斐波那契数列毕业论文斐波那契数列的应用本科论文.doc

X X X X2012届毕业设计（论文）设计（论文）题目 斐波那契数列的研究 子课题题目 姓 名 XXX 学 号 XXX 所 属 系 XXX 专业年级 XXX 指导教师 XXX 2012 年 05 月摘要斐波那契数列自问世以来,不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用这个数列既是数学美的完美体现又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系从而进一步激发了人们探索数学的兴趣对数学的认知更加系统化。因此对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各个学科带来很好的用处，它也会对我们的生活产生长远的影响，斐波那契数列的前景是不可估量的。关键词：斐波那契数列 黄金分割 斐波那契数列在生活中的应用AbstractFibonacci sequence since its advent, continuously demonstrated its important role in mathematical theory and applications. And Fibonacci slope is satisfied that lease series in modern physical, and quasi crystal structure, and bio, and traffic, and chemical, area are has directly of application. this series is mathematics us of perfect reflected. and and many mathematics concept has close of contact, many looks seems to each other independent of mathematics concept, by Fibonacci wave that lease series, people found has which of mathematics contact. to further fired has people exploration mathematics of interest. on mathematics of cognitive more systematic. On the study of the Fibonacci sequence is a very important study, it can bring to all disciplines very well not only useful, it will have a long-term impact on our lives and prospects of the Fibonacci sequence are incalculable.Keywords: Fibonacci series The golden section Application of the Fibonacci sequence in the life目 录第一章 斐波那契数列11.1 斐波那契11.2斐波那契数列的引入-兔子问题11.3斐波那契数列通项公式的若干推导31.4斐波那契数列性质及其简单证明81.5人体中与斐波那契数列有关的知识9第二章 斐波那契数列与黄金分割112.1 何为黄金分割与黄金分割数112.2 二者之间的联系122.3 黄金分割律在股市中的运用12第三章斐波那契数列在生活中应用143.1斐波那契数列在几何上的应用143.2斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用143.3斐波那契数列在生物学上的应用15第四章 小结17参考文献：18谢 辞19第一章 斐波那契数列这一章主要讲的是斐波那契数列的发明者，产生的背景，人们对他的一些认识和研究，以及它的一些主要性质。1.1 斐波那契数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，）是斐波那契数列的发明者。籍贯大概是比萨，因此，他被人称作“比萨的列昂纳多”。他于1202年，撰写了珠算原理（Liber Abacci）一书。据史料记载，他是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲在斐波那契小的时候被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻的地点相当于今日的阿尔及利亚地区，斐波那契因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。1.2 斐波那契数列的引入-兔子问题 问题是这样导入的：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢?(假设所有兔子都健康成长，中途不死掉) 兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么新出生的一对小兔子一年以后可以繁殖多少对兔子?图一表示兔子的繁殖规律，黑点表示一对小兔子，红点表示一对大兔子，黑线表示一对小兔子长大成为一对大兔子或者表示一对大兔子生出一对小兔子（如图1）：则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这个数列称为斐波那契数列这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。所以斐波那契数列的定义为：数列F1,F2,Fn,满足 F1=F2=1 ;Fn=Fn-1+Fn-2n3则称此数列为斐波那契（Fibonacci）数列很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。它的通项公式为：an=151+52n-1-52n斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。又或者，斐波那契数列还可以由生活中一个很有意思的例子来引入：走楼梯问题。问题是这么提出的：问题：某人可以一步登一个台阶，也可以一步登二个台阶，问他登上n个台阶的方式又有多少种？解答：假设此人登上n台阶的方式有An种。若第一步登了一阶，则登上n阶台阶的方式有An-1种；若第一步登了二阶，则登上n阶台阶的方式有An-2种，于是An=An-1+An-2 (n3)此时容易得到A1=1，A2=2，于是这是一个删除了首项的斐波那契数列，所以 An=Fn+1=1+52n+1-1-52n+151.3斐波那契数列通项公式的若干推导方法推导方法 1 先求满足递推关系an=an-1+an-2 1的等比数列an，其中an=a1qn-1。于是（1）变形为a1qn-1=a1qn-2+a1qn-3 整理为q2=q+1用求根公式可解得q=152可见，满足条件（1）的等比数列有两个公比q1=1+52和q2=1-52如果等比数列an满足条件a1=a2=1，则公比为1，即不等于q1也不等于q2，因此不可能满足条件（1）。但是，如果将满足条件（1）的两个等比数列a，aq1，aq12，aq1n-1与b，bq2，bq22，bq2n-1， 逐项相加得到数列cn=an+bn=a+b，aq1+bq2，aq12+bq22，aq1n-1+bq2n-1， （2）则数列（2）仍满足条件（1），如果能适当选择a，b使c1=c2=1，即 a+b=1aq1+bq2=1 （3）则cn就符合斐波那契数列Fn所满足的所有条件。容易看出，满足条件的斐波那契数列Fn是唯一的。因此满足条件（3）的a，b决定的数列（2）就是所求的斐波那契数列。 由于q1，q2已知,所以可以将条件（3）看成以a，b为未知数的二元一次方程组，解之得a=q2-1q2-q1，b=1-q1q2-q1从而Fn=aq1n-1+bq2n-1=q1n-1q2-1+q2n-11-q1q2-q1.又由于q1+q2=1，q2-1=-q1，1-q1=q2，又q2-q1=-5，因此Fn=q2n-q1nq2-q1=1+52n-1-52n5.所以这里得到了斐波那契数列的通项公式Fn=1+52n-1-52n5推导方法1的关键是：满足条件（1）的两个等比数列an，bn之和cn仍满足条件（1）（cn一般不再是等比数列），适当选择an，bn就可以使cn的前两项都等于1。推导方法 2 初等代数法已知 a1=1 a2=1 an=an-1+an-2首先，构建等比数列设an+an-1=an-1+an-2化简得an=-an-1+an-2与式（1）比较系数可得：-=1=1不妨设0，0解得=5-12=5+12所以有an+an-1=an-1+an-2，即an+an-1为等比数列。求出等比数列an+an-1由以上可得：an+1+an=a2+a1n+1 =1+n+1 =n变形得：an+1n+1+ann=1。令bn=ann求数列bn进而得到anbn+1+bn=1设bn+1+=-bn+，解得=-1+。故数列bn+为等比数列即 bn+=-n-1b1+。而b1=1=1，故有bn+=-n-11+又有=5-12=5+12和bn=ann可得an=1+52n-1-52n5得出an表达式an=1+52n-1-52n5至此，我们就推导出了斐波那契数列的通项公式。推导方法 3 大家都知道斐波那契数列的性质是从第三项开始，后面每一项是前面两项的和，即数列要满足式（1）的条件，而式（1）属于线性递归数列，此数列有其一般的表达式为：Pan+qan-1+ran-2=0 （4）式（4）变形为：an-+an-1+an-2=0 （5）比较式（1），（4）（5）的系数得：qp=-（+）rp=由此可知，是方程px2+qx+r=0 （6）的第二个根，它的根称为特征根。此数列的递推公式：an=an-1+an-2 (n2)化为：an-an-1-an-2=0其中p=1，q=r=-1，它的特征根为x2-x-1=0 （7）解之得：=1-52 ，=1+52将，代入an-+an-1+an-2=0，且由于a1=a2=1得an-1-52+1+52an-1+1-51+522an-2=0化为an-1-52an-1=1+52an-1-1-52an-2令an-1-52an-1=bn，则bn=1+52bn-1由于b2=1+52b1 因此：b2b1=1+52b1=a2-1-52a1=1-1-52=1+52bn=1+52n则an=1-52an-1+1+52n=1-521-52an-2+1+52n+1+1+52n=1+522an-2+1-521+52n-1+1+52n=1-5221-52an-2+1+52n-2+1-521+52n-1+1+52n=1-52na1+1-52n-11+52+1-52n-21+522+1-521-52n-1+1-52n=1-52n+1-52n+11+52+1-521+52n-1+1+52n其中等比数列第一项为1+52n,公比为q=1-521+52n-11+52n=1-51+5=5-32则an+1=1+52n1-5-32n+11-5-32=151+52n+1-1-52n+1则我们就可以得到斐波那契数列的通项an=151+52n-1-52n1.4斐波那契数列性质及其简单证明性质1 F1+F2+Fn=Fn+2-1性质2 F1+F3+F2n-1=F2n F2+F4+F2n=F2n+1-1性质3 Fn+Fn+1+Fn+9=11Fn+6性质4 F12+F22+Fn2=FnFn+1性质5 FnFn+2=Fn+12-1，n为偶数Fn+12+1，n为奇数性质6 F1F2+F2F3+Fn-1FnFn2， n为偶数Fn2-1，n为奇数其中，n都从0开始取。性质1的证明：（用数学归纳法）（1） 当n=1时，左边=F1=1，右边=F3-1=2-1=1,所以左边=右边。即n=1时，等式成立。（2） 假设n=k时，等式成立。即有F1+F2+Fk=Fk+2-1 则当n=k+1时， F1+F2+Fk+Fk+1=Fk+2-1+Fk+1 =Fk+2+Fk+1-1 =Fk+3-1 =Fk+1+2-1 即n=k+1，等式也成立 综合（1）（2），对于所有正整数，F1+F2+Fn=Fn+2-1均成立。 证必。其他的性质，都可以利用数学归纳法，类似证明，此处不再赘述。除此之外，标准的斐波那契数列还有如下的一些著名性质，他们大多数都难以证明。（1） Fn2与Fn-1*Fn+1之差为1；随着数列继续下去，此差交替地为正或负。（2） 任何两个相邻F数的平方和Fn2+Fn+12是F2n+12。（3） 对于任何四个相邻的F数：A,B,C,D,下列公式成立：C2-B2=AB。（4） 斐波那契数列中每个数的最右一位数字锁构成的数列，每60个循环一次。最右两位数字，每300个循环一次。最右三位数字，每1500个循环一次。最右五位数字，每150 000个循环一次。并且，对于所有更多的位数，也有相应的循环。（5） 每第三个F数能用2整除，每第四个F数能用3整除，每第五个F数能用5整除，每第六个F数能用8整除，等等。这些除数又构成斐波那契数列。相邻的斐波那契数列除1外无公因数。（6） 除了3以外，没一个素数的F数有素数为其脚码（例如，233是素数，它的脚码13也是素数）。另一方面，如果一个F数的脚码是合数，则该数也是合数。遗憾的是，反过来不全真：有素数为其脚码，未必意味着该数是素数。第一个反例是F19=4181，脚码是素数，但4181=37113非素数。1.5人体中与斐波那契数列有关的知识人的身体的各种比例也暗合斐波那契数列，这从另一个方面说明了斐波那契数列的奇妙经过长期的数据统计，人们发现了一个很有趣的现象。人体各个地方的比例好多都符合黄金分割比或其倒数：腰以下长度 / 身高 = 0.618腰以上长度 / 腰以下长度 = 0.618颈至腰长度 / 腰以上长度 = 0.618颈以上长度 / 颈至腰长度 = 0.618身高 / 腰以下长度 = 1.618腰以下长度 / 腰以上长度 = 1.618腰以上长度 / 颈至腰长度 = 1.618颈至要腰长度 / 颈以上长度 = 1.618身高 / 腰以上长度 = 2.618腰以下长度 / 颈至腰长度 = 2.618并且你对于自己的手臂了解多少颈以上长度 / 小臂长度 = 0.618小臂长度 / 腰以上长度 = 0.618小臂长度 / 颈以上长度 = 1.618腰以上长度 / 小臂长度 = 1.618腰以下长度 / 小臂长度 = 2.618第二章 斐波那契数列与黄金分割2.1 何为黄金分割与黄金分割数早在古希腊时代，那时的人们就已经认识到0.618的神奇，并将其称为黄金分割率。出于对这一数字的神奇与偏爱，它被广泛应用到建筑和绘画等各个领域，从巴台农神庙到美国纽约的众议院大楼，甚至于基督十字架的分割比例也由它来定义，黄金分割率已经成为西方人追求外在美的内在规则。与此同时，人们也逐渐认识到黄金分割率广泛存在于自然界中，几乎无处不在。从花朵的图案、棕榈树的叶子到肚脐对人体的分割。下面我们来看看黄金分割是怎么定义的：一般地，设已知线段AB，若AB上的点C将AB分成两段，使大段为全段和小段的比例中项。（如下图2）即AC2=ABBC，则称点C内分线段AB成中外比。下面对分线段AB成中外比的内分点进行分析。 图2设AB=a，AC=x，则BC=a-x有x2=aa-x，即x2+ax-a2=0，解得x=-aa2+4a22 ，舍去负根，得AC=x=5-12a则ACAB=BCAC=5-12,这就是黄金分割比。而斐波那契数列前一项与后一项比的极限：limnunun+1=5-120.618这个就是黄金分割数。2.2 二者之间的联系斐波那契数列在黄金分割被应用了很久以后，1202年斐波那契出版了一本名为关于算盘的书。书中，他用了一个简单的数学题提出了斐波那契数列的概念。问题就是咱们之前谈到的兔子问题。问题的分析并不复杂，而且我们还可以得到一个规律，即每月底的家兔数量将做如下变化：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、 233、，数列中的前两项相加得到数列的下一项，这就是斐波那契数列。将数列中每相邻两数的前者除以后者，其极限结果就是黄金分割率 0.618。即limnunun+1=0.6182.3 黄金分割律在股市中的运用黄金分割是世界上一种古老的方法，其中的魅力让人沉醉，其作用也是不胜枚举，好多性质人们现在都还没给出明确的解释。只是在偶尔的应用中发现他起着至关重要的作用。 在这里，我们将说明如何得到黄金分割线，并根据它们指导下一步的买卖股票的操作。 第一步，要得到黄金分割线，你要记住以下的数字0.191 0.382 0.618 0.809 1.191 1.382 1.618 1.809 2.191 2.382 2.618 2.809 其中0.382,0.618,1.382,1.618最为重要，股票的价格极容易在由这4个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力。 第二步是找到一个点。这个点是上升行情结束，调头向下的最高点，或者是下降行情结束，调头向上的最低点。当然，我们知道这里的高点和低点都是指一定的范围，是局部的。只要我们能确认这个趋势(无论是上升还是下降)已经结束或暂时结束，则这个趋势的转折点就可以作为进行黄金分割的点。这个点一经选定，我们就可以画出黄金分割线了。在上升行情开始调头向下时，我们极为关心这次下落将在什么位置获得支撑。黄金分割提供的是如下几个价位。它们是由这次上涨的顶点价位分别乘上上面所列的几个特殊数字中的几个。假设，这次上涨的顶点是10元，则8.09=100.809 6.18=100.618 3.82=100.382 1.91=100.191 这几个价位极有可能成为支撑，其中6.18和3.82的可能性最大。 同理，在下降行情开始调头向上时，我们关心上涨到什么位置将遇到压力。黄金分割线提供的位置是这次下跌的底点价位乘上上面的特殊数字。假设，这次下落的谷底价位为10元，则11.91=101.191 21.91=102.191 13.82=101.382 23.82=102.382 16.18=101.618 26.18=102.618 18.09=101.809 28.09=102.809 20=102 将可能成为未来的压力位。其中13.82和16.18以及20元成为压力线的可能性最大,超过20的那几条很少用到。 此外，还有另一种使用黄金分割线的方法。选择最高点和最低点(局部的)，以这个区间作为全长，然后在此基础上作黄金分割线，进行计算出反弹高度和回荡高度。第三章 斐波那契数列在生活中应用3.1斐波那契数列在几何上的应用斐波那契数列在几何上的应用我们通过2001年第十六届江苏省初中数学竞赛B卷中的一个例子来说明：例：现有长为144cm的铁丝，要截成n段(n2)，且每段的长度不小于lcm。如果其中任意3小段都不能拼成三角形则n的最大值为多少?分析：根据三角形三边关系定理，要构成一个三角形的充要条件是两边之和大于第三边所以不能拼成3角形的充要条件是任意两边之和应大于或者小于第3边。由于题目要求每段的长度不能小于lcm因此根据题目要求可以先截取2个lcm的铁丝。为了不拼成三角形，所以第三段截取2cm(为了使最大，所以要使剩下的铁丝尽可能长，后面截取的每一段总是前面相邻两段之和)。以此类推，依次截取的长度为l，l，2，3，5，8，13，21，34，55，这些数字为斐波那契数列的前10项，和为143，与144相差l，因此最后一段可以截取56cm，这时达到最大为10。我们看到题目中的一个条件“每段的长度不小于lcm”起到了关键的作用，正是这个条件产生了斐波那契数列，也正是这个条件使得三角形三边关系定理与斐波那契数列产生了联系。3.2斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用对中国主要城市道路的研究，可以得出中国道路在设计上的一个规律：中国道路内路与外路的比值接近于k=0618033988或接近于其倒数1k= 1618033988。根据间距比值可将中国环路分为A、B、C三种类型(如下图中的a,b,c)：A 型标准比值为1k；B型标准比值为k；C型在纵(横)向上标准比值为1k，在横(纵)向上标准比值为k。通过大量的实例证明，中国的道路规划基本上符合这一规律。该原理适用于各种规模、各种性质和各种形态的城市环路 运用该原理可对中国城市环路进行规划建议和合理性评价。图 3城市交通道路模拟图3.3斐波那契数列在生物学上的应用斐波那契数列也可以应用在生物学上例如，树木的生长，由于新生的枝条，基本上都需要一段“休息”时间，补充自己由于新生枝条的消耗，而后当补满消耗之后才能萌发新枝因此，树苗在一段间隔，比如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝继续萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列(见图4)这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。图 4鲁德维格定律大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣另外，向日葵花盘、松果的种子排列都是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的)，每片叶子和前一片叶子之间的角度应该有合适的角度种子的生长方式也是如此，这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉第四章 小结 斐波那契数列的产生于13世纪开始，它的历史悠久，魅力十足，以至于人们对它的研究一直持续到现在本论文介绍了斐波那契数列的产生，论证了该数列比较重要的几个性质以及它与黄金分割率之间的种种关系，并说明了斐波那契数列于各个领域的相关应用纵观斐波那契的活动，他在西方的数学复兴史中占有不可替代的地位。如法国大革命时期政治活动家，军事家G卡尔诺(Cardano)在讲述斐波那契的成就时说的那样：“我们可以假定，所有