04刚体的平面运动

第4章 刚体的平面运动, 4.1 刚体平面运动的概述和运动分解 4.2 平面图形内各点的速度 4.2.1 基点法 4.2.2 速度投影法 4.2.3 速度瞬心法 4.3 平面图形内各点的加速度 本章习题, 4.1 刚体平面运动的概述和运动分解,刚体的平面运动在工程中是常见的。例如，车轮沿直线轨道的滚动(见图4.1)，曲柄连杆机构中连杆AB的运动(见图4.2)，行星齿轮机构中动齿轮A的运动(见图4.3)等。这些刚体的运动具有一个共同特点：在运动时，刚体上的任意一点与某一固定平面的距离始终保持不变，刚体的这种运动称为刚体的平面运动。,考察做平面运动的刚体(见图4.4)。,平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形在它自身平面内的运动来研究。,设平面图形S在它所在的平面内运动，在该平面内取定坐标系Oxy，如图4.5所示。任意时刻平面图形的位置可由图形内任意线段AB的位置确定，而线段AB的位置可由A点的坐标及线段AB与x轴的夹角决定。当图形运动时，它们都是时间t的单值连续函数，即,上式称为刚体平面运动的运动方程。,其中任意选定的A点称为图形的基点。若已知刚体平面运动的运动方程，则对应于任意时刻t，图形在该时刻的位置也就完全确定了。 有了刚体的平面运动方程，便可确定其上任何点的运动方程。图4.5中B点的运动方程为,根据运动方程可求得各点的轨迹、速度和加速度。但在实际问题中，由于刚体的运动方程不易确定，而且用微分方法求其速度、加速度繁琐困难，因而，确定刚体及其刚体上各点的运动规律一般采用运动合成与分解的方法。 如果图形中的A点固定不动，则平面图形的运动为刚体绕定轴转动；如果线段AB的方位不变，即 不变，则平面图形做平动。由此可见，刚体的平面运动包含着刚体基本运动的两种形式：平动和转动。下面将进一步说明这个问题。,如图4.6所示，在平面图形上任取一点A，称为基点，并以点A为原点作平动坐标系 ，即该平动坐标系并非完全固连在平面图形上，而是原点和基点固连，坐标轴的方向始终不变，可令其分别平行于静坐标轴的方向。,设在任一时刻t，直线在位置，经过时间间隔t后到达位置。直线由位置运动至位置，可视为先随固定在A点的平动坐标系 平动至位置 ，然后再绕A点转过角度 ，则直线AB最后到达位置。这样，平面图形的运动可以分解为随同基点的平动(牵连运动)和绕基点的转动(相对运动)。或者说，平面图形的平面运动可以看成这两部分运动的合成，即,(绝对运动),(牵连运动),(相对运动),显然，选取不同的点作为基点，同样可以实现上述运动的分解。如图4.6所示，若选图中的B点作为基点，则先使AB随B点平动到 位置，然后再绕B转动 角也到达位置。 必须注意的是，将运动分解时，虽然对基点的选取不受任何限制，但由于基点的选择不同，其平动部分的运动规律则不相同。从图4.6中可以看出，选取不同的基点A或B，则平动的位移 和 是不同的，当然，图形随A点或B点平动的速度和加速度也不相同。因此，把平面运动分解为平动和转动时，其中平动部分的运动规律(位移、速度和加速度)与基点的选择有关。但对于绕不同的基点转过的转角 和 的大小及转向总是相同的，即 。根据角速度的定义，平面图形绕A点、B点转动的角速度分别,，,可见 ,同理有 .这说明转动部分的运动规律(转角、角速度、角加速度)与基点的选择无关。也就是说，在任一时刻，平面图形绕任意基点转动的角速度和角加速度都相同。,综上所述，平面运动可取任意基点分解为平动和转动，其中平动的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无关。 应注意到平面图形绕基点的转动，既是相对于动系的转动，也是相对于静系的转动。所以 、 均为图形相对于静系的绝对角速度和绝对角加速度。以后将其统称为平面图形的角速度、角加速度., 4.2 平面图形内各点的速度 4.2.1 基点法,设某时刻平面图形S内任意点A的速度为 ，平面图形的角速度为 ，求图形上任一点B的速度(见图4.7)。,选取A点为基点，并以它为原点作平动坐标系 对平面运动进行分解。B点相对于静系的速度为绝对速度 。动系上与动点B重合的点的速度为其牵连速度，由于动坐标系做平动，其上各点的速度均与基点的速度相同，故基点A的速度就是点B的牵连速度，即 。因图形对动系的相对运动为绕基点A的转动，则B点相对于动系做圆周运动的速度即为其相对速度，以 表示，有 ，其大小 ，方向垂直于连线AB，指向与角速度 的转向一致。由速度合成定理,可得,(4-1),即刚体平面运动时，平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。这种用速度合成定理由基点的速度求另一点的速度的方法称为基点法或称为速度合成法。,它是分析平面图形内各点速度之间关系的最基本的方法。只要问题涉及式(4-1)中有关速度的大小和方向六个要素，当知道了其中的四个之后，就能应用基点法求其余两个待求量，解题的具体步骤为： (1) 分析运动。弄清题意，分析机构中各构件的运动，明确研究对 象。 (2) 对平面运动的构件，应选取速度已知的点为基点，并分析所求点的三种速度，弄清其大小和方向中哪些量是已知的，哪些是待求的。 (3) 按式(4-1)的矢量关系，作出速度平行四边形，由几何关系求出未知量。,【例4.1】 椭圆规尺如图4.8所示，滑块A沿水平槽运动，滑块沿铅垂槽运动。已知：AB长为l，滑块A的速度为 。试求图示AB与水平线夹角为时，B端的速度以及尺AB的角速度。 解：(1) 分析运动。滑块A和滑块B直线平动，尺AB平面运动，选AB为研究对象。 (2) 选速度已知的点A为基点，列出点B的速度关系式为,大小： ？ ？ 方向： ,在上式中， 的大小和方向已知， 的大小未知、方位已知 (因滑块B在y轴上做直线运动)， 的大小未知、方位垂直于AB。共有四个要素是已知的。,(3) 作出速度平行四边形如图4.8所示。作图时，应注意使 位于平行四边形的对角线上，这样 、 的指向即可确定。 由图中的几何关系可得,由于 ，所以尺AB的角速度为,转向与 的指向一致，如图4.8所示。,【例4.2】 破碎机机构如图4.9(a)所示。设曲柄的长度OA=r=50cm，AB=2r=100cm，OA以匀角速度 =4rad/s做顺时针方向转动。试求在图示位置时( ， ， )，B点的速度及BC杆的角速度。,解：(1) 分析运动。破碎机简化后如图4.9(b)所示，是一个四连杆机构，曲柄OA做定轴转动，杆BC绕定轴C做摆动，连杆AB的运动是平面运动。因此我们选AB杆为研究对象。,(2) 选基点。因AB杆上A点速度是已知的，故以A点为基点，列出B点的速度关系式为,大小：？ ？ 方向： ,(3) 作出速度平行四边形如图4.9(b)所示。由图中的几何关系得,BC杆在此时刻的角速度为,的转向与 的方向一致。, 4.2.2 速度投影法,根据速度合成法可知，同一平面图形上任意两点的速度间总存在着 的关系。若将上式向A、B两点连线上投影(见图4.10)，因为 的方向总是垂直于连线AB，显然，它在连线上的投影恒等于零，即 ，于是有,(4-2),式(4-2)称为速度投影定理，它表明：平面图形内任意两点的速度在此两点连线上的投影相等。此定理反映了刚体上任意两点间距离保持不变的特征。这个定理不仅适用于刚体的平面运动，而且也适用于刚体的任何其他形式的运动。应用速度投影定理求解平面图形上任一点的速度有时比较方便。这种应用速度投影定理求解任一点速度的方法，称为速度投影法。但必须注意，投影轴必须是两点的连线，而且两点的速度方位与投影轴的夹角必须已知。,【例4.3】 发动机的曲柄连杆机构如图4.11所示。曲柄OA长为r=30cm，以等角速 绕轴O转动；连杆AB长为l=40cm。试求当 时，滑块B的速度。,解：(1) 分析运动。曲柄OA绕O轴转动，滑块B沿水平方向运动，连杆AB做平面运动，因此选AB杆为研究对象。 (2) 分析速度，A点的速度 大小及方向为已知，而B点速度方向已知，沿水平方向。 (3) 根据速度投影定理，求未知量。即,得,将,及,代入上式得, 4.2.3 速度瞬心法 1. 速度瞬心的概念,设有一个平面图形S，如图4.12所示。已知A点的速度为 ,图形的角速度为 ，转向如图所示。取图形上的A点为基点，图形上任一点M的速度为,由速度 的方向按 转向转过 ，作半直线AN( )，如图4.12所示。如果点M在半直线AN上，由图中可以看出， 和 在同一直线上，而方向相反，故 的大小为,由上式可知，随着点M在半直线AB上位置的不同， 的大小也不同，因此总可以找到一点C，这点的瞬时速度等于零。 如令 ，则,于是得出结论：在任意瞬时，只要平面图形的角速度 不为零，平面图形(或其延伸部分)上必有速度为零的一点，这点称为图形在此时的瞬时速度中心，简称为速度瞬心或瞬心。,2速度瞬心法,如果某瞬时平面图形的速度瞬心C已经确定见图4.13(a)，取点C为基点，则图形内A，B，D各点的速度为,于是得出结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕速度瞬心转动的速度。,其中， 、 、 的大小为,由此可见，图形内各点速度的大小与该点至速度瞬心的距离成正比；速度的方向垂直该点与速度瞬心的连线，指向与的转向一致，如图4.13(a)所示。这种用速度瞬心作为基点分析图形上其他各点的速度的方法，称为速度瞬心法，简称瞬心法。,3确定速度瞬心的方法,下面介绍几种确定速度瞬心位置的方法。 (1) 当平面图形沿一固定平面(或曲面)做无滑动滚动时，如图4.14所示，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。因为，此瞬时点C与地面接触处无相对滑动，它相对于地面的速度为零，故其绝对速度为零。 (2) 已知平面图形上任意两点A和B的速度的方向，过此两点分别作其速度的垂线，则交点C即为此图形的速度瞬心。这是因为平面图形在该瞬时的运动，可看成是绕瞬心的瞬时转动，各点速度的方向垂直于该点到瞬心的连线。例如，在如图4.15所示的曲柄连杆机构中，连杆AB做平面运动，已知连杆上A、B两点的速度方向，则通过A、B两点作速度 与 的垂线，其交点C就是连杆在此瞬时的瞬心。这时杆AB的运动可以看成绕点C的瞬时转动。,(3) 已知某瞬时图形上A、B两点的速度 和 (包括大小和方向)，且方向相互平行，并垂直AB两点的连线，如图4.16所示见图4.16(a)中 。将两速度 和 矢量的末端用直线连接起来并使它与连线AB相交，所得的交点C即为瞬心。 (4) 如果图形上A、B两点的速度均垂直于AB连线，但 ，两速度矢量末端连线与AB平行，如图4.17(a)所示，这时图形的速度瞬心在无穷远处；又如图4.17(b)所示，若已知A、B两点的速度相互平行，若 和 不垂直于A、B两点的连线，则其速度瞬心也在无穷远处，即无速度瞬心。此瞬时图形的角速度 ，图形上各点的速度相等，此现象称为瞬时平动。,例4.4 筛动机构如图4.18所示，筛子BC的运动由曲柄OA连杆机构所带动。已知曲柄的转速n=40r/min,长 ， . OA=30cm 。当筛子BC运动到与点O在同一水平线上时，BOA=60, BAO=90, ,求图示瞬时，筛子BC的速度及连杆AB的角速度。,解：(1) 分析运动，在此运动机构中，主动件曲柄做OA定轴转动，杆 、 摆动，筛子BC平动，连杆AB的运动是平面运动。因此我们选连接主动件曲柄OA和从动件筛子BC的连杆AB为研究对象。,(2) 分析速度。连杆上A点的速度等于主动件曲柄OA上A点的速度， ，其方向垂直于OA杆，指向与 转向一致；由于筛子BC平动，要求筛子BC的速度只需求出其上一点B的速度即可，又由于杆 、 摆动，B点的速度方向与D点的速度方向相同，均垂直于 。,(3) 确定速度瞬心，求未知量。作A、B两点速度矢量的垂线，所得交点 就是图示瞬时AB杆的速度瞬心，如图4.18所示。于是杆AB的角速度为,由图中几何关系知,于是求得,由 的指向可确定 的转向为顺时针方向，从而求得B点的速度为,速度 的指向由 的转向确定，如图4.18所示。,例4.5 在行星轮系减速器中，杆 以角速度 绕轴 转动。其端点 用铰链连接一半径为 的齿轮，齿轮与半径为的固定内齿轮相啮合，同时，又与半径为 的齿轮相啮合。齿轮活动地套在 轴上，如图4.19所示。若已知杆 角速度 ，齿轮与齿轮I的半径比 ，求齿轮的角速度为多大？ 解：(1) 分析运动。在此行星轮系减速器中，齿轮和杆 绕固定轴 转动，而齿轮沿齿轮滚动而不滑动，即做平面运动。因此我们选齿轮为研究对象。 (2) 分析速度。轮上 点的速度可由杆做定轴转动求得,(3) 确定速度瞬心，求未知量。因齿轮沿固定齿轮滚动而不滑动，显然，轮与轮的啮合点C便是轮的瞬心。故轮的角速度为,而轮与轮在啮合点A的速度为,轮与轮在啮合点A的速度是相同的。由于轮作定轴转动，所以它的角速度为,由于,代入得, 4.3 平面图形内各点的加速度,平面图形做平面运动时，图形上各点的加速度分析与速度分析相仿。设在某瞬时，图形的角速度为 ，角加速度为 ，其上点的加速度为 ，如图4.20所示。现若求图形上任一点B的加速度，仍需选运动已知的点A为基点，则图形的运动可分解为随基点A的平动(牵连运动)和绕基点A的转动(相对运动)。由牵连运动为平动时点的加速度合成定理可知，图形上B点的加速度等于其牵连加速度与相对加速度的矢量和。,因动坐标系做平动，B点的牵连加速度等于基点A的加速度 ；B点的相对加速度(即B点随图形绕基点转动的加速度)为 ，它有切向和法向两个分量，切向加速 的大小为,方向与AB连线垂直，指向与角加速度 的转向一致；法向加速度 的大小为,方向沿连线并指向基点。,于是平面图形上任一点B的加速度为,即刚体做平面运动时，平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和(见图4.20)。 以上是求平面图形内点的加速度的基点法，也称为加速度合成法。同分析速度问题一样，分析加速度也有“加速度瞬心法“，但加速度瞬心位置的确定远不如速度瞬心那么方便，因此通常还是采用加速度合成法。 应用式(4-3)求解时，因方程中涉及的矢量较多，因此不宜用几何法求解，一般采用投影计算的解析法。将矢量等式(4-3)的两边向任选的两坐标轴投影后，可得到两个代数式，最多只能求解两个未知量。,【例4.6】 图4.21所示曲柄连杆机构，曲柄长OA=20cm，绕O轴以等角速度 转动。曲柄带动连杆AB，使连杆端点的滑块B沿铅直滑道运动，如连杆长为AB=100cm。求当曲柄与连杆相互垂直并与水平线各成 时连杆的角速度、角加速度和滑块B的速度、加速度。,解:(1) 分析运动。机构中的曲柄OA做定轴转动，滑块B做直线运动，连杆AB做平面运动。故选连杆AB为研究对象。 (2) 分析速度。A点的速度 大小及方向为已知，而B点速度方向已知，沿铅垂方向。,(3) 利用瞬心法求 、 。过A点作 的垂直线和过B点作导轨方向的垂直线相交于C点，C点就是AB杆的瞬心，如图4.21(a)所示。又A点的速度为,由几何关系可知,故杆的AB角速度为,滑块B的速度为,(4) 分析加速度，作加速度矢量图。因A点的加速度已知，故取A点为基点作加速度矢量图，如图4.21(b)所示。由加速度合成法,大小: ? ? 方向: ,式中， 的方向沿滑道，指向设为向上，大小未知；而 的方向沿AO指向O，大小为 ； 则 的方向垂直于AB，设指向如图所示，大小未知； 的方向沿BA指向A，大小为 。,取坐标Bxy如图示，将矢量方程分别向x轴、y轴投影，得,由式得,因 为负值，故滑块B在此瞬时的实际加速度方向与图示假设方向相反。,由式得,故,角加度 的转向与 的指向一致。,【例4.7】 如图4.22(a)所示，车轮沿直线滚动。已知车轮半径R=0.2m，中心O的速度为 ，加速度为 。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。,解：,(1) 分析运动。车轮做平面运动，选车轮为研究对象。 (2) 分析速度。车轮只滚不滑时，车轮与地面的接触点为速度瞬心，其角速度可按下式计算：,车轮的角加速度 等于角速度 对时间t的一阶导数。上式对任 何瞬时均成立，故可对时间求导，得,因为R是常量，于是有,又因轮心O做直线运动，所以它的速度 对时间的一阶导数等于这一点的加速度 。于是,角加速度 的转向与的 指向相同， 如图4.22(b)所示。,(3) 分析加速度，作加速度矢量图。因O点的加速度已知，故取O点为基点作加速度矢量图，如图4.22(b)所示。由加速度合成法，求点C的加速度,大小：？ 方向：？ ,式中， 大小、方向未知；而 大小、方向均已知； 的方向垂直于，指向与角加速度 的转向相同，如图所示，大小为 ； 的方向沿指向，大小为 。由图可见， 的方向与 相反，于是得,由此可知，速度瞬心的加速度不等于零。当车轮在地面上只滚不滑时，速度瞬心的加速度指向轮心，如图4.22(c)所示。,例4.8 求例4.2破碎机四连杆机构在图4.9所示位置时，点的加速度及杆的角加速度。 解：分析运动、选取研究对象，分析速度同例4.2。 分析加速度，作加速度矢量图。因点的加速度已知，故取点为基点作加速度矢量图，如图4.23所示。由加速度合成法，求点的加速度,大小：？ ？ 方向： ,式中， 大小未知，方向垂直于，假设指向如图所示；而 的大小为 、方向沿指向；由于以匀角速度转动，故 ，方向沿方向； 的方向垂直于，假设方向如图所示， 的方向沿指向，大小为 。将上式向x轴投影得,由例4.2知,代入上式得,负号表示的实际方向与图中假设方向相反。故杆的角加速度为,负号表示 的实际转向为逆时针方向。,点的法向加速度为,由以上各例可见，在对机构进行运动分析时，通常选取与主动件和从动件连接的构件为研究对象。其解题步骤为： (1) 分析运动。弄清题意，分析机构中各构件的运动，明确研究对象。 (2) 选基点，分析速度。对做平面运动的构件，应选取速度已知的点为基点。并分析所求点的三种速度，弄清其大小和方向中哪些量是已知的，哪些是待求的。 (3) 作出速度平行四边形(若用瞬心法，则确定速度瞬心)，由几何关系求出未知量。 (4) 分析加速度，作加速度矢量图。按加速度合成法，由式 在 任选的两坐标轴上投影，求未知量,思 考 题,4-1 怎样把刚体平面运动分解为平动和转动？其中平动部分的运动规律与基点的选择有关，转动部分的运动规律与基点的选择无关是什么意思？ 4-2 研究机构运动时，在什么情况下用点的合成运动理论，什么情况下用刚体平面运动理论？ 4-3 如图4.24所示，平面图形上两点、的速度方向可能是这样的吗？为什么?,4-4 求如图4.25所示中做平面运动刚体在图示位置时的瞬心位置。,4-5 如图4.26所示，已知 ，方向如图； 垂直于 。于是可确定速度瞬心的位置，得 。 这样做对吗？为什么?,4-6 判断下列结论是否正确： (1) 运动的刚体内，有一平面始终与某一固定平面平行，则此 刚体做平面运动。,(2) 刚体平动是刚体平面运动的特例，刚体定轴转动也是刚体平面运动的特例。 (3) 刚体做瞬时平动时，其上各点速度相同、加速度也相同。 (4) 刚体做瞬时转动时，其瞬心的速度为零，而其加速度不为零。 (5) 刚体运动时，其上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等；而该两点的加速度在该两点连线上的投影不相等。,(6) 四连杆机构在如图4.27所示时刻，因为弯杆的部分与曲柄 在同一直线上，所以直线 上各点的速度分布情况如图所示。 4-7 如图4.28所示，车轮沿曲面滚动。已知轮心在某一时刻的速度 和加速度 。问车轮的角加速度是否等于 ？速度瞬心的加速度大小和方向如何确定？,习 题,4-l 如图4.29所示曲柄连杆机构。已知曲柄长为r，连杆长为l，曲柄以匀角速度 转动。试分析并求出下列两种位置如图4.29(a)、图4.29(b)所示时，连杆AB的角速度。,4-2 杆AB的A端沿水平线以匀速 向右运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，如图4.30所示。如杆与水平线间的夹角为 ，试以角 表示杆的角速度。,4-3 四连杆机构ABCD的尺寸(长度单位为mm)和位置如图4.31所示。杆AB以匀角速度 绕A轴转动，求C点的速度。,4-4 在如图4.32所示四连杆机构中，连杆AB上固连一块三角板ABD，如图所示。机构由曲柄 带动。已知：曲柄的角速度 ；曲柄长 ，水平距离 ， ，当 时 ， 且与 在同一直线上；角度 。求三角板的角速度和点的速度。,4-5 如图4.33所示，固定齿轮的半径为R=30cm，行星齿轮的半径为r=20cm，曲柄OA以转速 绕O轴转动，带动轮沿轮滚动。求在图示位置，轮的角速度及B、C、D三点的速度。,4-6 人力打稻机的传动机构如图4.34所示。踏板 通过连杆AB带动大齿轮绕 轴转动，大齿轮又带动小齿轮转动，小齿轮与打稻机滚筒安装在同一轴上。已知 ， ， , ， 。若滚筒转速为 .求图示位置( ， ， 水平，A与 在同一铅直线上。)踏板上的C点速度。,4-7 在如图4.35所示机构中，已知：OA=100cm,BD=DE=100cm， ； 。在图示位置时，曲柄OA与水平线OB垂直，且B、D和F在同一铅直线上。又DE垂直EF于。求EF杆的角速度和F点的速度。,4-8 如图4.36所示，插齿机传动机构的曲柄OA通过连杆AB带动摆杆 绕 轴摆动，与摆杆连成一体的扇形齿轮带动齿条，使插刀M上下运动。已知曲柄OA=r，转动角速度为 ，扇齿轮半径为b。求在图示位置时(连线OB垂直于水平线 )插刀的速度。,4-9 冲床