必修五课件：等比数列.ppt

1,等比数列,2,猜一猜,给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？,猜一猜：,把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！,3,忆一忆,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。,4,回顾与复习,1、等差数列定义：,如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。,定义式（即递推式）：d=an-an-1(n2),2、等差数列的通项公式：,an=a1+(n-1)d (nN*),3、推导方法：,（1）归纳法（2）迭加法,4、等差数列通项公式的推广公式：,an=am+(n-m)d (n,mN*),5,国际象棋起源于印度，关于国际象 棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？,左图为国际象棋的棋盘，棋盘有8*8=64格,1 2 3 4 5 6 7 8,1 2 3 4 5 6 7 8,情景展示,6,曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”,庄子,意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。,如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：,7,9，92，93，94，95，96， 97,堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：,出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢， 每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有九色,问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色？（孙子算经）,8,某种汽车购买时的价格是36万元，每年 的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价 格（单位：万元）。,36，360.9，360.92, 360.93,各年汽车的价格组成数列：,9,比一比,共同特点？,从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。,(1),(2),(3）,9，92，93，94，95，96， 97,36，360.9，360.92, 360.93,（4）,10,等比数列定义,一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q0）,或,思考：,？,其数学表达式(定义式即递推式）：,11,如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示,如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.,这个常数叫做等比数列的公比，用 q表示.,12,注意：,1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。,2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数。,13,(1) 1，-1/3， 1/9 ,-1/27， (2) 1, 2, 4, 8, 12,16,20, (3) 数列an的通项公式为 an=3n/2, (nN*) (4) 1，1，1， ，1 (5) a，a，a，a,练习：判断下列数列是否是等比数列， 是等比数列的求出公比。,q=-1/3,q=3,q=1,不一定，当a0时是等比数列，q=1； 当a=0时非等比数列。,练习P481,14,“an0”是数列an为等比数列什麽条件？,必要而非充分条件,15,练一练,是,不是,是,不是,q =,1、判别下列数列是否为等比数列? (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 (3)2, 2, 2, 2, (4)1, 0, 1, 0 ,q =,16,2、指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由,(3) 2, -2, 2, -2, 2,(1) ,2, 4, 16, 64, ,(2) 16, 8, 1, 2, 0,不是,是,不是,不一定,(4) a, a, a, a, a ,17,思考：等比数列中,(1)公比q为什么不能等于？首项能等于吗？,(2)公比q=1时是什么数列？,(3)q0数列递增吗？q0数列递减吗？,说明：,(1)公比q0，则an0(nN)；,(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；,(3),q=1，常数列；,q0，摆动数列；,18,例1:求出下列等比数列中的未知项. (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c,解：,解得 a=4或a=-4,19,等比中项,观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：,（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4 （3）-12， ，-3 （4）1， ，1,3,2,6,1,如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。,练习：P48 2,3,20,问题：,？,已知等比数列的首项为a1，公比为q，求第n项an。,21,方法1：不完全归纳法,22,方法2：累乘法,23,O,x,y,1,2,3,4,1,2,3,4,24,O,x,y,1,2,3,4,1,2,3,4,25,一个等比数列的第2项与第4项分别是8与18，求它的第3项。,例1：,26,方法1：利用通项公式,27,方法2：利用定义,P49例1，例2,练习P501，2,28,在等比数列an中，若已 知某一项为am,公比为q,能够求 出该数列的任意项an吗？,等比数列通项公式的推广公式：,anamqn-m （am0,an 0,m,nN*）,P521，2,29,已知,是项数相同的等比数列， 求证：,是等比数列,例2：,30,31,方法2：,32,小结：,1、等比数列的定义,（1）归纳法（2）累乘法,3、等比数列通项公式的推广公式,推导方法：,2、等比数列的通项公式,公式的 认识：,（1）函数的观点（2）方程的思想,递推式,q=an/an-1 ，（n2）,an=a1qn-1 ，(n N* ),an=amqn-m , (n,m N* ),33,常数,减除,加乘,加乘,乘乘方,迭加法,迭乘法,等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”,定 义,数 学 表 达 式,通项公式证明,通 项 公 式,an-an-1=d （n2）,34,例1：培育水稻新品种，如果第一 代得到120粒种子，并且从第一代 起，以后各代的每一粒种子都可以 得到下一代的120粒种子，到第5代 大约可以得到这个新品种的种子多 少粒？（保留两位有效数字）,35,其中,因此,粒？,36,练习题： （1）2G=a+b是a,G,b成等差数列的_条件; （2） 是a,G,b成等比数列的_条件.,37,等差数列,等比数列,定义,数学 表达,如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。,an+1-an= d(常数),符号 表示,首项a1, 公差d,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。,首项a1, 公比q(q0),d与an,q与an,d0 an 递增 d0 an 递减 d0 an 为常数列,q0 an 中各项同号 q0 an 中的项正负相间 q1 an 为非零常数列,通项 公式,an= a1+（n-1）d,an= a1qn-1,等比 中项,a,A,b成等差数列, 2A=ab,a,G,b成等比数列, G2=ab,38,q=1, a，常数数列 q0, a，摆动数列,39,练习:,1)在等差数列an中，a2=-2,a5=54，求a8=_. 2)在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_. 3)在等差数列an中， a15 =10, a45=90,则 a60 =_. 4)在等差数列an中，a1+a2 =3, a3+a4 =1, 则a5+a6=_ .,110,运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq,性质：从等差数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广),性质：若an是公差为d的等差数列 cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。,180,130,P503，4 ,P50例3 ,P525,性质：等差数列中,Sn, S2n -Sn ,S3n -S2n,40,41,由等差数列的性质，猜想等比数列的性质,猜想1：,若bn-k,bn,bn+k 是bn中的三项 则,42,证明:,43,证明:,44,猜想： 从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 . (可推广),猜想： 若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq的等比数列.,由等差数列的性质，猜想等比数列的性质,45,等差、等比数列的性质,46,练习:,在等比数列an中，a2=-2,a5=16，a8= . 在等比数列an中，且an0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ . 在等比数列an中，若 则a10=,-128,6,47,解题技巧的类比应用：,分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d. 由类比思想的应用可得， 若三个数成等比数列，则设这三个数 为： ，,再联立方程组,三个数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于 ，求这三个数。,1).,48,三个正数成等比数列，他们的和等于21， 倒数的和等于 ，求这三个数。,解：设三个正数为：,得：,49,已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c ( ),A. 成等差数列不成等比数列 B. 成等比数列不成等差数列 C.成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列,结论：若数列an为等比数列， 则数列logaan(a0且a1)为等差数列.,50,例：设an是由正数组成的等比数列，公比q=2,且a1a2a3a30=230, 则a3a6a9a30=,P51例4,P524 , 10,P52 7，11, 12,作业：第二教材P4 9新课标梯度评价 选作作业:第二教材 P4 5新课标梯度评价,51,1.定义,2.公比(差),3.等比(差) 中项,4.通项公式,5.性质 (若m+n=p+q),q不可以是0,d可以是0,等比中项,等差中项,等差数列(A P),等比数列(G P),52,递增,递减,常数列,递增,递减,常数列,分类：,