2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算课件.pptx

3.1.4 空间向量的直角坐标运算,第三章 3.1 空间向量及其运算,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解空间向量坐标的定义. 2.掌握空间向量运算的坐标表示. 3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 空间向量的坐标表示 1.空间直角坐标系及空间向量的坐标 建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，这个基底叫做 .单位向量i，j，k都叫做 . 2.空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的 .上式可简记作a .,单位正交基底,坐标向量,坐标,(a1，a2，a3),知识点二 空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),(a1，a2，a3),a1b1a2b2a3b3,知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则,a1b1a2b2a3b30,思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,命题角度1 空间向量的坐标表示 例1 如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F，G分别为棱DD，DC，BC的中点，以 为基底，求下列向量的坐标.,题型一 空间向量的坐标表示与运算,多维探究,反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤,解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2y轴，P1P4x轴，SO在z轴上. |P1P2|2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， P1(1,1,0)，P2(1,1,0). 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称， P3(1，1,0)，P4(1，1,0).,命题角度2 空间向量的坐标运算 例2 已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b等于 A.(2，4,2) B.(2,4，2) C.(2,0，2) D.(2,1，3),解析 依题意，得ba(1,2，1)a(1，2,1) 2(1，2,1)(2，4,2).,反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.,跟踪训练2 若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)(2b)2，则x_.,解析 由题意，得ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)， 故(ca)(2b)2(1x)2，解得x2.,2,题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示,解得1.即c(2，1,2)或c(2,1，2).,(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.,所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4). 又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0. 即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.,引申探究 若将本例(2)中改为“若kab与ka2b互相垂直”，求k的值.,解 由题意知kab(k1，k，2)， ka2b(k2，k,4)， (kab)(ka2b)， (kab)(ka2b)0，,反思感悟 (1)平行与垂直的判断 应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线. 判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0. (2)平行与垂直的应用 适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程. 选择坐标形式，以达到简化运算的目的.,解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，,由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，,所以3(a1，a1,0)(a，a，0)，,由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，,题型三 空间向量的夹角与长度的计算,例4 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：EFCF；,解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，,(3)求CE的长.,反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.,跟踪训练4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60. (1)求四棱锥P-ABCD的体积；,解 四边形ABCD是边长为2的菱形，且DAB60，,OAOC，BOOD1，S菱形ABCD222.,(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.,解 如图，以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，,异面直线所成的角为锐角或直角，,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN,空间向量在平行与垂直中的应用,典例 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB ，AF1，M是线段EF的中点. 求证：(1)AM平面BDE；,证明 平面ABCD平面ACEF， 平面ABCD平面ACEFAC，ECAC， 所以EC平面ABCD，又BCDC， 如图，建立空间直角坐标系， 设ACBDN，连接NE，,又NE与AM不共线，NEAM. 又NE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.,(2)AM平面BDF.,又DFBFF，且DF平面BDF，BF平面BDF， AM平面BDF.,素养评析 解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定.,3,达标检测,PART THREE,1.已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于 A.(16,0,4) B.(8，16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4),1,2,3,4,5,解析 4a2b4(3，2,1)2(2,4,0) (12，8,4)(4,8,0)(8,0,4).,1,2,3,4,5,2.已知向量a(0,2,1)，b(1,1，2)，则a与b的夹角为,3.若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，则a(bc)的值为 A.4 B.15 C.3 D.7,1,2,3,4,5,解析 bc(2,2,5)，a(bc)4653.,1,2,3,4,5,解析 依题意得(kab)(2ab)0， 所以2k|a|2kab2ab|b|20， 而|a|22，|b|25，ab1，,1,2,3,4,5,3.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的