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文档简介

欧拉公式,南昌市第二十中学:郭中明,问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表,规律：,V+F-E=2,4,6,4,8,6,12,6,8,12,9,8,15,（欧拉公式）,简单多面体：,表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。,观察下列几何体是否满足欧拉公式：,满足,不满足,不满足,思考:什么样的多面体满足欧拉公式?,猜想:简单多面体的顶点数V,面数F,棱数E,满足关系式:,V+F-E=2,(叫欧拉公式),以上发现让我们体会了数学家欧拉的发现过程,问题1.,但这并没有证明,不过让我们先记住这个结论吧,并用它来解决一些问题.,先用三棱柱、四棱锥来验证欧拉公式是否正确？,都满足欧拉公式.,问题2.,一个简单多面体的各个面都是三角形,证明它的顶点数V和面数F有F=2V-4的关系.,分析:每个面都是三角形,有三条边,则F个面共有3F条边,又每条边是两相邻面的公共边,即每两条边合为一条棱,所以E=,代入即得.,例3、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数及顶点数.,分析:关健是寻找V,F.E关系.事实上:设面数为F,顶点数为V,棱数为E,因为每个面都是五边形,所以共有5F条边,而每两条边合成一条棱,共有,条棱,所以有E=,另一方面:每一顶点处有三条边,共有3V条边,每两条边合成一条棱,所以E=,代入可求V=20,F=12,E=30.,小结:,简单多面体V,F,E之间关系为:,E=V+F-2,(2)E=各面多边形边数之和的一半,(3)E=顶点数V与共顶点的棱数之积的一半,作业:,1.预习如何证明欧拉公式? 2.教材P.61.习题 9.9 第1,2,题. 3.一个简单
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