泰勒公式及应用论文.doc

毕业论文题 目： 泰勒公式及应用 学生姓名： 陆连荣 学生学号： 0805010325 系 别： 数学与计算科学系 专 业： 数学与应用数学 届 别： 2012届 指导教师： 向 伟 目录摘 要(1)关键词(1)Abstract(1)Key words(1) 前言：(1)1泰勒公式(2) 1.1带有拉格朗日余项的泰勒公式(2) 1.2带有佩亚诺余项的泰勒公式(2) 1.3带有积分型余项的泰勒公式(2) 1.4带有柯西型余项的泰勒公式(3)2 泰勒公式的应用(3) 2.1利用泰勒公式求极限(3) 2.2利用泰勒公式证明不等式及中值问题(5) 2.3 利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性(8) 2.4利用泰勒公式求函数的高阶导数(11) 2.5研究泰勒公式在近似计算中的应用(12)结语(12)致谢(13)参考文献(13)11淮南师范学院2012届毕业论文 泰勒公式及应用学生：陆连荣指导教师：向伟淮南师范学院数学与计算科学系摘 要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性 Taylor formula and its application Student: Lu LiangrongInstructor : Xiang WeiDepartment of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal UniversityAbstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylors formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence前言 泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 判断级数及积分的敛散性, 求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个不等式及中值公式与求解导数这几个方面的具体应用方法。1 泰勒公式1.1 带有拉格朗日余项的泰勒公式 如果函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得: 它的余项为,称为拉格朗日余项。当时，得到泰勒公式： 称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式。1.2 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内存在直至阶导数,则对此邻域内的点有：当时，上式称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式。1.3 带有积分型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内有阶导数,令,则对该邻域内异于的任意点,在和之间至少存在一个使得：其中就是泰勒公式的积分型余项。1.4带有柯西型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有阶导数,令,则对该邻域内异于的任意点有： 当时，又有 其中,都称为泰勒公式的柯西型余项。2 泰勒公式的应用2.1 利用泰勒公式求极限 应用泰勒公式求极限时,常用到的展开式有：； ； ； ； 上述展开式中的符号表示当时,它是一个较高阶的无穷小,亦即有:;根据这个定义容易验证:当时有: ； ； ； ； 。 例1 求的极限。 分析：此为型极限，若用罗比塔法则很麻烦。这时可将和分别用其泰勒展开式代替，则可简化此比式。 解:利用展开式:，,由此可得: ，所以: 。 例2 求极限。 分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化。 解：将、在点的麦克劳林公式展开到项得： ， ，则原式= = =。 例3 求极限。 解：由于，从而有。 总结：用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。我们知道，当时，等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。 2.2 利用泰勒公式证明不等式及中值问题 如果函数的二阶及二阶以上导数存在且有界则用泰勒公式去证明这些不等式。 例1 设，证明当时成立,且等号仅当时成立。 证明：在上二阶可导，且有 ；以及 ；于是，对应用在处的带拉格朗日余项的泰勒公式得： ，注意到上式最后一项是非负的且仅当时为.所以，且等号仅当时成立。 例2 设函数在上二次可微，且，试证：存在一点，使。 分析：在上二次可微，且最小值，所以在内一定有极值点，该点的导数为，题中可知二次可微，从这点我们可以想到使用泰勒公式，而要证明的结论中右边是一个常数，故选在最小值点处泰勒展开。 解：不妨设为在上的最小值点,则，在处的泰勒公式： ，是介于与之间的某个值。当时，即，当时，即，所以当时，；当时，故综上，存在一点使。 例3 设，且，证明。 证明：由知：，又存在,故连续, 所以，所以，因为二阶可导,所以在点处二阶泰勒公式成立,在与之间, 因为:，所以，所以，即。 例4 设在上有二阶导数, 试证: 使得： 。 证明：记，泰勒展开式，在两端同时取上的积分,即 。 注意右端第二项积分为，第三项的积分由于导数有界值性, 积分第一中值定理成立, 使得，从而有：，命题成立。 例5 设函数在上具有三阶连续导数, 且,证明在内至少存在一点使。 证明:由麦克劳林公式,得： ，其中在与之间。分别令，并将所得两式相减得： ，由的连续性知在上有最大值和最小值。则有: ，由连续函数的介值定理知至少存在一点，使： ，从而命题得证。2.3 利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性在判定广义积分敛散性时，通常选取广义积分进行比较，在此通过研究无穷小量的阶来有效地选择中的值，从而判定的敛散性，我们要注意到如果收敛，则也收敛。 例1 研究广义积分的敛散性。 解： 由泰勒公式得: ，选取，因为，而，所以收敛。 例2 研究广义积分的敛散性。 解：因为,所以是瑕点。由比较判别法可知，则时，收敛；时，发散。因为： ， ，所以，因为，所以广义积分发散。 例3 设在点的某一领域内具有二阶连续导数，且。证明级数绝对收敛。 分析：由条件“在点的某一领域内具有二阶连续导数”可想到使用泰勒公式，又由条件易推得：，这将使在点的泰勒展开式更加简单，便于利用比较判别法判敛。 解：由及在点的某一领域内具有二阶连续导数，可知： ，将在的某领域内展开成二阶泰勒公式：，在与之间又由题设在属于含点的某领域内的一个小闭区间上连续，因此存在，使，于是 ,令，则。因为收敛，故绝对收敛。 注1 若条件“在点的某一领域内具有二阶连续导数”，改为“在点的某一领域内二阶连续导数有界”，结论照样成立。 例4 讨论级数的敛散性。 解: 因为: ， ，故时有： ，而收敛；所以级数也收敛。 总结：正项级数敛散性判别法:及都为正项级数。1. 若收敛,当时,有收敛。 2.若发散,当时，有发散。2.4 利用泰勒公式求函数的高阶导数在此我们讨论的是一元函数的泰勒公式在高阶导数中的应用 。首先我们要先来看一个定理： 定理1 若函数在点存在直至阶的导数，则有 : （1） （1） 式称为一元函数在点处的泰勒公式，其中。 要点：当在点处具有任意阶导数时，由定理1可推出当且仅当时，在点有泰勒展开式，据此，若求出 在点处的阶导数值，则求出，为此可将在点作泰勒展开。 例1 设，求。 解：因为:，两边积分得:由此可得的泰勒展开式: ，从而: 。令 ，则上式可改写为: 。综上，我们有：为自然数时，且: 2.5 研究泰勒公式在近似计算中的应用这里所讨论的是利用泰勒公式求函数值的近似值，利用的带有拉格朗日余项的麦克劳林展开式得函数的近似计算式为： ，其误差是余项。 例1 计算的值，使误差不超过. 解：先写出带有拉格朗日型余项的麦克劳林展开式： ,其中 ，在与之间。令,使，;则取即可。因此，其误差。结语泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数敛散性的判断、不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。通过本文对极限计算、敛散性的判断、求函数的高阶导数、中值问题以及不等式的证明等几个方面的论述，我们可以了解到高阶（二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一。只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，不妨先把函数在指定点展成泰勒公式再说，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件恰当选择展开点（展开点未必一定是具体数值点，有时以为佳）。只要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。致谢 本文是在我的导师向伟的精心指导和悉心关怀下完成的。在这里我首先要感谢的就是向老师，感谢他对我的精心培养与指导，感谢他对我的关心和照顾。他那严谨踏实的治学态度，认真的教学科研作风，正直坦荡的为人处世原则，以及对待学生诲人不倦、平易近人的做人品格深深感染了我，导师的言传身教已经并将继续对学生的专业发展和为人处世起到极为重要的作用。同时，感谢淮南师范学院数学系的所有教导过、帮助过我的师长。最后，我要向我的同学和朋友表示深深的感谢,有了他们的关心和帮助,我才能一步一步度过难关。感谢我的同学董婷，丁美玲，感谢你们的探讨与帮助。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001.227-228 .2刘玉琏.数学分析M.北京:高等教育出版社,1988.214.3华东师范大学数学系.数学分析(第二版)M.高等教育出版社,1991.P182. 4裘兆泰,王承国,章仰文,数学分析学习指导M.北京:科学出版社,2004.117-120