第03章习题解答.pdf

1 习题习题 3 参考解答参考解答 3.1 设在一线性系统上加一个正弦输入：( , )cos2()g x yxy，在什么充分条件下，输 出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅 和相位。 解：系统的输入是 i2()i2() 11 ( , )cos2()ee 22 xyxy g x yxy 因为要求输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数，可用( ,)g x y表示它， i ( , )i2()i ( , )i2() ( ,)( , )cos2 ()( , ) 11 ( , )ee( , )ee 22 xyxy g x yAxy AA 式中：( , )A 和( , ) 均为实函数，分别表示正弦输出频率有关的振幅和相移。令： i ( , ) ( , )( , )eHA 则有： i2()*i2() 11 ( ,)( , )e( , )e 22 xyxy g x yHH 。用算符L表示系统的作用，即： ( , )( ,)L g x yg x y，则系统输入、输出的正频分量应满足下列关系： i2()i2() e( , )e xyxy LH 即： 2()i2() ( ,; , )ed d( , )e xy h x yH i 式中，h为系统的脉冲响应。等两端同乘以 i2() e xy 并对, 取积分，等式左端得到： i2()i2() i2 ()() ( ,; , )ed ded d ( ,; , )d ded d ( ,; , ) (,)d d( ,; , ) xy xy h x y h x y h x yxyh x y x y 等式右端得到： i2()i2()i2 ()() ( , )eed d( , )ed d(,) xyxyxxy HHh xx yy 由此可知，系统应该是空间不变的线性系统，其空间不变的脉冲响应满足： 2 ( ,; , )(,)h x y x yh xx yy ( , )H 正是系统的传递函数，它是脉冲响应的傅里叶变换， ( , ) (,)HF h xx yy 对于这样的空间不变的线性系统，若输入一个正弦函数，会得到一个空间频率相同的正弦输 出，其振幅和相移分别由系统传递函数的模和幅角表示，即 ( ,)( , )cos2()( , )g x yAxy 3.2 证明零阶贝塞尔函数 00 J (2) r是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。 对应的本征值是什么？ 证明：把 00 J (2) r作为输入函数，施加到一个用脉冲响应( )h r和传递函数( )H所表征的系 系统上。输出可以写成： 0 ( )()* ( )g rHh r 因此，输出频谱等于 00 0 00 ()() ( )( )() 22 GHH 对上式作傅里叶逆变换，可得： 000 ( )()J (2)g rHr 于是可以看出， 00 J (2) r是一个本征函数，相应的本征值等于传递函数在 0 的值。 3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章所提出的关于系 统的定义。试问： (a) 这个系统是线性的吗？ (b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能， 为什么不能？ 答：(a) 我们把系统广义地定义为一个变换， 由于傅里叶变换算符可以看成是函数到其变换式 的变换，因而可把它看作系统。即可以用系统的算符表示傅里叶变换： ( , ) ( , )L g x yF g x y 3 由傅里叶变换的线性定理可得： ( , )( , ) ( , ) ( , )Fg x yh x yF g x yF h x y 即： ( , )( , ) ( , ) ( , )Lg x yh x yL g x yL h x y 对所有的输入函数( , )g x y和( , )h x y以及所有复数常数, ，系统满足上述迭加性质，因而是 线性的。 (b) 设系统的输入为( , )g x y，输出为( , )G 。由傅里叶变换定义 i2() ( , )( , )ed d xy Gg x yx y 若写成线性系统叠加积分的形式，则有： ( , )( , ) ( , ; , )d dGg x y h x yx y 其中 i2() ( , ; , )e xy h x y ，它表示输出平面点上对输入平面位于( , )x y点处函数输入 的响应，称为系统的脉冲响应。显然 ( , ; , )(;)h x yhxy 即脉冲响应h并不依赖于距离之差x和y，系统是“空间变”的。仅仅对于空间不变的 线性系统，其在频域的作用才可以用系统的传递函数表示。而对于“空间变”系统，则不能 给出表征系统作用的传统函数。 3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布( , ) o Ux y，其空间频率含量是无限的，而系统的 输出是像场分布( , ) i U x y。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传 递函数在频域上的区间| x B，| y B之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵 列所构成的“等效”物体( , ) o Ux y，它与真实物体 o U产生完全一样的像 i U，并且等效物 体上的场分布可写成： ( , )( , )sinc(2)sinc(2)d d, 22 ooXY nm XY nm Ux yUnBmBxy BB 证明：为了便于从频率域分析，分别设： 物的空间频谱： ( , )( , ) oo AF Ux y 4 像的空间频谱： ( , )( , ) ii AF U x y 等效物体的空间频谱： ( , )( , ) oo AF Ux y 等效物体的像的空间频谱： ( , )( , ) ii AF U x y 由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在|,| XY BB之外恒为 零，故可将其记为： ( , ) rectrect 22 XY H BB 利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为 ( , )( , )rectrect( , ) 22 oi XY AHA BB 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频谱函数，预期作为等效物的谱，办 法 是 把( , )rectrect 22 o XY A BB 安 置 在平 面 上 成 矩 形 格 点 分 布 的 每 一 个 (2,2) XY B nB m点周围， 选择矩形格点在, 方向上的间隔分别为2 X B和2 Y B， 以避免频谱混叠。 于是： ( , )( , )rectrect*(2,2) 22 1 ( , )rectrect*combcomb 22422 ooXY nm XY o XYXYXY AAB nB m BB A BBB BBB 对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许( , ) o A 的中央一个周期成 份(0)nm通过，所以成像的谱并不发生变化，即 ( , )( , )rectrect( , )( , ) 22 oii XY AHAA BB 下图用一维形式表示出系统在频域分别对 o A和 o A 的作用，为简单起见，系统传递函数在图中 表示为rect 2 X B 。 5 既然成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即 ( , )( , ) ii U x yU x y 因此，只要求出( , ) o A 的逆傅里叶变换式，就可得到所需的等效物场，即 1 ( , )( , ) oo Ux yFA 这样，应用卷积定理得到： 11 1 1 ( , )( , )rectrectcombcomb 22422 ( , )rectrectcomb 2comb 2 22 oo XYXYXY oXY XY Ux yFAF BBB BBB FAB xB y BB 从抽样定理来理解上式，( , )rectrect 22 o XY A BB 是一个限带的频谱函数， 它所对应 的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔， 在x方向是 1 2 X B ，在y方向是 1 2 Y B ，就得到等效物场( , ) o Ux y 6 1 ( , )rectrect( , )*4sinc(2)sinc(2) 22 4( , )sinc2()sinc2() ooXYXY XY XYoXY FAUx yB BB xB y BB B BUBxByd d 1 comb(2)comb(2), 422 XY nm XYXY nm B xB yxy B BBB 这样，可以得到： ( , )( , )sinc2()sinc2()d d, 22 ooXY nm XY nm Ux yUBxByxy BB 利用函数性质，上式可写为 0 ( , )( , )sinc(2)sinc(2)d d, 22 oXY nm XY nm Ux yUnBmBxy BB 由这一点源的方形阵列构成的等效场可以和真实物体 o U产生完全一样的像 i U。 利用系统的传递函数，从频率域分析物像关系，先找出等效特的频谱，再通常傅里叶变 换，求出等效特的空间分布。这种频域分析方法正是傅里叶光学问题的基本分析方法。 3.5 定义： 1 ( , )d d (0,0) xy f x yx y f , 1 ( , )d d (0,0) F F 分别为原函数( , )f x y及其频谱函数( , )F 的“等效面积”和“等效带宽” ，试证明： 1 xy 上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称 面积计算定理。 证明：由傅里变换及逆变换定义： i2() ( , )( , )ed d xy Ff x yx y ， i2() ( , )( , )ed d xy f x yF 把0和0xy代入上式，得到： (0,0)( , )d dFf x yx y ， (0,0)( , )d dfF 于是： 7 ( , )d d( , )d d (0,0)(0,0) 1 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0) xy f x yx yF Ff fFfF 上式说明函数的“等效面积”与“等效带宽”成反比，当函数的“等效面积”增大时，其“等 效带宽”却相应减小。 3.6 已知线性不变系统的输入为：( )comb( )f xx。系统的传递函数为rect( / )b。当1b和 3b时，求系统的输出( )g x，并画出函数及其频谱。 解：对于线性不变系统，输入频谱、输出频谱和传递函数满足如下关系： ( )( )( )GFH 即输出频谱等于输入频谱与传递函数的乘积。 由题意可知：( )rect( / )Hb。由输入函数可得：( )comb( )comb( )FFx 所以有： ( )( )( )comb( )rect( / )GFHb (1) 当1b时，( )( )G 。这样可求得： 1 ( ) ( )1g xF 其输出函数及输出频谱如下图所示。 (2) 当3b时，( )( )(1)(1)G 。这样可求得： 1i2i2 ( ) ( )1 ee1 cos(2 ) xx g xFGx 输出函数及输出频谱如下图所示。 8 3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为： ( )7sinc(7 )h xx 用频率域方法对下列的每一个输入( ) i f x，求其输出( ) i g x (必要时，可取合理近似)： (1) 1( ) cos4f xx (2) 2( ) cos(4 )rect( /75)fxxx (3) 3( ) 1 cos(8 )rect( /75)fxxx (4) 4( ) comb( )*rect(2 )fxxx 解：系统传递函数为： ( ) ( )7sinc(7 )rect( /7)HF h xFx 并假设令输入( ) i f x和输出( ) i g x对应的频谱分别为( ) i F和( ) i G，并有如下关系成立： ( )( )( ) ii GFH (1) 11 1 ( ) ( )cos4 (2)(2) 2 FF f xFx ， 如下图(a)所示，有： 11 11 ( )( )( ) (2)(2)rect( /7) (2)(2) 22 GFH 对上式作傅里叶变换，可得： 1 11 ( )( )cos(4 )g xFGx (2) 22 1 ( )( ) (2)(2)*75sinc(75 ) 2 FF fx ， 如下图(b)所示，有： 22 1 ( )( )( ) (2)(2)*75sinc(75 )rect( /7) 2 1 (2)(2)*75sinc(75 ) 2 GFH 对上式作傅里叶变换，可得： 9 1 22 ( )( )cos(4 )rect() 75 x gxFGx (3) 33 11 ( )( ) ( )(4)(4)*75sinc(75 ) 22 FF fx ， 如下图(c)所示，有： 33 11 ( )( )( ) ( )(4)(4)*75sinc(75 )rect( /7) 22 75sinc(75 ) GFH 对上式作傅里叶变换，可得： 1 33 ( )( )rect() 75 x gxFG (4) 44 1 ( )( )comb( )sinc( /2) 2 FF fx， 如下图(d)所示，有： 44 1 ( )( )( )comb( )sinc( /2)rect( /7) 2 11113 ( )sinc (1)(1)sinc (3)(3) 22222 GFH 对上式作傅里叶变换，可得： 1 44 1 ( )( )comb( )sinc( )rect( /7) 2 113122 sinccos(2 )sinccos(6 )cos(2 )cos(6 ) 22223 gxFG xxxx 10 3.8 给定正实常数 0 和实常数a和b，求证： (1) 若 0 1 | 2 b ，则 00 1 sinc( / )*cos(2)cos(2) | x bxx b (2) 若 0 1 | 2 b ，则 0 1 sinc( / )*cos(2)0 | x bx b (3) 若| |ba，则sinc( / )*sinc( / ) |sinc( / )x bx abx a (4) 若 | | 2 a b ，则 22 sinc( / )*sinc ( / ) |sinc ( / )x bx abx a 证明：本题可利用卷积定理，将空域中的卷积运算转化为频域内的乘积运算，然后再通过傅 里叶逆变换，就可求出最后的卷积。 (1) 00 00 11 sinc( / )*cos(2)sinc( / ) cos(2) | 1 rect() ()() 2 Fx bxFx bFx bb b 如下图(a)所示，如果 0 1 | 2 b ，则有 0 1 2 |b ，则上式等于： 000 11 sinc( / )*cos(2) ()() |2 Fx bx b 对上式作傅里叶逆变换，则有： 00 1 sinc( / )*cos(2)cos(2) | x bxx b (2) 同样，如下图(b)所示，如果 0 1 | 2 b ，则有 0 1 2 |b ，则 0 1 sinc( / )*cos(2)0 | Fx bx b 11 对上式作傅里叶逆变换，则有： 0 1 sinc( / )*cos(2)0 | x bx b (3) sinc( / )*sinc( / )sinc( / ) sinc( / ) |rect() |rect() Fx bx aFx bFx a bbaa 如下图(c)所示，如果| |ba，则有 11 |ba ，这样上式等于： sinc( / )*sinc( / ) | |rect()Fx bx abaa 对上式作傅里叶逆变换，可得：sinc( / )*sinc( / ) |sinc( / )x bx abx a (4) 222 sinc( / )*sinc ( / ) |sinc ( / )sinc( / ) sinc ( / ) |rect()| tri() Fx bx abx aFx bFx a bbaa 如下图(d)所示，如果| | /2ba，则有 12 |ba ，这样上式等于： 222 sinc( / )*sinc ( / ) |sinc ( / )sinc( / ) sinc ( / ) | tri() Fx bx abx aFx bFx a b aa 对上式作傅里叶逆变换，可得： 22 sinc( / )*sinc ( / ) |sinc ( / )x bx abx a 12 3.9 若限带函数( )f x的傅里叶变换在带宽w之外恒为零，(1) 如果 1 |a w ，证明： 1 sinc( / )*( )( ) | x af xf x a (2) 如果 1 |a w ，上面的等式还成立吗？ 解：(1) 与上题的方法相似， 1 sinc( / )*( )rect() ( ) | Fx af xaG a 式中：( ) ( )GF f x。如下图(a)所示，如果 1 |a w ，有 1 | w a ，由上式为： 1 sinc( / )*( )( ) | Fx af xG a 即输出频谱是限带函数的完全频谱，此时如下关系必成立： 1 sinc( / )*( )( ) | x af xf x a (2) 如下图(b)所示， 如时 1 | w a ， 有 1 | w a ， 则输出频谱不再是限带函数的完全频谱了， 由于丢失部分频率成分，不能再还原出( )f x，则上式中的关系不再成立。 3.10 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波： 1 ( )comb( /3)rect( /100) *rect( ) 3 f xxxx 若系统脉冲响应：( )rect(1)h xx。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其 频谱的图形。 13 解：采用图解与分析相结合的分析方法。系统的输入频谱和传递函数分别为： 1 ( ) ( )comb( /3)rect( /100) *rect( ) 3 comb(3 )*100sinc(100 )sinc( ) FF g xFxxx 和 i2 ( )sinc( )eH ，则输出频谱为： i2 ( )( )( )comb(3 )*100sinc(100 )sinc( )sinc( )eGFH 对上式作傅里叶逆变换，得到输出函数为： 1 111 ( ) ( )comb()rect()tri( ) 33100 xx g xFGx 其传递函数、脉冲响应、输出及其频谱有图形如下图所示。 3.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波 1 ( )comb( /2)rect( /50) *tri( ) 2 f xxxx 对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出： (1) ( )rect( /2)H (2) ( )rect( /4)rect( /2)H 解：先在频域内求解出输出频谱，然后再利用傅里叶逆变换转化为空域中系统的输出。系统 的输入频谱为： 2 1 ( ) ( )comb( /2)rect( /50) *tri( ) 2 comb(2 )*50sinc(50 )sinc ( ) FF f xFxxx 系统输出频谱为：( )( )( )GFH 14 (2) 同理，当( )rect( /4)rect( /2)H时，如下图所示，系统输出频谱为： 2 3 ( )( )( )sinc ( )50sinc(5075)50sinc(5075) 2 GFH 对上式作傅里叶逆变换，可得： 2 2 38 ( )2sinc ( )cos(3 )rect()cos(3 )rect() 250950 xx g xxx 15 3.12 若对函数： 2 ( )sinc ()h xaax抽样，求允许的最大抽样间隔。 解：函数对应的频谱为： ( )tri( / )Ha 帯宽为 22 x Ba 根据抽样定理，对该函数进行抽样，允许的最大抽样间隔为： 11 22 x X Ba 3.13 证明在频率平面上一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定 理： 22 1 22 J 2(/2 )(/2 ) ( , ),2 224 2(/2 )(/2 )nm BxnBymBnm g x yg BB BxnBymB 证明：根据题意函数( , )g x y为限带函数，因而可以运用抽样定理，即用函数( , )g x y在xy平 面内一个分立集上的抽样值的列阵来表示该函数。 如果我们用二维梳壮函数combcomb xy XY 对函数( , )g x y抽样，得到： ( , )( , ) combcomb s xy gx yg x y XY 抽样函数 s g由函数的阵列构成， 这些函数的成矩形格点分布， 在x方向间距为X， 在y方 向间距为Y，每个函数的权重为函数g在该抽样点上的值。 由卷积定理，可知 s g的频谱 s G为： ( , ) ( , )* combcomb ( , )*|combcomb( , )*(,