,设一公司从事n种生产活动，第j种活动的产量是xj=0，在生产活动中要消耗m种资源，aij为生产活动j耗用资源i的量（技术系数），bi为资源i的可使用量，ci为生产活动j的每单位收入。假设公司可以以市场价格wi买进或卖出资源，则公司可获收入为：,（1）,在理想的竞争环境中，有如下可能： （1）若 ，则公司需购进资源i，市价抬高，公司利润将会减少，此时公司应选择自己的生产活动，使 （2）若 ，则对利润无影响。 （3）若 ，则公司可卖出资源i，市场降低wi为0（实际是使市价低于买入价，让公司不可能卖出资源），则公司的利润只是 。,线性规划的正问题：,线性规划的一般形式,s.t.,在理想的竞争环境中，有如下可能： （1）当 时，公司全力投入生产，此时市场调整wi，使 （2）当 时，公司将全部卖出原料，使xj=0，市场要调整wi，使 最小。,线性规划的对偶问题：,收入可变型为：,（2）,对偶问题的形式,s.t.,原问题与对偶问题的关系,当公司与市场的决策相互影响并达到平衡时：,全部用来生产，原料不买入,不要生产，全部原料以最低价格卖出,原问题与对偶问题的关系,互为对偶 最优解的存在性相同。 目标函数值相等。 解互为影子价格。,对偶问题的求法,学校准备为学生添加营养餐，每个学生每月至少需要补充60单位的碳水化合物，40单位的蛋白质和35单位的脂肪。已知两种营养品每斤： A B 含量 碳水化合物 5 2 单位 蛋白质 3 2 单位 脂肪 5 1 单位 单价 1.5 0.7 问题：买A和B分别多少斤即满足学生营养需要又省钱？,对偶求法,Min S(x,y)=1.5x+0.7y Max f(z1,z2,z3)=60z1+40z2+35z3 S.T. 5x+2y=60 5z1+3z2+5z3=40 2z1+2z2+z3=35 x=0 z1,z2,z3=0 y=0,对偶问题,要出售给某学校营养品，已知A的单价不能超过1.5 元/斤，B的单价不能超过0.7元/斤，A与B的碳、蛋、脂含量应达到60、40、35。又知A与B的碳、蛋、脂含量分别为：5、3、5，2、2、1，试求市场如何控制碳、蛋、脂的单位成本才能使销售商能购买原料并卖出所有的营养品？,影子价格的问题,在工厂的例子中，只有 gmin g时，出租资源才是合算的。 z1表示机器1的影子价格，z2表示机器2的影子价格。当机器1的出租利润低于z1时或机器2的出租利润低于z2时，出租不合算。 反之，当A的利润x或B的利润y时，生产是不合算的。,影子价格的问题,对于正问题，z1表示增加一份机器1的工时对利润目标函数产生的影响