3. 等差数列 课件.ppt

,3.2 等差数列,（一）等差数列的概念： 先观察几个数列：,特点：从第二项起，每一项与它前一项的差 都 等于同一个常数.,定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列 就 叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公 差通常用字母 d 来表示.,3 ，0 ，- 3，- 6， ；,38，40，42，44，46，48，50，52，54，56.,7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500.,（二）等差数列的通项公式： 设等差数列 a n 的首项是 a 1，公差是 d ，那么，根据等差数列的定义， a 2 a 1 = d ， a 3 a 2 = d ， a 4 a 3 = d ， 所以，a 2 = a 1 + d ， a 3 = a 2 + d = ( a 1 + d ) + d = a 1 + 2d a 4 = a 3 + d = ( a 1 + 2d ) + d = a 1 + 3d a 5 = a 4 + d = ( a 1 + 3 d ) + d = a 1 + 4d ,等差数列的通项公式： a n = a 1 + ( n 1 ) d .,注： （1）由等差数列的定义可以知道，如果一个等差数列的公差 d 0，那么这个数列是递增数列；如果公差 d 0，那么这个数列是递减数列；如果公差 d 等于 0，那么这个数列是常数列 . （2）在 a 1，a n ，d，n 这四个量中，已知其中的三个量，可以求出另外一个量.,例 1 （1）求等差数列 8 ，5 ，2， 的第 20 项 . （2）-401 是不是等差数列 - 5，- 9，-13， 的项？如果是，是第几项？,注：要考查数 b 是不是某个数列中的项，首先求 出这个数列的通项公式 a n，然后考察关于 n 的方程 a n = b 即可. 如果 a n = b 有正整数解，则 b 就是这个 数列中的一项，这个正整数解，就是它的项数；如果 a n = b 无解，或者虽然有解，但无正整数解，则 b 就 不是这个数列中的一项.,例 2 在等差数列 a n 中，已知 a 5 = 10，a 12 = 31 ，求首项 a 1 与公差 d . 分析：利用等差数列的通项公式，可以得到关于 a 1 和 d 的两个二元一次方程，解方程组，即可求得 a 1 和 d . 例 3 梯子的最高一级宽 33 cm ， 最低一级宽 110 cm，中间还有10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度 . 分析： 问题等价于， 在等差数列中，已知 a 1 = 33， a 12 = 110，求其它各项 . 先利用等差数列的通项公式，求出公差 d，而后依次求出其余各项即可 .,（三）等差中项： 定义：如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .,注：在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项 （有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后 一项的等差中项 .,例 4 已知数列的通项公式为 a n = p n + q ，其中 p，q 是常数，且 p 0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判断 a n 是不是等差数列，只要看 a n - a n-1 ( n 2 ) 是不是一个与 n 无关的常数即可 . 注： （1）公差不为 0 的等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数 . （2）如果数列的通项公式是关于 n 的一次函数，则这个数列是等差数列,（3）数列可以用坐标平面上的点来表示，表示等 差数列的点都在一条直线上 .