2.3数学归纳法同步练习含答案详解.doc

2.3 数学归纳法一、选择题（每小题5分，共20分）1一个关于自然数n的命题，如果验证当n1时命题成立，并在假设当nk(k1且kN*)时命题成立的基础上，证明了当nk2时命题成立，那么综合上述，对于()A一切正整数命题成立B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立D以上都不对2在数列an中，an1，则ak1()AakBakCakDak 3.设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)kDf(k1)f(k)k24.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN*)正确，再推n2k3正确B假设n2k1(kN*)正确，再推n2k1正确C假设nk(kN*)正确，再推nk1正确D假设nk(k1)正确，再推nk2正确二、填空题(每小题5分，共10分)5用数学归纳法证明123n2时，当nk1时左端在nk时的左端加上_6利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是_三、解答题(共70分)7.（15分）对于nN*，用数学归纳法证明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2)8.（20分）已知正项数列an和bn中，a1a(0a1)，b11a.当n2时，anan1bn，bn.(1)证明：对任意nN*，有anbn1；(2)求数列an的通项公式9(20分)数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想10.（15分）已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上2.3 数学归纳法 答题纸 得分：一、选择题题号1234答案二、填空题5 6三、解答题7.8.9.10.2.3 数学归纳法 答案一、选择题1.B 解析：本题证的是对n1,3,5,7，命题成立，即命题对一切正奇数成立2.D 解析： a11，a21，an1，ak1，所以，ak1ak.3.C解析：当nk1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)kf(k1)4.B解析：首先要注意n为奇数，其次还要使n2k1能取到1.二、填空题5.(k21)(k22)(k1)2解析：nk时左端为123k2，nk1时左端为123k2(k21)(k22)(k1)2.6.2(2k1)解析：当nk(kN*)时，左式为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k) (k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1)三、计算题7.证明：设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立；(2)设当nk时等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)，则当nk1时，f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k11)(k1)(k2)(k3)由(1)(2)可知当nN*时等式都成立8解： (1)证明：用数学归纳法证明当n1时，a1b1a(1a)1，命题成立；假设nk(k1且kN*)时命题成立，即akbk1，则当nk1时，ak1bk1akbk1bk1(ak1)bk1(ak1)1.当nk1时，命题也成立由、可知，anbn1对nN*恒成立(2)an1anbn1，1，即1.数列是公差为1的等差数列，其首项为，(n1)1，从而an.9. 解：(1)a11，a2，a3，a4，由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11，结论成立假设nk(k1，且kN*)时，结论成立，即ak，那么nk1(k1，且kN*)时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1.2ak12ak，ak1，这表明nk1时，结论成立an(nN*)10. 解：(1)由P1的坐标为(1，1)知a11，b11.b2.a2a1b2.点P2的坐标为(，)直线l的方程为2xy1.(2)证明：当n1时，2a1